立体几何中的向量法课件

1、立体几何中的向量法一、复习用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（化为向量问题）（进行向量运算）（回到图形）利用向量解决 角与距离问题例题 例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ A1B1C1D1ABCD图1解：如图1，设化为向量问题依据

2、向量的加法法则，进行向量运算所以回到图形问题这个晶体的对角线 的长是棱长的 倍。思考：（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？ （2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 , 那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?A1B1C1D1ABCD分析:分析: 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？ 设AB=1 （提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）A1B1C1D1ABCDH分析：面面距离点面距离解： 所求的距离是问题：如何求直线A1B1到平面ABCD的距离？向量法求点到平面的距离：

3、PA如图，已知点P（x0,y0,z0）,在平面 内任意取一点A（x1,y1,z1），一个法向量其中也就是AP在法向量n上的投影的绝对值例2、已知正方形ABCD的边长为4，CG平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF的距离。DABCGFExyz问题： 请小结如何用向量的方法求空间中两点的距离？ 点到直线的距离？ 点面之间的距离？ 直线到直线的距离？abCDAB已知a,b是异面直线，n为a的法向量CD为a,b的公垂线则A，B分别在直线a,b上练习:如图，空间四边形OABC各边以及AC，BO的长都是1，点D，E分别是边OA，BC的中点，连结DE，计算DE的长。 OAB

4、CDE图2空间“距离”问题1. 空间两点之间的距离 根据两向量数量积的性质和坐标运算，利用公式 或 (其中 ) ，可将两点距离问题转化为求向量模长问题2. 点到面的距离 设n为平面 的一个法向量，AB是面 的一条斜线，A为斜足。根据向量在轴上射影的概念 ，点B到面 的距离等于向量在n上的射影的长度，所以BAn3. 异面直线间的距离 nCDC、D分别是 上任一点，则 间的距离可转化为向量 在n上的射影长，故设 为两异面直线，其公共法向量为 n,例2 如图，ABCD是矩形， 面ABCD， PD=DC= , AD= ，M、N分别是 AD, PB的中点，求点A到面MNC的距离 APDCBMN解：如图，

5、以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz 则D(0,0,0)，A( ,0,0)，B( , ,0)， C(0, ,0)，P(0,0, )DMPNAxCBzy由于M,N分别是AD,PD的中点所以M( ,0,0)，N( , ， 设 为面MNC的一个法向量，故 解得 ， 所以 且故可取 所以， 在 上的射影长即点A到面MNC的距离为 1. 已知正方体 的边长为2， O为AC和BD的交点，M为 的中点 （1） 求证： 直线 面MAC （2）求二面角 的余弦值巩固练习 B1A1 C1D1DCBAOM2如图，已知正方形ABCD的边长为4，E,F分别是AB,AD中点，GC 面ABCD,且GC2，求点B到面EFG的

6、距离DCAFBGE 本节课我们主要介绍了空间“角”与“距离”的向量解法。我们发现，引入“空间向量”这一工具，能避免较为复杂的空间想象，为立体几何代数化带来很大的方便。而且，我们还发现，在立几图形中合理建立空间直角坐标系，使“空间向量”坐标化，是解题的关键。事实上，它是完成从几何问题向代数问题转化的基础。小结 例2：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 和 ,CD的长为 , AB的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 解：如图，化为向量问题根据向量的加法法则进行向量运算ABCD图3于是，得设向量 与 的夹角为

7、， 就是库底与水坝所成的二面角。因此所以回到图形问题库底与水坝所成二面角的余弦值为思考： （1）本题中如果夹角 可以测出，而AB未知，其他条件不变，可以计算出AB的长吗？分析： 可算出 AB 的长。 （2）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？ 分析：如图，设以顶点 为端点的对角线长为 ，三条棱长分别为 各棱间夹角为 。A1B1C1D1ABCD （3）如果已知一个四棱柱的各棱长都等于 ，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 ，那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？A1B1C1D1ABCD分析：二面角

8、平面角向量的夹角回归图形 解：如图，在平面 AB1 内过 A1 作A1EAB 于点 E，在平面 AC 内作 CFAB 于 F。EF可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。例3 正三棱柱 中，D是AC的中点，当 时，求二面角 的余弦值。yxzCADBC1B1A1EF 解法一：如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz。设底面三角形的边长为 ，侧棱长为b则 C(0,0,0)yxzCADBC1B1A1EF故由于 ，所以 yxzCADBC1B1A1EF则可设 =1， ，则B(0,1,0) 作 于E, 于F，则 即为二面角 的大小在 中， 即E分有向线段 的比为 由于 且 ，所以 在 中，同理可求 c

9、os = 即二面角 的余弦值为 解法二：同法一，以C为原点建立空间直角坐标系 C-xyzyxzCADBC1B1A1 在坐标平面yoz中 设面 的一个法向量为 同法一，可求 B(0,1,0) 可取 （1，0，0）为面 的法向量 由 得， 解得 所以，可取 二面角 的大小等于 方向朝面外， 方向朝面内，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角练习： （1）如图4，60的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB4，AC6，BD8，求CD的长。 B图4ACD即二面角 的余弦值为 cos = （2）三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，A1AB45，A1AC60，求二面角B-A A1-C的平面角的余弦值。 ABCA1B1