7.4二阶常系数线性齐次微分方程

1、7.4二阶常系数线性齐次微分方程7.4二阶常系数线性齐次微分方程7.4二阶常系数线性齐次微分方程山东理工职业学院教案首页 2017-2018学年 第一学期课程名称 高等数学任课教师授课班级授课时间第 周第 周第 周第 周第 周第 周星期星期星期星期星期星期第 节第 节第 节第 节第 节第 节 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日授课课题7.4二阶常系数线性齐次微分方程教学目的1.了解二阶线性微分方程解的结构 2.熟练掌握二阶常系数线性齐次微分方程的解法教学重点二阶常系数线性齐次微分方程的解法教学难点教学用具备 注 引入新课新授课小结二阶常系数线性微分方程解的结构定理二阶常系数线性微分

2、方程的一般形式是 （1）其中，和都是一次的;为常数；是的已知连续函数，称为方程的自由项. 当时,称方程（1）为二阶常系数线性非齐次微分方程.当时,方程变为 (2)称方程(2)为二阶常系数线性齐次微分方程.通常称方程(2)是方程(1)对应的齐次方程.定理1 若函数是线性齐次微分方程(2)的两个解,则函数(为任意常数)也是方程(2)的解.定理2 若函数是线性齐次微分方程(2)的两个线性无关的特解,则函数(为任意常数)也是方程(2)的通解.求二阶常系数线性齐次微分方程 (2)通解的关键是求它的两个线性无关的特解.定理3 设是二阶常系数线性非齐次微分方程（1）的一个特解,是对应的齐次方程(2)的通解,

3、则是方程（1）的通解.求非齐次微分方程（1）通解的关键是先求出对应的齐次方程的通解,再求它本身的一个特解.二阶常系数线性齐次微分方程的解法设二阶常系数线性齐次微分方程为 (2)在方程中，由于和都是常数，所以函数必须满足求一、二阶导数后函数形式不变，最多相差常系数，代入方程左端整理后才可能为零.我们已经知道,函数具有这一特性.由此,设函数是方程(2)的解,其中是待定的常数.将代入方程(2)中，得由于，所以 （3）这是关于的二次代数方程，若函数是方程(2)的解，则必须满足方程（3）.我们称方程（3）为方程(2)的特征方程,特征方程的根称为特征根.特征方程（3）有两个根和,按二次方程（3）的判别式的

4、三种情况,其特征根有三种情况,从而方程(2)的通解有下面三种情况.当时，特征根为相异实根：因是微分方程(2)的两个特解，且它们线性无关：,所以微分方程(2)的通解为（是任意常数）.当时，特征根为重根：这时只得到方程的一个特解，通过待定函数法可找到，是方程的一个与线性无关的解.所以方程(2)的通解为（是任意常数）. 当时，特征根为共轭复根：其中.这时方程(2)有两个复数形式的特解为根据欧拉公式可得于是有函数与均为方程(2)的解,且它们线性无关.因此方程(2)的通解为（是任意常数）.例1 求微分方程的通解.解 方程所对应的特征方程为即其根为,故原方程的通解为.例2 求微分方程满足初始条件的特解.解 方程所对应的特征方程为即其根为,故原方程的通解为将代入通解,得.故满足初始条件的特解为.例3求微分方程的通解.解 方程所对应的特征方程为它有一对共轭复根, 故原方程的通解为.小结：二阶常系数齐次线性方程（1）形式：（其中为常数）（2）求解：特征方程,设, 为其两根, = 1 * GB