1.1数的概念的扩展

1、有理数实数负数分数无理数复数虚数整数自然数数系的扩充和复数的引入数的概念的推广1545年意大利数学家卡尔丹在研究数学时遇到这样一个问题：将数字10分成两个部分，使它们的积等于40，求这两个部分。他求出的解使他非常困惑，甚至有些惶恐，大家愿意试试吗？提出问题提出问题请在下列数集范围内解方程组 x+4=3 2x=3 无解无解无解有解有解有解思考实现了数系的三次扩充：自然数集N整数集Z有理数集Q实数集RRQQQNZ负数分数无理数思考数系扩充的原因：生产实践的需要更是数学学科自身发展的需要。扩充的共同特点：增加新元素，原数集是新数集的子集。原有运算性质和运算关系仍然成立。提出问题1、为什么方程在实数范

2、围内无解？2、通过求根公式能不能把解得形式 写出来看看？3、实数集不够用？怎么办？为了解决 这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使i是方程 的根，即 ，再把这个新数添加到实数集中去，得到一个新数集，记作C，那么方程 在C中就有 解 了。 i的奥秘复数的发展史印度数学家婆什伽罗（1114-约1185）第一个遇到 的人，当时他认为没有意义。1484年法国数学家舒开遇到解二次方程 得到根的是 ，他认为这是不可能的 。1545年卡尔丹在解 时引入负数的平方根，并称他为“诡辩量”。1637年法国数学家笛卡尔给这样的数起名叫虚数，即“虚的数”与“实数”对应。复数的发展史此后，德国数学家

3、莱布尼茨、瑞士数学家欧拉和法国数学家棣莫弗研究了虚数与对数函数、三角函数之间的关系，还用于微积分等方面。“虚数”被证明不虚了。1747年法国数学家达朗贝尔指出 按照多项式的四则运算规则进行运算，所得结果仍然是 形式，使人们对虚数的认识又推进一步。1748年欧拉对这类数进行了系统研究，得出欧拉公式，1777年欧拉首次用到符号i，它满足 ，称为虚数单位。复数的发展史1797年丹麦数学家维塞尔首次提出实轴、虚轴，并以实轴、虚轴表示的平面表示这类新数。1799、1815、1816年德国数学家高斯证明了代数基本定理，首次引进“复数”，把复数与平面直角坐标系内的点一一对应起来。1837年爱尔兰数学家哈密顿

4、用有序实数对（a，b）定义了复数及其运算。引入虚数，建立复数概念引入虚数单位i，规定原有运算性质和运算关系仍然成立。i可以与实数进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法和乘法的运算律（包括交换律、结合律和分配律）仍然成立。引入虚数，建立复数概念 i与3、4做加法、乘法及混合运算 （减法、除法为逆运算，此处省略）只与一个实数做加法只与一个实数做乘法与一个实数先乘再与另一个实数相加与一个实数先加再与另一个实数相乘3+i4+i3i4i4+3i=3i+43+4i=4i+3(3+i)4=12+4i(4+i)3=12+3i请你试着再举几个例子，然后观察思考：是否都可以写成_+_i形式？ab引入虚数，建立

5、复数概念复数的定义：形如a+bi(a,b R)的数，我们称之为复数。规定 ，i是虚数单位。复数的表示：复数通常用字母z表示，即z= a+bi(a,b R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部。复数集：全体复数组成的集合。用C表示。巩固新知例1、请表示出数学家卡尔丹问题中的两个数，并指出其中的实部和虚部。答案：这两个数分别为 和 实部都是5，虚部分别是 和 巩固新知例2、把下表补充完整。 复数 实部 虚部 2-3i -4i 2+ 0 2-30-41000思考：根据复数z=a+bi中a、b的不同取值，可以将复数进行 怎样的分类？建立复数概念复数z=a+bi（a，b ）的分类：实数集、虚数集、纯虚数集与复数集的关系？复数实数（b=0）虚数（ ）（当a=0时，纯虚数）引入虚数，建立复数概念用上面的知识填写下表。 复数 实部 虚部实数虚数纯虚数 2-3i 2 -3 -4i 0 -4 2+ 1 0 0 0 0 引入虚数，建立复数概念例3、实数m取什么值时，复数z=m+1+（2m-2）i是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数。解：（1）当2m-2=0时，即m=1时为实数。 （2）当2m-2 0时，即m 1时为虚数。 （3）当m+1=0且2m-2 0时，