数字滤波器理论与设计

1、工程信号分析(fnx)与处理专题讲座数字(shz)滤波器理论与设计|H( ejw)|10通带过渡带阻带cwrw2d1d-1w共一百零六页主要(zhyo)内容数字滤波器的基本概念数字滤波器理论基础(jch)数字滤波器设计方法基于Matlab的数字滤波器设计共一百零六页主要(zhyo)内容数字滤波器基本概念数字滤波器理论基础数字滤波器设计方法(fngf)基于Matlab的数字滤波器设计共一百零六页1.数字(shz)滤波器的基本概念数字滤波器的定义：输入输出均为数字信号通过一定运算关系改变输入信号(xnho)所含频率成分的相对比例，或者滤除某些频率成分的器件优点：高精度，稳定，体积小，重量轻，灵活，

2、不要求阻抗匹配，可实现模拟滤波器没法实现的特殊滤波功能共一百零六页数字滤波器的分类：从适用范围角度分：经典滤波器：信号和干扰频带互不干扰（选频滤波器）现代滤波器：信号和干扰频带互相(h xing)重叠（eg. 维纳滤波器，卡尔曼滤波器，自适应滤波器等）从实现的网络结构分：无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器有限长单位脉冲响应（FIR）滤波器共一百零六页从功能上分：低通滤波器高通滤波器带通滤波器带阻滤波器全通滤波器从信号的处理作用上分：选频滤波器其他滤波器：微分(wi fn)器，希尔伯特变换器，频谱校正等滤波器共一百零六页低通滤波器的技术指标：共一百零六页数字滤波器的基本(jbn)结构IIR 的基

3、本(jbn)结构有：直接型、级联型、并联型。直接型结构：直接I型、直接II型（正准型、典范型）。（1）FIR的横截型结构（直接型）（2） FIR的级联型结构（3）FIR的线性型 结构（4）FIR的频率抽样型结构（5）FIR的轨迹卷积型结构FIR滤波器共一百零六页主要(zhyo)内容数字(shz)滤波器基本概念数字滤波器理论基础数字滤波器设计方法基于Matlab的数字滤波器设计共一百零六页系统(xtng)的因果性和稳定性因果系统 若系统 n时刻的输出，只取决于n时刻以及n时刻以前(yqin)的输入序列，而与n时刻以后的输入无关，则称该系统为因果系统。非因果系统 如果n时刻的输出还取决于n时刻以后

4、的输入序列，在时间上违背了因果性，系统无法实现，则系统被称为非因果系统。因此系统的因果性是指系统的可实现性。非因果模拟系统是不可实现的系统。共一百零六页稳定系统 稳定系统是有界输入产生有界输出(shch)的系统 数学描述：线性系统： 满足叠加原理的系统 （可加性 ， 比例性）移不变系统若则若系统响应与激励加于系统的时刻无关(wgun)，则称为移不变系统数字滤波器是线性移不变系统共一百零六页 设连续的函数x(t)可以进行拉普拉斯变换，其拉氏变换为X(s)，连续时间x(t)经采样(ci yn)周期为T的采样(ci yn)器后，变成离散信号序列(xli)的Z变换拉普拉斯变换:L共一百零六页令 , 其

5、中(qzhng) z 为一个复变量则广义上讲T=1离散信号(xnho)的Z变换共一百零六页Z变换基本(jbn)性质线性和位移性序列线性加权（ Z 域微分）序列指数(zhsh)加权（ Z 域尺度变换）初值定理和终值定理时域卷积和 Z 域卷积定理帕斯瓦尔定理请同学们课后学习共一百零六页拉普拉斯变换(binhun)、傅里叶变换(binhun)、Z变换时域：复频域： Laplace 变换(binhun) S平面0共一百零六页所以(suy)：Fourier 变换(binhun) 频域：所以，傅里叶变换是S 仅在虚轴上取值的拉普拉斯变换。因为：S平面0共一百零六页得到：拉普拉斯变换 对应连续信号 Z变换

6、对应离散信号 与共一百零六页离散(lsn)时间序列的傅里叶变换， DTFT平面平面共一百零六页Laplace 变换(binhun)Fourier 变换(binhun) 连续时间信号S平面0S平面0共一百零六页z 变换(binhun)Fourier 变换(binhun)离散时间信号平面平面共一百零六页系统(xtng)函数系统(xtng)函数定义为：系统零状态响应的Z变换与输入的Z变换之比共一百零六页系统函数(hnsh)和差分方程的关系常系数线性差分方程的一般(ybn)形式：若系统的起始状态为零，直接对上式求z变换：共一百零六页23所以(suy)有：将上式进行(jnxng)因式分解得：使分子多项式

