第21讲简谐振动的描述

1、10-3 简谐振动的描述方法简谐振动的描述方法有多种代数法、曲线表示法、旋转矢量法、复数法等等。对谐振动的分析方法也有多种微分方程法、计算机数值计算分析法、相空间运动轨迹分析法、振动实验数据的分析法等等。一、代数法x Acos(t )初相位振幅相位系统固有角频率其中，振幅、角频率、初相是简谐振动的特征量也可以由正弦函数表达简谐振动cos(t ) sin(t )由于2 令2x Asin(t )则x Acos(t )振幅（litude）指谐振子离开平衡位置的最大位移的绝对值振幅是由系统的初始条件决定的（即依赖于外界对系统预置的能量）x0 A cos由2vA 0 x0 2v A sin 及02EA

2、也可由系统能量求振幅k振幅的大小反映了振动能量(即振动强度)的大小，这就是振幅的物理意义！相关概念 )v dx Asin(dt2 )a dv Acos(dt Avmax速度幅 A2amax加速度幅 mA kA2mamax力幅周期（period） TAcos(物体完成一次全振动所需时间 T ) 0 T 2频率（frequency）时间内振动的次数21 ：HzT2 秒内的振动次数角频率 2 2T弹簧振子12km T 2km单摆12gl T 2gl k m g llgT 2例题1 ：解： 将单摆的周期对 g 微分得 2g 3 dg)12dT1 dgdT 2l ( 2Tg当一只挂钟（看成单摆）在g =

3、 9.80 m/s2 处走时准确，移到另一地点后每天快 10 秒，则此地的重力加速度利用上式可求。 1 gT10g 2.27 103 m/s224 60 602 gT重力加速度g 按地域分布有变化，当 g改变dg时，单摆的周期变化多少 ?( 因此在某一纬度调好的挂钟移到另一纬度处，会发现时钟的走时不再准确，需重新调整）lgT 2例题2 ：解：将单摆的周期对 l微分得 12 g 12 dl12dT 2ldT 1 dl所以T2 l若摆长0.955m，每天慢2分10秒，应调整摆长2 60 10 0.955 2.99103 ml 224 60 60当摆的长度变化时，周期变化多少? ( 调整挂钟的依据)

4、 t 相位（phase）t时刻的相位是决定谐振子t 时刻运动状态（x，v）的物理量初相位（initial phase）t = 0 时刻的相位，决定开始时刻振子的运动状态x0 A cosv0 A sin 由及v0 x0 tan1 0, 2 )或- , 取值规则v0 x0( )象限+12+3+4 2 1相位差（phase difference）相位差只能在同频率的振动间比较 2nn 0, 1, 2当时两振动步调相同，称同相 （2n 1）n 0, 1, 2当时两振动步调相反，称反相若 0 2 超前于 1 或 1滞后于 2相位差反映了两个振动不同程度的参差错落二、复数法z Aei ( t )ei co

5、s i sin 由公式简谐振动的运动学函数应是复数 z 的实部即复数法在光学、电工学等专业领域中被广泛运用三、旋转矢量法x Acos(t )逆时针匀速旋转矢量的端点在坐标轴上的投影运动，可表示一特定的简谐振动的运动学方程。对应关系A 振幅 圆频率 初相位t 相位yt Aoxx旋转矢量的应用作振动图求初相位振动的y旋转矢量法确定初位相x 0v 0 x 0v 00,0000在第象限在第象限在第象限在第象限 Aoxx 0v 0 x 0v 0y例如：给定初始条件：v 02/3xA 00o A/2作旋转矢量图：3几种特特殊位置初位相x0 v0 A 0 0 0 A 0 0Ao 0 0 x x2Ao20 x

6、v0Ao x 0 xv0 3x20 3 / 2xov0 0A用旋转矢量表示相位关系相位是很重要但比较抽象的概念。利用旋转矢量图，相位就被简单表示成旋转矢量对x 轴的角度。旋转矢量的这个角度不同，就代表相位不同，因此，在图上要比较两个简谐振动的相位差就很方便。例如，对于沿x 轴振动的两个同频率的简谐振动：x1 A1 cos(t 1 ),x2 A2 cos(t 2 ),两者的相位差（即初相差）可能有下列四种情况：(1) 2 1 0, 称同相;(2) 2 1 , 称反相;(3) 2 1 0, 称振动2超前, 振动1(4) 1 2 0, 称振动1超前, 振动221超前/滞后AA21x反相位同相位AAA

7、212xxA1例题3 ： 0 /4 2 / 3 A A A /x0 x0 x0 x02正向运动正向运动 A /2 解：作参考圆确定以下几种情况的初相位例题4 ：解： 判定两振动之间的相位差，是一个在实际工作中经常遇到。用旋转矢量法由图可见 2 1 两振子 x10 A / 2 ，x20 A / 2都指向平衡位置运动。请判定它们的相位差。例题5 ：解：知道，简谐振动是变加速运动，要确定谐振子在两个不同状态间过渡所用的时间，是比较复杂的。x1 A cos( t1 )x2 A cos( t2 )设：t t2t1，要解过渡时间方程，这是比较复杂的。但借助旋转适量法却简单易行。因为旋转矢量的端点是作匀速圆周运动，这样问题就变得十分容易了。谐振子从A/ 2 的位置过渡到 A 的位置，最短历时是多少?首先考查从 A/ 2 到 A 的相位差从旋转矢量图上可以得出 0 ( ) 2133tT2由匀速运动的等时性t T 1 T所以，渡越时间为26例题6 ： 4 解：由x - t 图，A = 2，3x0 = -A / 2，向平衡位置移动某振子x-t 图和v-t 图如下，写出振子的运动学方程。 10m/svmax-1x-t 图上或T 信息不明确，再看v-t 图 vmax / A 5s A ，由速度幅 vmax找