高考数学二轮复习专题09 函数零点问题的综合应用（解析版）

1、专题09函数零点问题的综合应用 【方法技巧与总结】1.函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围.求解步骤：第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴(或直线)在某区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.【题型归纳目录】题型一：零点问题之一个零点题型二：零点问题之二个零点题型三：零点问题之三个零点题型四：零点问题之max，min问题题型五：零点问题之同构法题型六：零点问题之零点差问题题型七：零点问题之三角函数题型

2、八：零点问题之取点技巧【典例例题】题型一：零点问题之一个零点例1已知，函数（1）讨论的单调性；（2）若在上仅有一个零点，求的取值范围【解答】解：（1）由题可知：，令当，此时，在，单调递增，在单调递减；当时，恒成立，所以在上单调递增当，此时，在上单调递增，在单调递减综上，当时，的增区间为，的减区间为；当时，在上单调递增；当时，的增区间为，的减区间为（2）由题可得：（a）；由（1）可得：当时，所以仅在有一个零点，满足要求；当时，仅有一个零点，满足要求；当时，又在上仅有一个零点，则（a），即，综上，若在上仅有一个零点，则的取值范围时例2已知函数（1）若是函数的一个极值点，试讨论的单调性；（2）若在上

3、有且仅有一个零点，求的取值范围【解答】解：（1），是函数的一个极值点，则，当时，恒成立，在上单调递减当时，在，上单调递减，在递增综上，当时，在上单调递减当时，在，上单调递减，在递增（2）在上有且仅有一个零点，即方程有唯一解，令，令，可得或时，时，时，在递增，在，递减，且时，时，或，或所以，的取值范围，例3已知函数（）讨论的单调性；（）从下面两个条件中选一个，证明：恰有一个零点，；，【解答】解：（），当时，当时，当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，令，可得或，当时，当或时，当时，在，上单调递增，在，上单调递减，时， 且等号不恒成立，在上单调递增，当时，当或时，当时，在，上单调递增，在，上单调

4、递减综上所述：当 时， 在上单调递减；在上 单调递增；当 时， 在， 和上单调递增；在，上单调递减；当 时， 在 上单调递增；当 时， 在和， 上单调递增；在， 上单调递减（）证明：若选，由 （）知， 在上单调递增， 单调递减， 上 单调递增注意到 在 上有一个零点；，由 得，当 时，此时 无零点综上： 在 上仅有一个零点另解：当，时，有，而，于是，所以在没有零点，当时，于是，所以在，上存在一个零点，命题得证若选，则由（）知：在， 上单调递增，在，上单调递减，在 上单调递增，当 时，此时 无零点当 时， 单调递增，注意到，取，又易证，在上有唯一零点，即在上有唯一零点综上： 在 上有唯一零点题型

5、二：零点问题之二个零点例4已知函数，（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围【解答】解：（1）由，可得，当时，由，可得；由，可得，即有在递减；在递增；当时，由，解得或，若，则恒成立，即有在上递增；若时，由，可得或；由，可得；即有在，递增，在，递减；若，由，可得或；由，可得即有在，递增；在，递减；综上：当时，在递减；在递增；当时，时，在上递增；时，在，递增，在，递减；时，在，递增；在，递减（2）由（1）可得，当时，在递减；在递增，且（1），（2），故在上存在1个零点，取满足，且，则（b），故在是也存在1个零点，故时，有2个零点；当时，所以只有一个零点，不合题意；当时，若时，在递增，不

6、存在2个零点，不合题意；若，在递增，又当时，不存在2个零点，不合题意，当时，在单调增，在，递减，在，递增，极大值（1），故不存在2个零点，不合题意；综上，有两个零点时，的取值范围为例5已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围【解答】解：（1）的定义域为，且，当时，此时在上单调递增；当时，由解得，由解得，此时在上单调递增，在上单调递减；综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）由（1）知，当时，在上单调递增，函数至多一个零点，不合题意；当时，在上单调递增，在上单调递减，则，当时，函数至多有一个零点，不合题意；当时，由于，且，由零点存在性定理可知，在上存

