2022年初中几何证明题五大经典

1、1、已知：如图，O 是半圆的圆心，经 典题（一）C、E 是圆上的两点，CD AB ，EFAB ，EG CO求证： CD GF（初二）证明：过点 G 作 GH AB 于 H，连接 OE EGCO，EFAB EGO=90 ， EFO=90 EGO+EFO=180 E、G、 O、 F 四点共圆 GEO=HFG EGO=FHG=90 EGO FHG EO=GOFGHGGH AB ，CD AB GH CD GO CO HG CDEO CO FG CDEO=CO CD=GF 2、已知：如图，P 是正方形 ABCD 内部的一点，PAD PDA15 。求证：PBC 是正三角形 （初二）证明：作正三角形 ADM

2、 ，连接 MP MAD=60 ， PAD=15 MAP= MAD+ PAD=75 BAD=90 ， PAD=15 BAP= BAD- PAD=90 -15 =75 BAP= MAP MA=BA ，AP=AP MAP BAP BPA=MPA ，MP=BP 同理 CPD=MPD ，MP=CP PAD PDA 15PA=PD， BAP= CDP=75BA=CD BAP CDP BPA=CPD BPA=MPA ， CPD= MPD MPA= MPD=75 BPC=360 -75 4=60MP=BP ， MP=CP BP=CP BPC 是正三角形第 1 页 共 9 页3、已知：如图，在四边形ABCD 中

3、， AD BC，M 、N 分别是 AB 、CD 的中点， AD 、BC 的延长线交MN于 E、F求证： DEN F证明 :连接 AC，取 AC 的中点 G,连接 NG 、MG CN=DN ，CG=DG GN AD ，GN=1AD 2 DEN= GNM AM=BM ，AG=CG GM BC，GM=1BC 2 F=GMN AD=BC GN=GM GMN= GNM DEN= F 1、已知：经 典题（二）OM BC 于 M ABC 中， H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且（1）求证： AH 2OM ；（2）若 BAC 600，求证： AH AO （初二）证明：（1）延长 AD 交圆于 F，连

4、接 BF，过点 O 作 OG AD 于 G OG AF AG=FG AB=AB F=ACB 又 AD BC， BEAC BHD+ DBH=90 ACB+ DBH=90 ACB= BHD F=BHD BH=BF 又 AD BC DH=DF AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2 又 AD BC， OM BC，OGAD 四边形 OMDG 是矩形OM=GD AH=2OM （2）连接 OB 、OC BAC=60 BOC=120 OB=OC ，OM BC BOM=1 BOC=602 OBM=30BO=2OM 由（ 1）知 AH=2OM AH=BO=AO（ GH+DH ）

5、=2GD 第 2 页 共 9 页2、设 MN 是圆 O 外一条直线，过O 作 OA MN 于 A，自 A 引圆的两条割线交圆O 于 B、C 及 D、E，连接 CD 并延长交 MN 于 Q，连接 EB 并延长交 MN 于 P. 求证： APAQ 证明：作点 E 关于 AG 的对称点 F，连接 AF 、CF、 QF AG PQ PAG=QAG=90 又 GAE= GAF PAG+GAE= QAG+ GAF 即 PAE=QAF E、F、C、D 四点共圆 AEF+ FCQ=180 EFAG ，PQAG EF PQ PAF=AFE AF=AE AFE= AEF AEF= PAF PAF+QAF=180

6、FCQ= QAF F、 C、A、Q 四点共圆 AFQ= ACQ 又 AEP= ACQ AFQ= AEP 在 AEP 和 AFQ 中AFQ= AEP AF=AE QAF= PAE AEP AFQ AP=AQ 3、设 MN 是圆 O 的弦，过 MN 的中点 A 任作两弦 BC、DE ，设 CD 、EB 分别交 MN 于 P、Q求证： APAQ （初二）证明：作 OFCD 于 F，OGBE 于 G，连接 OP、OQ、OA 、AF、 AG C、D、B、 E 四点共圆 B=D， E=C ABE ADC ABBE2BGBG DFADDC2FD ABG ADF AGB= AFD AGE= AFC AM=AN