7、 = 0 的 的 Zeros (零点)使分子多项式 = 0 的 的 Poles (极点）系统的极零分析！共一百零六页系统频率响应(pn l xin yn)的意义 为了研究线性移不变系统对输人频谱的处理作用，有必要研究线性移不变系统对复指数或正弦的稳态响应，这就是(jish)系统的频域表示法。设输入为：则：共一百零六页 当系统输入(shr)为复指数序列，则输出为同频的复指数序列，其幅度受频率响应幅度 加权，而输出的相位则为输入(shr)相位与系统相位响应之和。系统(xtng)的频率响应共一百零六页表征滤波器频率响应(pn l xin yn)的特征参量幅度平方响应H(z)H(z-1)的极点既是共轭

8、的，又是以单位圆成(yunchng)镜像对称的。H(z)的极点：单位圆内共一百零六页相位(xingwi)响应：共一百零六页位于(wiy)单位圆内的零/极矢量角度变化为2p位于单位(dnwi)圆外的零/极矢量角度变化为 0当共一百零六页令：单位圆内零点数为mi单位(dnwi)圆外的零点数为mo单位(dnwi)圆内的极点数为pi单位圆外的极点数为po则：共一百零六页全部(qunb)极点在单位圆内：po = 0，pi = N因果(yngu)稳定系统1）全部零点在单位圆内：2）全部零点在单位圆外： 为最小相位延时系统为最大相位延时系统相位延时系统n 0时，h(n) = 0共一百零六页最小相位(xing

9、wi)延时系统的性质1）在 相同(xin tn)的系统中，具有最小的相位滞后2）最小相位延时系统的能量集中在n=0附近，而总能量相同5）级联一个全通系统，可以将一最小相位系统转变成一相同幅度响应的非最小相位延时系统4）在 相同的系统中， 唯一3）最小相位序列的 最大：共一百零六页群延时响应：相位(xingwi)对角频率的导数的负值若滤波器通带内 ，则为线性相位滤波器。 共一百零六页主要(zhyo)内容数字滤波器简介数字滤波器理论(lln)基础数字滤波器设计方法基于Matlab的数字滤波器设计共一百零六页数字(shz)滤波器的数学描述：1)差分方程2)系统(xtng)函数共一百零六页数字(shz

10、)滤波器的设计步骤数字(shz)滤波器的设计三个步骤: (1) 按要求确定滤波器的性能参数； (2) 用一个因果稳定的离散线性移不变系统的系统函数去逼近这一性能要求； (3) 用有限精度的运算实现；实现可以采用通用计算机，也可以采用DSP。共一百零六页数字滤波器设计(shj)方法IIR滤波器：零极点位置累试法。用模拟滤波器理论来设计数字滤波器。直接在频域或时域中进行，需要(xyo)计算机辅助FIR滤波器：窗函数法频率采样法切比雪夫等波纹逼近法共一百零六页IIR数字滤波器设计(shj)方法共一百零六页IIR数字(shz)滤波器设计方法IIR数字(shz)滤波器的系统函数是z的有理函数，可表示为系

11、统函数的设计就是要确定系数 ， 或者零、极点 ， 以使滤波器满足给定的性能要求。这种设计一般有3种方法。共一百零六页零极点(jdin)位置累试法。当滤波器性能未达到要求时，通过多次改变零极点位置来达到要求。此法只适用于简单滤波器。用模拟滤波器理论来设计数字滤波器。在IIR数字滤波器的设计中较多的采用这种方法。 脉冲（冲激）响应不变法 双线性变换法3.用计算机辅助设计，优化技术设计。共一百零六页冲激响应不变法(bin f)变换(binhun)原理数字滤波器的单位冲激响应h(n) 模仿模拟滤波器的单位冲激响应ha(t)T抽样周期)(txa)(tya)(tha)()(nTxnxa=)()(nTyny

12、a=共一百零六页对于一个线性时不变的因果(yngu)的模拟系统，其输入输出关系为：其中(qzhng)该积分即为0区间曲线()下的面积，此面积可近似地用求和来计算（即将 轴离散化为：0、T、2T、）：0()T(4T)0()共一百零六页其中(qzhng)：上述等式当中要求(yoqi)T趋于0等号才成立。但抽样周期T不可能为0，那么当T足够小的时候，再把变量t用nT代替，有：而数字系统h(n)的输入为x(n)的时，其输出为：)()(nTxnxa=)()(nTynya=共一百零六页将相应的模拟信号的取样xa(nT)和模拟系统的频率响应(pn l xin yn)Xa()替换为ha(nT)和Ha()：令得