7、在唯一零点，由于，且（由于，由零点存在性定理可知，在上存在唯一零点；综上，实数的取值范围为例6已知函数为自然对数的底数，且（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围【解答】解：（1），时，则时，在递减，时，在递增，当时，由得，若，则，故在递增，若，则当或时，时，故在，递增，在递减；综上：时，在递减，在递增，时，在，递增，在递减；时，在递增；（2）时，在递增，不可能有2个零点，当时，在，递增，递减，故当时，取极大值，极大值为，此时，不可能有2个零点，当时，由得，此时，仅有1个零点，当时，在递减，在递增，故，有2个零点，解得：，而（1），取，则（b），故在，各有1个零点，综上，的取值范围

8、是，题型三：零点问题之三个零点例7已知函数，（1）求的极值；（2）若方程有三个解，求实数的取值范围【解答】解：（1）的定义域为，当时，在上递减，在上递增，所以在处取得极小值，当时，所以无极值，当时，在上递增，在上递减，所以在处取得极大值（2）设，即，若，则当时，单调递减，当时，单调递增，至多有两个零点若，则，（仅（1），单调递增，至多有一个零点若，则，当或时，单调递增；当时，单调递减，要使有三个零点，必须有成立由（1），得，这与矛盾，所以不可能有三个零点若，则当或时，单调递增；当时，单调递减，要使有三个零点，必须有成立，由（1），得，由及，得，并且，当时，综上，使有三个零点的的取值范围为例8已

9、知函数，（1）求函数的单调区间和极值（2）若方程有三个解，求实数的取值范围【解答】解：（1）函数的定义域，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，故当时，函数取得极小值，没有极大值，由）整理可得，令，则可得，易得当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，故时，函数取得最小值即，故原方程可转化为，令，则，因为，易得当或时，函数单调递增，当时，函数单调递减，故当时，函数取得极大值（1），当时，函数取得极小值（e），由题意可得，与个交点，则，解可得，故的范围例9已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有三个零点，求的取值范围【解答】解：（1），时，在递增，时，令，解得：或，令，解得：，在递增，在，递减，在

10、，递增，综上，时，在递增，时，在递增，在，递减，在，递增；（2）由（1）得：，若有三个零点，只需，解得：，故题型四：零点问题之max，min问题例10已知函数，（1）当为何值时，轴为曲线的切线（2）设在，单调递增，求的取值范围（3）用，表示，中的最小值，设函数，讨论零点的个数【解答】解：（1）设曲线与轴相切于点，则，解得，因此当时，轴为曲线的切线；（2），导数为，由题意可得在，恒成立，即有的最小值，由的导数为在递增，即有最小值为4，则，解得；（3）当时，函数，故在时无零点当时，若，则（1），（1），（1）（1），故是函数的一个零点；若，则（1），（1），（1）（1），故不是函数的零点；当时，因

11、此只考虑在内的零点个数即可当或时，在内无零点，因此在区间内单调，而，（1），当时，函数在区间内有一个零点，当时，函数在区间内没有零点当时，函数在内单调递减，在，内单调递增，故当时，取得最小值若，即，则在内无零点若，即，则在内有唯一零点若，即，由，（1），当时，在内有两个零点当时，在内有一个零点综上可得：当或时，有一个零点；当或时，有两个零点；当时，函数有三个零点例11已知函数，（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；（2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；（3）用，表示，中的最小值，设函数，讨论零点的个数【解答】解：（1）若函数的定义域为，则任意，使得，所以，解得，所以实数的取值范围为（

12、2）若函数在上单调递减，又因为在上为减函数，所以在上为增函数且任意，所以，且（1），即，且，解得，所以的取值范围为，（3）因为当时，所以，所以在上无零点，当时，过点，且对称轴，作出的图象，可得只有一个零点，当时，过点，且对称轴，当，即时，只有一个零点，当，即时，的零点为，由两个零点，当，即时，令，解得，且，若，即时，函数有3个零点，若，即时，函数有1个零点，若若，即时，函数有2个零点，综上所述，当，时，只有一个零点，当或时，有两个零点，当，时，有三个零点例12已知函数，其中为自然对数的底数（1）讨论函数的单调性；（2）用，表示，中较大者，记函数，若函数在上恰有2个零点，求实数的取值范围【解答】

