数值计算方法第01章误差剖析课件

1、数值计算方法授课教师：付念2（一）关于本课程课程属性：必修学时：共48学时，其中课堂教学40学时，上机实验8学时。学分：3使用教材： 数值计算方法23（二）课程安排课堂教学：40学时上课讲重点，讲解算法。上机实验：8学时 应用程序为matlab，对重点算法提出计算过程，并实现算法考试形式： -考核方式为每人一题最后成绩：平时成绩占50%，考试成绩占50%学习方法：听课和计算相结合，理论联系实际，多动手！ 3“数值计算方法”就是研究用于求得数学问题近似解的方法和过程。什么是数值计算方法数值分析输入复杂问题或运算 计算机近似解计算机解决实际问题的步骤建立数学模型选择数值方法编写程序上机计算第一章

2、误差1.1误差的来源误差的基本理论-用计算机进行实际问题的数值计算时,往往求得的是问题的近似解,都存在误差误差来源在建立数学模型过程中,要将复杂的现象抽象归结为数学模型,往往要忽略一些次要因素的影响,而对问题作一些简化,因此和实际问题有一定的区别.模型误差在建模和具体运算过程中所用的数据往往是通过观察和测量得到的,由于精度的限制,这些数据一般是近似的,即有-观测误差如:若将前若干项的部分和作为函数值的近似公式,由于以后各项都舍弃了,自然产生了误差。 -截断误差Taylor展开误差来源机器字长有限舍入误差由于计算机的字长有限,只能对有限位数进行运算,超过的位数按一定规则舍入,产生“舍入误差”.误

3、差来源小结:模型误差.观测误差不是数值分析讨论的内容,数值计算方法主要研究截断误差和舍入误差在计算过程中的传播和对计算结果的影响,以提高计算的精度.误差是不可避免的,既要允许误差,又要控制误差.要重视误差分析,分析误差的来源,误差的传播及对误差作出估计1.2 绝对误差、相对误差和有效数字绝对误差/* Absolute error */定义1. 例 用一把有毫米的刻度的米尺,来测量桌子的长度,读出的长度x* =1235mm这是桌子实际长度x一个近似值,由米尺的精度知,这个近似值的误差不会超过0.5mm(即绝对误差限为1/2mm),则1234.5x1235.5即x1234.5,1235.5 或x=

4、12350.5mm 绝对误差的某个上界绝对误差限或误差限,或且误差限的大小还不能完全表示近似值的好坏.注：e* 理论上讲是唯一确定的，可能取正，也可能取负。 e* 0 不唯一，当然 e* 越小越具有参考价值。显然哪个更精确呢?定义2. relativeerror绝对误差限相对误差限往往未知代替相对误差代替相对误差限条件是较小,这是因为因此是的平方项集,所以可以忽略不计!例.解:可见,经四舍五入取近似值,其绝对误差限将不超过其末位数字的半个单位1、取3.14，3.15作为的近似值，求各自的绝对误差，相对误差。2、下列各数都是对准确数进行四舍五入后得到的近似数，试分别指出他们的绝对误差限和相对误差

5、限，指出哪一个和真实值最接近。x1=0.0315 x2=0.3015 x3=31.50 x4=5000 1.2.2 有效数字有4位有效数字有6位有效数字有8位有效数字只有4位有效数字有效数字是近似值的一种表示法。它既能表示近似值的大小，又能表示其精确程度。1.2.2 有效数字是0到9中的一个数字。那么注：0.2300有4位有效数字，而00023只有2位有效。12300如果写成0.123105，则表示只有3位有效数字。 数字末尾的0不可随意省去！定理1.证明:定理说明，有效位数越多，相对误差限越小1、取3.14，3.15作为的近似值，求各自的有效数字的位数。3、计算 的近似值，取多少位的有效数字

