第10章-讲义3质点系达朗贝尔惯性力系的简化

1、1理论力学B 第10章达朗贝尔原理BRY10.3 质点系达朗贝尔惯性力系的简化 为了便于问题的处理，将质点系的达朗贝尔惯性力系用一个简单的与之等效的力系来代替，称为质点系达朗贝尔惯性力系的简化。 由静力学中力系的简化理论知道，在一般情况下任意力系向一点简化，可得到一个力和一个力偶，这个力的大小和方向由力系的主矢决定，这个力偶的力偶矩由力系对简化中心的主矩决定。10.3.1 质点系的达朗贝尔惯性力系的 主矢和主矩(10-8)质点系的达朗贝尔惯性力系的主矢质点系的达朗贝尔惯性力系的主矢2理论力学B 第10章达朗贝尔原理BRY设质点系的质点 Di 相对于空间某一固定点 O 的矢径为(10-9) 则(

2、10-10)上式表明：质点系的达朗贝尔惯性力系的主矢等于质点系的总质量与质心加速度的乘积并冠以负号。(10-11)表明：式 (10-6) 本质为质心运动定理的数学表达式3理论力学B 第10章达朗贝尔原理BRY质点系的达朗贝尔惯性力系对固定点的主矩(10-12)质点系的达朗贝尔惯性力系对空间固定点 O 的主矩 对于质量不变的质点系，则有质点系对点 O 的动量矩4(10-13)理论力学B 第10章达朗贝尔原理BRY上式表明：质点系的达朗贝尔惯性力系对固定点 O 的主矩等于质点系对该点的动量矩对时间的一阶导数并冠以负号。5理论力学B 第10章达朗贝尔原理BRY(10-14)表明：式 (10-7) 中

3、的点 A 取为固定点 O 时，其本质为质点系对空间固定点 O 的动量矩定理的数学表达式。质点系的达朗贝尔惯性力系对动点的主矩不要求 质点系的达朗贝尔惯性力系对任意动点 A 的主矩 为各质点的达朗贝尔惯性力对动点 A 的矩的矢量和，即(10-15)设质点系的质点 Di 相对于动点 A 的矢径为 ，则(10-15)根据力系对不同两点的主矩关系式 (4-20) ，得到6理论力学B 第10章达朗贝尔原理BRY(10-16)(10-17)根据质点系对不同两点的动量矩关系式 (9-16) ，得到(10-18)将上式两边对时间求一阶导数得到(10-19)7理论力学B 第10章达朗贝尔原理BRY将式 (10-

4、19) 代入式 (10-17) 得到(10-20)再根据质点系对动点 A 的绝对动量矩和相对动量矩关系式 (9-14) ，有(10-21)将上式两边对时间求一阶导数得到8理论力学B 第10章达朗贝尔原理BRY(10-22)将式 (10-22) 代入式 (10-20) 得到(10-23)上式表明：质点系的达朗贝尔惯性力系对动点 A 的主矩，等于两项之和，其中第一项为质点系对动点 A 的相对动量矩对时间的一阶导数的负值；第二项为质点系在平移坐标系 Axyz （一般为非惯性参考系）中牵连惯性力的合力 （作用于质点系的质心）对动点 A 的矩。(10-24)表明：式 (10-7) 中的点 A 取为一般动

5、点时，其本质为质点系对该空间一般动点 A 的动量矩定理的数学表达式。9理论力学B 第10章达朗贝尔原理BRY质点系的达朗贝尔惯性力系对质心的主矩重要 设质点系的质点 Di 相对于质点系的质心 C 的矢径为 则质点系的达朗贝尔惯性力系对质心的主矩为(a) 显然(b) 由10理论力学B 第10章达朗贝尔原理BRY(c)(d)11理论力学B 第10章达朗贝尔原理BRY 又由(10-27) 与 相比较，得到 12(10-28)表明：式 (10-7) 中的点 A 取为质点系的质心 C 时，其本质为质点系对质心 C 的动量矩定理的数学表达式。理论力学B 第10章达朗贝尔原理BRY13理论力学B 第10章达