13、解：（1），当时，在上单调递增，当时，当，单调递增， 当，单调递减；（2）当时，在无零点，当时，（e），（e），若（e），即，则是的一个零点，若（e），即，则不是的零点，当时，所以此时只需考虑函数的零点的情况因为，当时，在上单调递增所以：（）当时，（e），在上无零点；（）当时，（e），又，所以此时在上恰有一个零点；当时，由（1）知，在递减，递增，又因为（e），所以此时恰有一个零点综上，题型五：零点问题之同构法例13已知函数，若函数在区间内存在零点，求实数的取值范围【解答】解：方法一：由可得，设，则，令，在单调递减，在单调递增，故（1）当时，令，当时，单调递减，当时，单调递增，（1），此时在区间

14、内无零点；当时，（1），此时在区间内有零点；当时，令，解得或1或，且，此时在单减，单增，单减，单增，当或时，此时在区间内有两个零点；综合知在区间内有零点方法二：由题意可得，即，因为当时等号成立，所以，即，令，易知在单减，在上单增，所以（1），又趋近于0和正无穷时，趋近于正无穷，所以例14已知（1）若函数在上有1个零点，求实数的取值范围（2）若关于的方程有两个不同的实数解，求的取值范围【解答】解：（1），所以，当时，所以在，单调递增，又因为，所以在，上无零点；当时，使得，所以在，单调递减，在单调递增，又因为，所以若，即时，在，上无零点，若，即时，在，上有一个零点，当时，在，上单调递减，在，上无零

15、点，综上当时，在，上有一个零点；（2）由，即，即，则有，令，则，所以函数在上递增，所以，则有，即，因为关于的方程有两个不同的实数解，则方程，有两个不同的实数解，令，则，当时，当时，所以函数在上递减，在上递增，所以（1），当时，当时，所以例15已知函数（1）若，求函数的极值；（2）若函数有且仅有两个零点，求的取值范围【解答】解析：（1）当时，显然在单调递增，且，当时，单调递减；当时，单调递增在处取得极小值，无极大值（2）函数有两个零点，即有两个解，即有两个解，设，则，单调递增，有两个解，即有两个解令，则，当时，单调递增；当时，单调递减，当时，题型六：零点问题之零点差问题例16已知关于的函数，与，

16、在区间上恒有（1）若，求的表达式；（2）若，求的取值范围；（3）若，求证：【解答】解：（1）由得，又，所以，所以，函数的图象为过原点，斜率为2的直线，所以，经检验：，符合任意，（2），设，设，在上，单调递增，在上，单调递减，所以（1），所以当时，令所以，得，当时，即时，在上单调递增，所以，所以，当时，即时，即，解得，综上，（3）当时，由，得，整理得，令，则，记，则，恒成立，所以在，上是减函数，则（1），即，所以不等式有解，设解为，因此当时，设，则，令，得，当时，是减函数，当，时，是增函数，（1），则当时，则，因此，因为，所以，当时，因为，为偶函数，因此也成立，综上所述，例17已知函数（1）如，

17、求的单调区间；（2）若在，单调增加，在，单调减少，证明：【解答】解：（）当时，故当或时，；当或时，从而在，单调增加，在，单调减少；（）由条件得：（2），即，故，从而因为，所以将右边展开，与左边比较系数得，故，又，即由此可得于是例18已知函数，（1）当时，求函数的单调区间；（2）当，时，函数有两个极值点，证明：【解答】（1）解：当时，令，可得，令，可得，所以的单调递增区间为，单调递减区间为（2）证明：函数的定义域为，令，因为函数有两个极值点，所以，是函数的两个零点，令，可得，令，可得，所以在上单调递减，在，上单调递增，所以，由，可得，因为，所以，所以要证，即证，只需证（2），因为，所以（2），所

18、以，得证题型七：零点问题之三角函数例19已知函数，为的导数证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点【解答】证明：（1）的定义域为，令，则在恒成立，在上为减函数，又，由零点存在定理可知，函数在上存在唯一的零点，结合单调性可得，在上单调递增，在，上单调递减，可得在区间存在唯一极大值点；（2）由（1）知，当时，单调递增，单调递减；当时，单调递增，单调递增；由于在，上单调递减，且，由零点存在定理可知，函数在，上存在唯一零点，结合单调性可知，当，时，单调递减，单调递增；当时，单调递减，单调递减当，时，于是，单调递减，其中，于是可得下表：000单调递减0单调递增大于0单调递减大于0单调递