7、 ，OA MN 又 OGBE， OAQ+ OGQ=180O、A 、Q、E 四点共圆 AOQ= AGE 同理 AOP= AFC AOQ= AOP 又 OAQ= OAP=90 ， OA=OA OAQ OAP AP=AQ 第 3 页 共 9 页4、如图 ,分别以ABC 的 AB 和 AC 为一边 ,在 ABC 的外侧作正方形ABFG 和正方形 ACDE ，点 O 是 DF的中点， OPBC 求证： BC=2OP （初二）证明：分别过F、A、 D 作直线 BC 的垂线，垂足分别是L、M 、N OF=OD ，DN OP FL PN=PL OP 是梯形 DFLN 的中位线DN+FL=2OP ABFG 是正

8、方形 ABM+ FBL=90 又 BFL+ FBL=90 ABM= BFL 又 FLB= BMA=90 ， BF=AB BFL ABM FL=BM 同理 AMC CND CM=DN BM+CN=FL+DN BC=FL+DN=2OP 经 典 题（三）1、如图，四边形 ABCD 为正方形， DE AC ，AE AC， AE 与 CD 相交于 F求证： CECF（初二）证明：连接 BD 交 AC 于 O。过点 E 作 EGAC 于 G ABCD 是正方形BD AC 又 EGAC BD EG 又 DE AC ODEG 是平行四边形 又 COD=90 ODEG 是矩形EG=OD=1 2BD=1AC=1A

9、E 22 EAG=30 AC=AE ACE= AEC=75 又 AFD=90 -15 =75 CFE=AFD=75 =AEC CE=CF 第 4 页 共 9 页2、如图，四边形 ABCD 为正方形， DE AC ，且 CECA ，直线 EC 交 DA 延长线于 F求证： AE AF（初二）证明：连接 BD，过点 E 作 EGAC 于 G ABCD 是正方形BD AC，又 EGAC BD EG 又 DE AC ODEG 是平行四边形AC=1CE CAE= CEA=1 GCE=152又 COD=90 ODEG 是矩形在 AFC 中 F =180 -FAC- ACF EG = OD =1BD=1=1

10、80 -FAC- GCE =180 -135 -30 =15222 GCE=30 F= CEA AC=EC AE=AF 3、设 P 是正方形 ABCD 一边 BC 上的任一点， PFAP，CF 平分 DCE求证： PAPF（初二）证明：过点 F 作 FGCE 于 G，FHCD 于 H CD CG HCGF 是矩形 HCF= GCF FH=FG HCGF 是正方形CG=GF APFP 设 AB= x，BP=y，CG=zz APB+ FPG=90z：y= （x-y+z）：x APB+ BAP=90 化简得（ x-y）y=（ x-y） FPG=BAP x-y 0 又 FGP=PBA y=z FGP

11、PBA 即 BP=FG FG：PB=PG ：AB ABP PGF 4、如图， PC 切圆 O 于 C， AC 为圆的直径， PEF 为圆的割线， AE 、AF 与直线 PO 相交于 B、D求证： AB DC， BCAD （初三）证明：过点 E 作 EK BD，分别交 AC 、AF 于 M 、K，取 EF 的中点 H，连接 OH 、MH 、EC EH=FH OH EF， PHO=90 又 PCOC， POC=90P、 C、H、O 四点共圆 HCO= HPO 又 EK BD， HPO= HEK HCM= HEM H、C、E、 M 四点共圆 ECM= EHM 又 ECM= EFA EHM= EFA

12、HM AC EM=KM EK BD OBAOODEMAMKMOB=OD 又 AO=CO 四边形ABCD的对角线互相平分ABCD 是平行四边形AB=DC ，BC=AD EH=FH 第 5 页 共 9 页经典题 ( 四) 1、已知：ABC 是正三角形， P 是三角形内一点，PA3，PB4，PC5A求 APB 的度数（初二）解：将ABP 绕点 B 顺时针方向旋转60 得 BCQ ，连接 PQ 则 BPQ 是正三角形 BQP=60 ， PQ=PB=3 P在 PQC 中， PQ=4， CQ=AP=3 ，PC=5 PQC 是直角三角形 PQC=90 BQC= BQP+ PQC=60 +90 =150BQC

13、D APB= BQC=150 2、设 P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且PBA PDA 求证： PAB PCB（初二）A 作 PD 的平行线，A证明：过点P 作 AD 的平行线，过点P两平行线相交于点E，连接 BE PE AD ，AE PD ADPE 是平行四边形EPE=AD ，又 ABCD 是平行四边形AD=BC BCPE=BC 又 PE AD ， AD BC PE BC BCPE 是平行四边形 BEP=PCB ADPE 是平行四边形 ADP= AEP 又 ADP= ABP AEP= ABP A 、E、B、P 四点共圆 BEP=PAB PAB=PCB BD（初三）EDC3、设 ABCD