6、朗贝尔原理BRY结论 表明： 质点系达朗贝尔原理的平衡方程，完全包含了质心运动定理、对空间固定点的动量矩定理和对质心的动量矩定理。 表明：质点系达朗贝尔原理的平衡方程，还包含了质点对任意动点的动量矩定理。 (1) (2) (3) 达朗贝尔原理实质上是与动量原理（质心运动定理、动量矩定理）等价的（碰撞类问题除外）。 达朗贝尔原理只是提供了一种用静力学方法，列写系统动力学方程的方法，并未改变问题的动力学实质，但是，方程形式的这种变换却带来了分析、解决力学问题的新思路和新方法。14 (4) 由质点系达朗贝尔原理的矩方程还可以任意选取其他点为矩心，因此用它来求解动力学问题，可有效地避免在对一般动点写动

7、量矩定理时经常会发生的错误。 这就是用达朗贝尔原理多于用动量原理求解动力学问题的原因。理论力学B 第10章达朗贝尔原理BRY15理论力学B 第10章达朗贝尔原理BRY10.3.2 平面运动刚体的达朗贝尔惯性力系的简化平面运动刚体的达朗贝尔惯性力系向质心简化 (1) 刚体作平面运动，其达朗贝尔惯性力系向质心 C 简化得到一个达朗贝尔惯性力和一个达朗贝尔惯性力偶。 (2) 这个达朗贝尔惯性力的作用线过质心，其力矢与达朗贝尔惯性力系的主矢 相同(10-29) (3) 这个达朗贝尔惯性力偶的力偶矩等于达朗贝尔惯性力系对质心 C 的主矩 (10-30)16理论力学B 第10章达朗贝尔原理BRY (4)

8、具有质量对称面的平面运动刚体，其达朗贝尔惯性力系向质心 C 简化： 在工程实际中，平面运动刚体常常具有质量对称面，且质量对称面沿自身所在的平面运动，此时 的方向恒垂直于其质量对称面，则 刚体对过其质心并垂直于其质量对称面的轴的转动惯量 刚体运动的角速度 则 刚体运动的角加速度(10-31) 在这种情况下，平面运动刚体的达朗贝尔惯性力系向其质心 C 简化所得到的一个达朗贝尔惯性力和一个达朗贝尔惯性力偶矩，如图所示。C17理论力学B 第10章达朗贝尔原理BRY平面平动刚体的达朗贝尔惯性力系的简化 则平动刚体的达朗贝尔惯性力系向质心 C 简化的结果为一个达朗贝尔惯性力(10-32) 这一结论对空间平

9、动刚体也是成立的。C18理论力学B 第10章达朗贝尔原理BRY定轴转动刚体的达朗贝尔惯性力系的简化OC(10-33)(10-34) * 若定轴转动刚体具有质量对称面，且定轴垂直于质量对称面， 则(10-35) 此时向质心简化得到一个达朗贝尔惯性力（用两个正交分量表示）一个达朗贝尔惯性力偶矩19理论力学B 第10章达朗贝尔原理BRY * 定轴转动刚体的达朗贝尔惯性力系向定轴上点 O 简化：OC(10-36)(10-37)(10-38)（具有质量对称面）提示： 定轴转动刚体的达朗贝尔惯性力系向质心点简化与向定轴上点 O 简化是等价的。最容易犯的错误是，将达朗贝尔惯性力画在质心上，而将达朗贝尔惯性力偶矩按定轴 O 计算，即按式 (10-38) 计算。20 当按图示方法表示达朗贝尔惯性力和达朗贝尔惯性力偶矩时，在写它们的大小时，不要再将对应矢量式前的“负号”带入，因为“负号”所表示的方向（或转向）相反