19、减小于0结合单调性可知，函数在，上有且只有一个零点0，由函数零点存在性定理可知，在，上有且只有一个零点，当，时，则恒成立，因此函数在，上无零点综上，有且仅有2个零点例20已知函数，证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点【解答】证明：（1）函数，令，函数在上单调递减，又当时，而，存在唯一，使得，当时，即，函数单调递增；当，时，即，函数单调递减，函数在区间存在唯一极大值点；（2）由（1）可知，函数在上单调递增，在，上单调递减，是函数的极大值点，且，又当时，；，在区间内存在一个零点，在区间，上存在一个零点，当时，设，则，在上单调递减，当时，当时，无零点，时，又，当时，无零点，当时

20、，函数在区间内无零点，函数有且仅有2个零点例21已知函数求证：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）在上有且仅有2个零点【解答】证明：（1）因为，所以，设，则，则当时，所以即在上递减又，且是连续函数，故在上有唯一零点当时，；当时，所以在内递增，在上递减，故在上存在唯一极大值点（2）因为，所以，设，则，则当时，所以在内单调递减由（1）知，在内递增，在内递减，又，所以，又的图象连续不断，所以存在，使得；当内时，在内递减，又因为，且的图象连续不断，所以存在，使得；当时，所以，从而在上没有零点，综上，有且仅有两个零点例22已知函数（1）证明：，（2）判断的零点个数，并给出证明过程【解答】解：（1）证明：

21、因为，所以为偶函数，不妨设，所以，所以，当，时，当，时，即函数在，为减函数，在，为增函数，又，所以，即在，为减函数，故，即，故当，时，；（2）由（1）得：当，时，函数有且只有1个零点为，当，时，即在，为增函数，即（3），即函数在，无零点，当，时，即函数为增函数，又，（3），即存在使得，即当时，当时，即函数在，为减函数，在，为增函数，又，（3），即函数在，只有1个零点，又函数在为偶函数，综合可得：函数在，有1个零点，在无零点，在，无零点，故函数在上有3个零点题型八：零点问题之取点技巧例23已知函数（1）当，求函数的单调区间；（2）若有且只有一个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）单调递减区间为

22、，单调递增区间为；（2）.【分析】（1）求导函数，结合定义域由得单调递减区间，由得单调递增区间；（2）求得，分讨论：当时，单调递增，由零点存在性定理可作出判断；当时，可直接代入判断；当时，有最小值，再分讨论可得结果.【详解】（1）当时，（），则.由得；由得.所以，函数单调递减区间为，单调递增区间为.（2）依题意得， 当时，恒成立，单调递增，取且，则，所以，存在唯一，使，符合题意； 当时，无零点，与题意不符； 当时，由得，当，单调递减；，单调递增.所以.（i）当时，有唯一零点，符合题意.（ii）当时，令，则，所以在单调递减，由，所以，又，所以无零点，与题意不符.（iii）当时，显然，又，使；设，

23、则，令，则，所以函数即在单调递增，从而，所以在单调递增，又，使得，有个零点，与题意不符.综上，实数的取值范围是.【点睛】关键点点睛：第（2）问在讨论时，关键点是由零点的存在性定理寻找包含零点的区间.例24已知函数（是自然对数的底数，且）.（1）求的单调区间；（2）若是函数在上的唯一的极值点，求实数的取值范围；（3）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）.【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，得到在内无变号根或无根；设，通过讨论的范围，求出函数的最小值，得到关于的不等式，解出即可；（3），令，通过讨

24、论的范围，去掉绝对值，结合函数的零点个数，确定的取值范围即可【详解】解：（1），当时，时，单调递增，时，单调递减；当时，时，单调递减，时，单调递增；综上，当时，单调递增区间为，单调递减区间为；当时，单调递增区间为，单调递减区间为； （2）由题意可求得，因为是函数在上的唯一的极值点，所以在内无变号根或无根. 设，则，当且时，所以在上单调递增，符合条件.当时，令得，递减，递增.所以，即；综上所述，的取值范围为 （3）由题意得：，令，则，所以在上单调递增，在上单调递减.（）当时，则，所以.因为，所以，因此在上单调递增.（）当时，则，所以.因为，即，又，所以，因此在上单调递减.综合（）（）可知，当时，