14、 为圆内接凸四边形，求证：AB CD AD BCAC 证明：在 BD 上去一点 E，使 BCE= ACD ACD=CD CAD= CBD BEC ADC BEBCADACBAD BC=BE AC BCE= ACD BCE+ ACE= ACD+ ACE 即 BCA= ECD BC=BC, BAC= BDC +得 AB CD+ AD BC =DE AC+ BE AC =（DE+BE ） AC BAC EDC =BD AC ABACDECDAB CD=DE AC 第 6 页 共 9 页4、平行四边形 ABCD 中，设 E、F 分别是 BC、AB 上的一点， AE 与 CF 相交于 P，且 AE CF

15、求证： DPA DPC（初二）证明：过点D 作 DG AE 于 G，作 DH FC 于 H，连接 DF、DE FAGHCDS ADE =1 2 AEDG，SFDC=1 2 FCDH 又 S ADE = S FDC=1 2 SABCDP AEDG=FC DH 又 AE=CF BEDG=DH 点 D 在 APC 的角平分线上 DPA DPC 经 典 题（五）1、设 P 是边长为 1 的正 ABC 内任一点， LPAPBPC， 求证：3 L2证明：（1）将 BPC 绕 B 点顺时针旋转60 的 BEF，连接 PE，BP=BE ， PBE=60 A PBE 是正三角形。PE=PB 又 EF=PC L=

16、PA+PB+PC=PA+PE+EF BDPEGC当 PA、 PE、EF 在一条直线上的时候，L=PA+PE+EF 的值最小（如图）在 ABF 中， ABP=120 AF=3L=PA+PB+PC 3（2）过点 P 作 BC 的平行线分别交AB 、AC 于 D、 G 则 ADG 是正三角形 ADP= AGP ，AG=DG F APD AGP APD ADP AD PA 又 BD+PD PB CG+PG PC + +得 AD+BD+CG+PD+PG PA+PB+PC AB+CG+DG=AB+CG+AG=AB+ACPA+PB+PC=L AB=AC=1 L2 由（ 1）（ 2）可知：3 L2第 7 页

17、共 9 页2、已知： P 是边长为 1 的正方形 ABCD 内的一点，求PA PBPC 的最小值AD解：将 BCP 绕点 B 顺时针旋转60得 BEF，连接 PE，则 BPE 是正三角形PE=PB BPECPAPBPC=PA+PE+EF要使 PA PBPC 最小，则 PA、PE、EF 应该在一条直线上（如图）此时 AF= PA+PE+EF过点 F 作 FGAB 的延长线于G 2=23GF则 GBF=180 -ABF=180 -150 =30GF=1 2，BG=3 2AF=GF2AG2=123122PAPBPC 的最小值是233、P 为正方形 ABCD 内的一点，并且PA a，PB2a，PC 3

18、a，求正方形的边长证明：将ABP 绕点 B 顺时针旋转90 得 BCQ ，连接 PQ APD则 BPQ 是等腰直角三角形，PQ=2 PB=2 2a=22 a 又 QC=AP=a QP2+QC2=(22 a) 2+a 2=9a2=PC2BQC PQC 是直角三角形 BQC=135BC2=BQ2+CQ2-2BQ CQcosBQC =PB2+PA 2-2PB PAcos1352=4a2+a2-2 2a a (-) 2解得 BC= 5 2 2 a正方形的边长为 5 2 2 a第 8 页 共 9 页4、如图，ABC 中， ABC ACB 80 ， D、 E 分别是 AB 、AC 上的点， DCA 30

19、， EBA 20 ，求 BED 的度数解：在 AB 上取一点 F，使 BCF=60 ，CF 交 BE 于 G，连接 EF、DG A ABC=80 ， ABE=20 ， EBC=60 ，又 BCG=60 BCG 是正三角形BG=BC ACB=80 ， BCG=60 FCA=20 EBA= FCA 又 A= A，AB=AC ABE ACF AE=AF FGE AFE= AEF= 1 2（180 -A）=80又 ABC=80 =AFE EF BC EFG= BCG=60 EFG 是等边三角形EF=EG ， FEG=EGF= EFG=60ACB=80 ， DCA=30 BCD=50 D BDC=180 -BCD- ABC=180 -50 -80 =50 BCD=