6、可以使其相对误差不超过0.1。 据说，美军 1910 年的一次部队的命令传递是这样的: 营长对值班军官: 明晚大约 8点钟左右，哈雷彗星将可能在这个地区看到，这种彗星每隔 76年才能看见一次。命令所有士兵着野战服在操场上集合，我将向他们解释这一罕见的现象。如果下雨的话，就在礼堂集合，我为他们放一部有关彗星的影片。值班军官对连长: 根据营长的命令，明晚8点哈雷彗星将在操场上空出现。如果下雨的话，就让士兵穿着野战服列队前往礼堂，这一罕见的现象将在那里出现。连长对排长: 根据营长的命令，明晚8点，非凡的哈雷彗星将身穿野战服在礼堂中出现。如果操场上下雨，营长将下达另一个命令，这种命令每隔76年才会出现

7、一次。排长对班长: 明晚8点，营长将带着哈雷彗星在礼堂中出现，这是每隔 76年才有的事。如果下雨的话，营长将命令彗星穿上野战服到操场上去。班长对士兵: 在明晚8点下雨的时候，著名的76岁哈雷将军将在营长的陪同下身着野战服，开着他那“彗星”牌汽车，经过操场前往礼堂。例：蝴蝶效应 纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的北京就刮起台风来了？！NYBJ蝴蝶效应是气象学家洛伦兹1963年提出来的。其大意为：一只南美洲亚马孙河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯引起一场龙卷风。其原因在于：蝴蝶翅膀的运动，导致其身边的空气系统发生变化，并引起微弱气流的产生，而微弱气流的产生又会引

8、起它四周空气或其他系统产生相应的变化，由此引起连锁反映，最终导致其他系统的极大变化。此效应说明，事物发展的结果，对初始条件具有极为敏感的依赖性，初始条件的极小偏差，将会引起结果的极大差异。1.3数值计算中误差的传播1.3.1 基本运算中的误差估计 在数值运算中，参加运算的数若有误差，那么一定会影响到计算结果的准确性.例、设y=xn,求y的相对误差与x的相对误差之间的关系。1.3.2 算法的数值稳定性 计算一个数学问题，需要预先设计好由已知数据计算问题结果的运算顺序，这就是算法。例：计算 公式一：注意此公式精确成立记为则初始误差? ! !为什么？考察第n步的误差我们有责任改变。造成这种情况的是不

9、稳定的算法 /* unstable algorithm */迅速积累，误差呈递增走势。可见初始的小扰动 公式二：注意此公式与公式一在理论上等价。方法：先估计一个IN ,再反推要求的In ( n N )。可取取为什么这个好？考察反推一步的误差：以此类推，对 n N 有：误差逐步递减, 这样的算法称为稳定的算法 /* stable algorithm */ 在我们今后的讨论中，误差将不可回避， 算法的稳定性会是一个非常重要的话题。1.4数值计算中应注意的问题(1)避免两个相近的数相减两个相近的数相减,会使有效数字的位数严重损失在算法设计中,若可能出现两个相近数相减,则改变计算公式,如使用三角变换、

10、有理化等等例：a1 = 0.12345，a2 = 0.12346，各有5位有效数字。 而 a2 a1 = 0.00001，只剩下1位有效数字。 几种经验性避免方法：由于(2)避免大数“吃”小数的现象这一类问题主要由计算机的位数引起假如作一个有效数字为4位的连加运算而如果将小数放在前面计算在作连加时,为防止大数吃小数,应从小到大进行相加,如此,精度将得到适当改善.当然也可采取别的方法.解方程解:由中学知识韦达定理可知,方程的精确解为而如果用8位小数的计算机上利用求根公式机器吃了因此在计算机上上式是解二次方程的数值公式求 的小正根.方程的两根为 只有一位有效数字 小正根为避免两相近数相减可改用 (3) 避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值/避免大数做乘数在算法设计时,要避免这类算法在计算公式中出现在进行乘法时，两数中如果有一个大数，则积的误