25、因为函数有两个不同的零点，所以，即且， 而当且时，当时，故在内有1个零点；当时，故在内有1个零点；所以当且时，有两个零点，故的取值范围为.【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，分类讨论思想，是难题例25已知函数（1）试讨论函数的零点个数；（2）若当时，关于x的方程有且只有一个实数解，求实数a的取值范围【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）【分析】（1）由已知有，当显然有一个零点，当时由的符号研究单调性，进而根据极值与0的关系，结合零点存在性定理，即可知的零点个数；（2）由题设，若，若，再由导数研究在上的单调性，根据，讨论、，构造中间函数

26、研究单调性，结合零点存在性定理确定实数解的个数，进而求参数a的范围.【详解】（1）根据题意，得，有：若，则，此时函数在R上单调递增，又，故函数只有一个零点；若，令，则，有，此时在上单调递增，有，此时在上单调递减，（）当，即时，则，此时只有一个零点；（）当时，即时，则，又时，时，由零点存在定理可得：此时函数在R上有两个零点综上，当或时，函数只有一个零点；当时，函数有两个零点（2）设，设，由得，在上单调递增，即单调递增，当，即时，时，在单调递增，又，此时关于x的方程有且只有一个实数解，当，即时，由（1）知，则，又，故，当时，单调递减，又，在内，关于x的方程有一个实数解1，当时，单调递增，且，令，若

27、，故在单调递增，则，时，在单调递增，故，即，又，由零点存在定理可知，在，关于x的方程有两个实数解，综上，当时关于x的方程有且只有一个实数解，则【点睛】关键点点睛：（1）讨论参数，利用导数研究单调性，结合零点存在性定理判断零点的个数.（2）设，应用导数可得单调递增且，讨论、并构造函数，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在性定理判断实数解的个数.例26已知函数.（1）当时，求在处的切线方程；（2）设，若有两个零点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出在处的导数，即切线斜率，求出，即可求出切线方程；（2）求出的导数，讨论的范围，判断函数的单调性，利用零点存在性定理进行判断.【详

28、解】解：（1）当时，切线方程为即；（2），.当时，在上单调递增，在上单调递减.，.在上有且只有一个零点.取，使，且，则.即有两个不同的零点.当时，此时只有一个零点.当时，令，得或.当时，恒成立，在上单调递增.当时，即.若或，则；若，则.在和上单调递增，在上单调递减.当时，即.若时，若，则.在和上单调递增，在上单调递减当时，.无零点，不合题意.综上，有两个零点的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究函数的零点问题，属于较难题.【过关测试】1已知函数为的导函数(1)判断函数在区间上是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由；(2)求证：函数在区间上

29、只有两个零点【答案】(1)存在；极小值(2)证明见解析【解析】【分析】（1）转化为判断导函数是否存在变号零点，对求导后，判断的单调性，结合零点存在性定理可得结果；（2）当时，利用单调性得恒成立，此时无零点；当时，；当时，利用导数得到单调性，结合零点存在性定理可得在上只有一个零点.由此可证结论正确.(1)由，可得，则，令，其中，可得，所以在上单调递增，即在上单调递增，因为，所以存在，使得，当时，单调递减；当时，单调递增，所以当时，函数取得极小值(2)由，当时，所以，所以在上为增函数，所以，此时函数在上没有零点； 当时，可得，所以是函数的一个零点；当时，由 ，令，可得，令则，当，可得；当，可得，即

30、在上单调递减，在上单调递增，又因为，所以存在使得，当时，；当时，又因为，所以存在使得，即是函数的一个零点综上可得，函数在上有且仅有两个零点【点睛】关键点点睛：第二问中，分段讨论并利用导数和零点存在性定理求解是解题关键.2已知函数，（e是自然对数的底数，(1)求函数的最小值；(2)若函数有且仅有两个零点，求实数a的取值范围【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）对函数进行求导，根据导数与0的关系判断单调性得其最小值；（2）对进行二次求导，分为，和三种情形，根据导数判断函数的单调性结合零点存在定理得结果.(1)因为，所以，因为在上单调递增，且，所以，当时，在区间上单调递减，当时，在区间上单调递增