13、所以滤波器实现的条件是H(ej)和H()满足如下(rxi)关系：共一百零六页H(ej)和H()满足(mnz)关系：可看出(kn ch)：如果Ha()被限制在一个周期内，则H(ej)在此区间内与Ha()完全一致。如果Ha()不被限制在-s/2 s/2之内，则H(ej)将产生混叠失真。共一百零六页冲激响应不变法的设计(shj)过程如下：已知一模拟(mn)滤波器系统函数：(设MN)为方便求出其时域单位脉冲响应，将上式化为部分分式之和的形式：由拉氏反变换得模拟滤波器在时域的单位脉冲响应：共一百零六页z平面ImRe冲激响应不变法(bin f) s z由上述Ha(s) 和H(z)的表达式可看出：si=pi

14、是模拟滤波器的一个极点，则相应的zi=ePiT就是(jish)数字滤波器里的一个极点。推而广之，则可得到脉冲响应不变法下的s平面和z平面的映射关系：z=esT 令z=ej，s=+j可得z平面的模、幅角和s平面的实部、虚部之间对应的关系：s平面的周期是2的周期是2/T注意，由的周期性可见，必须满足模拟滤波器的最高频率ms/2或频响Ha()必须在/T, /T上严格限带的。共一百零六页优点(yudin)：缺点(qudin)：保持线性关系：w=WT线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器频率响应混叠只适用于限带的低通、带通滤波器h(n)完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应ha(t) 时域逼近良好脉冲响应

15、不变法的优缺点共一百零六页冲激响应不变法：时域模仿逼近缺点是产生频率响应的混叠失真为了克服这一缺点，采用(ciyng)双线性变换法。使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似双线性变换法共一百零六页变换原理(yunl)及特点脉冲响应不变法的映射(yngsh)是多值映射(yngsh),导致频率响应交叠。改进思路：先将s域平面压缩到一个中介平面s1，然后再将s1映射到Z平面。共一百零六页共一百零六页为使模拟滤波器某一频率(pnl)与数字滤波器的任一频率(pnl)有对应关系，引入系数 c共一百零六页2）某一特定(tdng)频率严格相对应：1）低频处有较确切的对应(duyng)关系：特定频率处频

16、率响应严格相等，可以较准确地控制截止频率位置变换常数c的选择共一百零六页优缺点优点(yudin)：避免(bmin)了频率响应的混迭现象s 平面与 z 平面为单值变换共一百零六页 缺点：除了零频率附近(fjn)，W与w之间严重非线性2）要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不然会产生(chnshng)畸变1）线性相位模拟滤波器 非线性相位数字滤波器分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器，但临界频率点产生畸变共一百零六页常用(chn yn)模拟低通滤波器巴特沃斯 Butterworth 滤波器切比雪夫 Chebyshev 滤波器椭圆(tuyun) Ellipse 滤波器贝塞尔 Bes

17、sel 滤波器这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。共一百零六页巴特沃斯滤波器设计(shj)幅度平方(pngfng)函数：当称 为Butterworth低通滤波器的3分贝带宽N为滤波器的阶数为通带截止频率共一百零六页1）幅度(fd)函数特点： 当WWst（阻带(z di)截止频率）时，衰减的d1为阻带最小衰减3dB不变性通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小过渡带及阻带内快速单调减小共一百零六页Butterworth滤波器是一个(y )全极点滤波器，其极点： 2）幅度平方(pngfng)特性的极点分布：共一百零六页 极点在s平面(pngmin)呈象限对称，分布在Buttt

18、erworth圆上，共2N点 极点(jdin)间的角度间隔为 极点不落在虚轴上 N为奇数，实轴上有极点，N为偶数，实轴上无极点Ha(s) Ha(-s)的零极点分布(a) N=4 (三阶） (b)N=4 （四阶）共一百零六页3）滤波器的系统(xtng)函数：为归一化系统(xtng)的系统(xtng)函数去归一化，得共一百零六页4)滤波器的设计(shj)步骤：根据(gnj)技术指标求出滤波器阶数N：确定技术指标：由得：同理：令则：共一百零六页求出归一化系统(xtng)函数：或者(huzh)由N，直接查表得其中技术指标Wc给出或由下式求出：其中极点：去归一化阻带指标有富裕或通带指标有富裕 共一百零六

