数学建模差分模型及层次分析建模方法课件

1、数 学 建 模 从自然走向理性之路 第十讲 差分模型 及层次分析建模方法 【主要内容】介绍市场经济中的蛛网模型，减肥模型，层次分析方法【主要目的】了解差分方法及层次分析方法在数学建模中的应用差分模型 市场经济中的蛛网模型现象供大于求价格下降减少产量供不应求价格上涨增加产量数量与价格在振荡问 题 描述商品数量与价格的变化规律商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定？当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定？ 蛛 网 模 型 xk 第 k 时段商品数量；yk 第 k 时段商品价格需求函数：减函数供应函数：增函数f与g的交点P0(x0,y0) 平衡点一旦 xk = x0，则 yk = y0, xk+

2、1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0 fxy0 x0y0P0gxy0fgy0 x0P0y2P3P4x3x2P2y1P1y3x1xy0y0 x0P0fgP3P1P2P4设x1偏离x0P0是稳定平衡点P0是不稳定平衡点曲线斜率 方 程 模 型在P0点附近用直线近似曲线 P0稳定 P0不稳定方程模型与蛛网模型的一致结果解释考察 , 的含义xk第k时段商品数量；yk第k时段商品价格 商品数量减少1单位, 价格上涨幅度 价格上涨1单位, (下时段)供应的增量 消费者对数量的敏感程度 生产者对价格的敏感程度小, 有利于经济稳定 小, 有利于经济稳定经济稳定经济不稳定时政府的干预1. 使 尽

3、量小，如 =0 需求曲线变为水平 以行政手段控制价格不变2. 使 尽量小，如 =0供应曲线变为竖直 以行政手段控制数量不变xy0y0gfxy0 x0gf背景 多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持。 通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标分析体重变化由体内能量守恒破坏引起饮食（吸收热量）引起体重增加 代谢和运动（消耗热量）引起体重减少减肥计划节食与运动模型假设1）体重增加正比于吸收的热量每8000千卡增加体重1公斤；2）代谢引起的体重减少正比于体重每周每公斤体重消耗200千卡 320千卡(因人而异), 相当于70公斤的人每天消耗2000千卡 3200千卡；

4、3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关； 4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5公斤，每周吸收热量不要小于10000千卡。减肥计划某甲体重100公斤，目前每周吸收20000千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至75公斤。1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。第一阶段：每周减肥1公斤，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（10000千卡）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标 2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。3）给出达到目标后维持体重的方案。基本模型w(k) 第k周(末)体重c(k) 第k周吸收热量 代谢消耗系数(因人而异)1）不运动情况的两阶段减肥计划

5、确定某甲的代谢消耗系数每周吸收20000千卡 w =100公斤不变即每周每公斤体重消耗 20000/100=200千卡 第一阶段: w(k)每周减1公斤, c(k)减至下限10000千卡第一阶段10周, 每周减1公斤，第10周末体重90公斤吸收热量为 第二阶段：每周c(k)保持Cm, w(k)减至75公斤 基本模型第二阶段19周, 每周吸收热量保持10000千卡, 体重按 减少至75公斤。2）第二阶段增加运动的减肥计划 根据资料每小时每公斤体重消耗的热量 (千卡): 跑步 跳舞 乒乓 自行车(中速) 游泳(50米/分) 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9基本模型t每周运动时间(小时) 运动

6、量 t=24 (每周跳舞8小时或自行车10小时), 共14周。3）达到目标体重75公斤后维持不变的方案每周吸收热量c(k)保持某常数C，使体重w不变 不运动 运动(内容同前)层次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP） 数学用于研究自然与社会现象的方法主要有： 机理分析用经典的数学工具分析现象的因果关系； 统计分析以随机数学为工具，通过大量观测数据寻 求统计规律。 近年来发展起来的第三种方法称为系统分析，层次分析是系统分析的工具之一，它是美国运筹学教授Saaty 于 70 年代初期提出来的。它把人的思维过程层次化、数量化，并用数学方法为分析、决策、 预报或控制提

