-不等式的解法-典型例题2

1、不等式的解法典型例题【例1】解不等式：(1)2x3-x2-15x0;(2)(x+4)(x+5)2(2-x)30(或f(x)0扌EA程x(2x+5)(x-3)=0的三个根X二0,X)=-|,冷二3顺次标上顺轴.然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图(51)的阴影部分.二原不等式解集为任卜;x00（乂+4）（12）0k2原不等式解集为x|x-5或-5x2【说明】用“区间法”解不等式时应注意：各一次项中x的系数必为正；对于偶次或奇次重根可参照(2)的解法转化为不含重根的不等式，也可直接用“区间法”，但注意“奇穿偶不穿”其法如图(52).團5-15-2【例2】解下列不等式:x2-4x+l3xa

2、-7x+21【分析】当分式穂如需g时,要注意它的等价变形*g(x)0g(x)f(x)*g(x)0(x+2)(x-2)h0用“区间法”原不等式解集为（-%,-2）U-1,2）U6,解法一；原不等式等价于CE2“-3x+l02宀2x2-3x+l0n3Ka-J囂+1）（“厂在+2）03x7x+20用“区间法”二原不等式解集为0耳】)U(負1)U(2,+8)【例3】解下列不等式：(1Xx-2)./2x+303(2/H0或尸段。bx+30蛊2或比=壬.:原不等式解集为x|x2s!(x=-|.原不等式等价于fx-10彳30Or?0盘5x-15.原不等式等价于2x+50 x+l0r+10或2x+5(s+l)

3、aoKx0)解得OWtv3即極宵3再解得-7x0,设两图舉交点为M.令+5=x+1,解得细=2x2=2*M点横坐标为2.由图可知：J2z5x+1解集为卜扌，2).【说明】有些题目若用数形结合的方法将更简便.【例4】解下列不等式：1(l)4x-5*2X+i+80s(2Xog1(x+l)+log1(6-x)log112,【分析】中护可看作巴产扌可看作-2可整理成logf(K)Rogg(g)型.22解：(1)原不等式等价于(2叩豳21+80令2x=t(t0)，则原不等式可化为F-5j5t+80oK运或t4血1515即有2X0彳6-X0O-1xC2或3C6(x+1,)(6-x)12L原不等式解集为(-

4、1,2U3,6).【说明】解对数不等式需注意各真数必为正数在利用对数性质log.M+1略N=呃临或bgM呃N=1孤善叭需注意变换的等价性，否则会出现增解或漏解.【例5】解不等式|x2-4|vx+2.【分析】解此题关键是去绝对值符号，而去绝对值符号主要利用性质:|x|a-a|x|a-a.-2x3蛊1或hi-2解：原不等式等价于-(x+2)vx2-4vx+2.-4_(x+2)故原不等式解集为(1,3).【说明】|f(Q|g(X)O-g(X)f(X)g(X)O險)仗)或璟)2(2)|7+3-3|-2*01)(4-log3(2I-l)-2令log2(2x-1)=t，则上述不等式变为t(-1-t)-2即

5、t2+t-2v0.解之，得-2vtv1,从而-2vlog2(2x-1)v1.于是2225t-12,即kga|x0+3-x0oI7k+33-x7x+30“3-x+3(3-x)2z0或“303-xZZ2Z.【例7】解不等式log2x2-1(3x2+2x-1)v1.【分析】题目中未知数出现在底数部分，就必须对底数大于零还是位于零与1之间进行讨论.解：原不等式等价于f3x2+2x-l0p/+2x-l0J2x3-11或Jo2x311+2x-l2k3-1(x+l)(3x-l)0 x2+2k0#/lx2+2x05o2蠶或斗蠶0且a1.【分析】题目通过变形可看作是关于ax的二次不等式.对于底数a分a1或0va

6、v1两种情况讨论.解：原不等式等价于(ax)2-(a2+a-2)ax+1v0O-a3)1时，a2a-2，于是(*)式得a-2vaxva2，即-2vxv2.当Ovav1时，a-2a2，于是(*)式得a2vaxva-2，即-2vxv2.综上所述，原不等式解集为(-2，2).【说明】本题在化成关于ax的二次不等式后，解题关键是利用a2-a-2=1进行因式分解.【例9】设a0；a1解关于x的不等式xlogaxva3x2.【分析】这是指数与对数的混合型不等式，可采用“取对数法”.在两边取对数的时候用到对数函数的单调性，因此必须对a进行讨论后再取对数.解：当a1时，原不等式两边取对数，得log.x*log1xlogja3x3)oQogQ33+21og4xO(log吾)-21oglx-30O-lClogtx3O1.3.当Ovav1时，原不等式等价于flofiiX)2-21og0logaz3Ox-50 x1吋，原不等式解集是(J)；gOatX解：原不等