19、页例：设计Butterworth数字低通滤波器，要求在频率低于0.2p rad的通带内幅度特性下降小于1dB。在频率0.3p到p之间的阻带内，衰减大于15dB。分别(fnbi)用冲激响应不变法和双线性变换法。1、用冲激响应不变法(bin f)设计1）由数字滤波器的技术指标：2）得模拟滤波器的技术指标：选T = 1 s共一百零六页a）确定(qudng)参数用通带(tn di)技术指标，使阻带特性较好，改善混迭失真3）设计Butterworth模拟低通滤波器共一百零六页b) 求出极点(jdin)（左半平面）c) 构造系统(xtng)函数或者b) 由N = 6，直接查表得c) 去归一化共一百零六页4

20、）将Ha(s)展成部分(b fen)分式形式:变换(binhun)成Butterworth数字滤波器：共一百零六页2、用双线性变换法设计(shj)1）由数字(shz)滤波器的技术指标：2）考虑预畸变，得模拟滤波器的技术指标：共一百零六页a）确定(qudng)参数用阻带技术指标，使通带特性(txng)较好，因无混迭问题3）设计Butterworth模拟低通滤波器共一百零六页b) 求出极点(jdin)（左半平面）c) 构造(guzo)系统函数共一百零六页或者b) 由N = 6，直接查表得c) 去归一化共一百零六页4）将Ha(s)变换(binhun)成Butterworth数字滤波器：共一百零六页F

21、IR数字滤波器设计(shj)方法共一百零六页 单位冲激响应只有(zhyu)有限多项 可以设计成线性相位系统 只在零点处有极点，因此系统总是稳定的 便于DSP实现（并可用立即数乘加指令编程，节约存储器）FIR滤波器的主要(zhyo)特点：共一百零六页FIR与IIR相比较(bjio)： 首先在相频特性控制上可以做到线性相位，IIR而不能做到这一点； 其次，FIR不存在稳定性问题，其非递归结构不会产生极限环现象等有限精度(jn d)问题； 最后，FIR还可以FFT用来滤波。故FIR应用越来越多。共一百零六页76FIR-h(n) 有限(yuxin)长度IIR-h(n) 无限(wxin)长度相位特性难以

22、控制可设计为精确严格的线性相位特性较少的阶数获得较高的选择特性，存储单元少，运算次数少，高效经济。要获得一定的选择性，所用的存储单较多，运算较复杂，成本高。共一百零六页线性相位(xingwi)设计的重要性1、系统(xtng)的相移会造成信号波形的改变时间 t幅度原始信号时间 t幅度相移90o时间 t幅度相移 180o共一百零六页2、系统非线性相移造成输出信号(xnho)失真f1 f2f时延f1 f2f时延f1 f2f()f1 f2f() 系统相位特性决定了信号不同(b tn)频率的时延共一百零六页3、忽略(hl)相位信息的后果输入波形DFT变换忽略相位信息IDFT变换输出波形共一百零六页线性相

23、位(xingwi)要求：线性相位的FIR滤波器设计(shj)基础- 系统的群延迟共一百零六页线性相位(xingwi)FIR滤波器特点 FIR滤波器的单位(dnwi)冲激响应：系统函数： 收敛域包括单位圆； z平面上有N-1个零点； z=0是N-1阶极点;特点：FIR滤波器永远稳定和容易实现线性相位共一百零六页一、设计思想 设希望设计的滤波器传输函数为Hd(ej)，hd(n)是与其对应(duyng)的单位脉冲响应，因此 ： 用窗函数(hnsh)法设计FIR滤波器n问题：一般情况下Hd(ej)是逐段恒定的，在边界频率处有不连续点，所以hd(n)是无限时宽，且为非因果，这样的系统不能实现。共一百零六

24、页二、加窗处理对FIR滤波器幅频特性的影响 设计过程中，加窗后的单位响应序列为 h(n)= hd(n)RN(n)。即用一个有限长的序列h(n)去代替一个无限长的序列hd(n)，会产生误差，时域中是截断处理，在频域表现出的现象就是通带和阻带中有波动，也称为吉布斯效应(截断效应)。 这样设计出来的频响 H(ejw) 只能是尽量逼近(bjn)要求的*共一百零六页)矩形窗的幅度(fd)函数理想低通滤波器的幅度(fd)特性*结论：设计出来的滤波器的幅度特性等于理想低通滤波器的幅度特性Hd()与矩形窗幅度特性Rd()的卷积。共一百零六页Hd()与Rd()卷积形成(xngchng)H()的过程Wc+2/NW