7、供定量的依据。这是一种定性与定量相结合的方法。 过河的效益 A经济效益B1社会效益B2环境效益B3节省时间C1收入C2岸间商业C3当地商业C4建筑就业C5安全可靠C6交往沟通C7自豪感C8舒适C9进出方便C10美化C11桥梁D1隧道D2渡船D3（1）过河效益层次结构例1 过河方案的抉择过河的代价 A经济代价 B1环境代价B3社会代价B2投入资金C1操作维护C2冲击渡船业C3冲击生活方式C4交通拥挤C5居民搬迁C6汽车排放物C7对水的污染C8对生态的破坏C9桥梁D1隧道D2渡船D2（2）过河代价层次结构一. 层次分析法的基本步骤例. 选择旅游地如何在3个目的地中选择旅游地.O(选择旅游地)C3居

8、住C1景色C2费用C4饮食C5交通P2黄山P1桂林P3张家界目标层准则层方案层“层次分析法”思维过程的归纳分层：将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素， 各层元素间的关系用相连的直线表示。加权：通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。综合：将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。基本步骤 将问题条理化、层次化。 比较同一层次元素对上一层次同一目标的影响，从而确定它们在目标中所占的比重。采用两两比较的方法， 求出它们对于同一个目标的重要性的比例标度，标度等级为1

9、，2， ， 9，1/2，1/3， ，1/9。 得到两两比较判断矩阵。 ， 9，1/2，1/3， 在单一准则下计算元素相对排序权重，以及判断矩阵一致性检验。 计算方案层中各元素对于目标层的总排序权重，从而确定首选方案成对比较阵和权向量 元素之间两两对比，对比采用相对尺度 设要比较各准则C1,C2,Cn对目标O的重要性选择旅游地A成对比较阵是正互反阵要由A 确定C1 , Cn 对 O 的权向量 成对比较的不一致性不一致 如果一致允许不一致，但要确定不一致的允许范围考察完全一致的情况满足的正互反阵A称一致阵一致阵性质 A的秩为1，A的唯一非零特征根为n A的任一列向量是对应于n 的特征向量 A的归一

10、化特征向量可作为权向量对于不一致的成对比较阵A，可用对应于最大特征根的特征向量作为权向量w ，即一致性检验已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为n可证：n 阶正互反阵最大特征根 n, 且 =n时为一致阵定义一致性指标:CI 越大，不一致越严重为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标 RI随机模拟得到aij , 形成A，计算CI 即得RI。RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51 n1234567891110定义一致性比率 CR = CI/RI 当CR0.1时，通过一致性检验“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验准则层对目标的成对比较阵最大特征根=5

11、.073权向量(特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指标随机一致性指标 RI=1.12 (查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016 n , = n是A为一致阵的充要条件。 一致性指标 定义合理2. 正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算 简化计算的思路一致阵的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量，可取其某种意义下的平均。和法取列向量的算术平均列向量归一化算术平均精确结果: w=(0.588,0.322,0.090)T, =3.0103. 特征向量作为权向量成对比较的多步累积效应成对比较Ci:Cj (

12、直接比较）aij 1次比较强度aij(2) 2次比较强度通过与所有Cs 的比较，更能反映Ci 对 Cj 的强度。体现多步累积效应定理1特征向量体现多步累积效应 k次比较强度4.不完全层次结构中组合权向量的计算完全层次结构：上层每一元素与下层所有元素相关联不完全层次结构例: 评价教师贡献的层次结构贡献O教学C1科研C2P2 P1P3P4P1,P2只作教学, P4只作科研, P3兼作教学、科研。C1,C2支配元素的数目不等设第2层对第1层权向量w(2)=(w1(2),w2(2)T已定第3层对第2层权向量w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)Tw2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T已得讨论由w(2),W(3)=(w1(3), w2(3)计算第3层对第1层权向量w(3）的方法考察一个特例： 若C1,C2重要性相同, w(2)=(1/2,1/2)T P1P4能力相同, w1(3)=(1/3,1/3,1/3,0)T,w2(3)=(0,0,1/2,1/2)T公正的评价应为： P1:P2:P3:P4=1:1:2:1不考虑支配元素数目不等的影响 仍用 计算w(3)=(1/6,1/6,5/12,1/4)T用支配元素数目n1, n2 对w(2) 加权修正 再用 计算w(3)=(1/5