25、c2/NH(w)最大的正峰与最大的负峰对应的频率相差4/N共一百零六页H()与原理想低通 Hd()差别有以下2点： H()在 =C附近形成过渡带，过渡带宽度B=4/N，近似于矩形序列幅度谱RN()的主瓣宽度； 通带内增加了波动，最大的峰值(fn zh)在 =C2/N 处，阻带内产生了余振，最大的负峰值在 =C+2/N 处。幅度谱RN()波动越快(N加大)，通带、阻带内波动越快，其旁瓣的大小直接影响H()波动的大小。 Hd()在加窗后在频域中的现象称为吉布斯效应影响: (1)通带内的波动(bdng)影响滤波器通带的平稳性；(2)阻带内波动影响阻带的衰减，可使最小衰减不满足技术要求；共一百零六页2

26、、改善窗函数的形状 减少带内波动以及加大阻带的衰减只能从窗函数的形状找出解决方法，主要考虑以下2点因素： 尽量减小主瓣宽度，以获得较窄的过渡带； 尽量使窗函数的最大副瓣相对于主瓣要小，使设计出来的滤波器幅度特性(txng)中肩峰和余振较小，阻带衰减较大。共一百零六页三、窗函数法的设计步骤1确定希望逼近(bjn)的滤波器的频响函数Hd(ej)2、根据Hd(ej)确定其对应的单位脉冲响应hd(n)IDFTRM(n)n(1) Hd(ej)可封闭求解，则：(2) Hd(ej) 不可封闭求解(qi ji)，对Hd(ej) 从 =02采样M点，采样值为 Hd(ej2k/M)，k=0,1,M-1，用2/M

27、代替上式中d ，则：共一百零六页(3) 如果已知通带(或阻带)衰减和边界截止频率c，选理想滤波器作为逼近(bjn)函数，对理想滤波器频响函数作 IFT ，求出 hd(n)。2、选择窗函数 根据过渡带与阻带衰减的要求(yoqi)，选择满足条件的窗函数形式，并估计窗口长度N。原则是保证阻带衰减的前提下，尽量选主瓣窄的窗函数。共一百零六页3、计算所要设计的滤波器的单位(dnwi)采样响应h(n) 计算滤波器的单位取样响应 h(n)= hd(n)w(n)。其中 w(n)是上面选择好的窗函数，hd(n)与w(n)都应满足线性相位要求。 4、验证技术指标是否满足要求 已设计出的滤波器的频率响应 。验算H(

28、ej)是否满足设计要求，若不满足要求，重复上面2，3，4过程。共一百零六页窗函数法优点： 从时域出发的一种设计(shj)方法，设计(shj)简单，方便，实用。缺点是： 要求用计算机实现，边界频率不易控制。Hd(ej)h(n)hd(n)IFT加窗截断(ji dun)FT比较，满足设计要求，则设计完毕，不合格则修改窗函数H (ej)共一百零六页一、频率采样法基本原理设 Hd(ej) 为所要设计的数字(shz)滤波器的频率响应，则:1、在= 范围内对 Hd(ej) 进行N点等间隔采样，得到Hd(k)用频率(pnl)采样法设计FIR滤波器2、对N点Hd(K)进行IDFT，得所设计的滤波器的单位脉冲响应

29、h(n)共一百零六页3对求出的h(n)进行z变换，得到(d do)滤波器的系统函数H(z)或利用(lyng)频域内插公式共一百零六页Hd(ej)Hd(k)h(n)H(ej)等间隔采样IDFT内插函数是否满足指标共一百零六页（2）h(n)偶对称(duchn)，N为偶数时：设计方法： 用理想滤波器作为逼近(bjn)滤波器，截止频率为c，采样点数为N，则Hk和k的计算公式为：（1）h(n)偶对称，N为奇数时：Hk = HN-k = 1， k=0，1，kc；Hk = 0， k= kc+1，kc+2，N-kc-1；k=0，1，N-1；Hk = 1， k=0，1，kc；Hk = 0， k= kc+1，kc

30、+2，N-kc-1；k=0，1，N-1；HN-k = -1， k=0，1，kc；kc取小于等于 cN /2的最大整数共一百零六页对 H(k) 进行 IDFT变换(binhun)，求出 h(n)；由 h(n)可求出所设计滤波器的频响 H(ejw)由前面(qin mian)计算出的Hk和k的值可构造出H(k)等效于在0，2 上的N个采样值k=0，1，N-1；共一百零六页总结：频率采样法设计线性相位FIR滤波器步骤(bzhu)1、根据c 及N的奇偶性，确定滤波器 Hk和 k及kC值；2、由H(k) = Hkejk，求出 H (k)；3、对 H (k) 进行 IDFT变换，求出 h(n)；4、由 h(n) 求出所设计的滤波器的频率响应 H(ejw)，并分析误差，优化设计。共一百零六页主要(zhyo)内容数字滤波器基本