31、，所以(2)由题设：所以，令，因为，则，所以在上单调递增；当时，由（1）知只有一个零点，不合题意，当时，因为在上单调递增，且，故存在，使得，即，所以当时，在区间上单调递减当时，在区间上单调递增，所以，则所以没有零点，不合题意；当时，因为在区间上单调递增，且，所以存在满足，所以，当时，在区间上单调递减，当时，在区间上单调递增，所以，又，先证：，设，当时，单调递减，当时，.单调递增，所以，当且仅当时取等号，因为，所以，又因为，且所以，所以时，有且仅有两个零点，故实数a的取值范围为【点睛】利用导数研究函数的最值主要是通过导数判断函数的单调性，若导函数含有参数，要对参数进行分类讨论，分类讨论标准的制定

32、可考虑判别式、零点分布等知识，对于函数的零点主要依据为函数图象与轴交点的情形，难点在与端点处函数值符号的判定.3已知函数f(x)2lnxx，g(x)（a1）(1)讨论f(x)的单调性；(2)若函数h(x)f(x)g(x)，讨论h(x)的零点个数【答案】(1)答案见解析(2)当时，h(x)无零点；当时，h(x)有唯一的零点【解析】【分析】（1）求出，利用或可得答案；（2）求出，分、讨论，利用导数判断单调性和最值可得答案.(1)，令，当时，单调递增；当时，单调递减.综上所述，当时，单调递增；当时，单调递减.(2)，当时，令且当时，单调递增；当时，单调递减，此时，h(x)无零点，当时，令或，当时，单

33、调递增；当时，单调递减；当时，单调递增，此时当时，当时，单调递增，注意到，h(x)在上有唯一的零点.当时，h(x)在（0，）上单调递增，注意到，h(x)在（2，6）上有唯一的零点，当时，令或，当时，单调递增；当时，单调递减，当时，单调递增，当时，当时，单调递增，注意到，h(x)在上有唯一的零点，综上：当时，h(x)无零点；当时，h(x)有唯一的零点.【点睛】本题求零点问题关键是利用导数判断出在处有最小值并判断的正负，构造函数利用零点存在性定理说明存在零点个数，考查了学生分析问题、解决问题的能力.4设(1)当b=1时，求的单调区间；(2)当在R上有且仅有一个零点时，求b的取值范围.【答案】(1)

34、单调递增区间是，；单调递减区间是(2)【解析】【分析】（1）代入，求解函数的导数，利用导数求解函数的单调区间；（2）分类讨论参数的取值范围，利用导数求解函数的极值点，因有且只有一个零点，故极大值小于0，或者极小值大于0，进而求解参数的取值范围.(1)解:当时，令，解得.当x变化时，变化情况如下：1+00+极大值极小值所以的单调递增区间是，；单调递减区间是.(2)当时，即时，所以在上单调增，此时有且只有一个零点x=0，符合题意当时，当x变化时，变化情况如下：1+00+极大值极小值故当时，或，解得：；当时，当x变化时，变化情况如下：1+00+极大值极小值故当时，或，解得：；综上所述：的取值范围是.

35、【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理5已知函数，(1)若，分析f（x）的单调性；(2)若f（x）在区间（1，e）上有零点，求实数a的取值范围【答案】(1)是上单调递减函数；(2).【解析】【分析】（1）利用导数的性质，结合放缩法进行求解即可；（2）利用函数零点的定义，结合构造函数法，结合导数的性质进行求解即可.(1)且，设，当时，单调递增，当时，单调递减，故当时，函数有最小值，因此有，设，时，即（取等号的条件是），是上的单调递减函数；

36、(2)在区间上能成立，且，设，当时，单调递减，当时，单调递增，故当时，函数有最大值，因此有，设，则，设，则在区间上，单调递增，故，亦即单调递减，在区间上值域为，实数的范围是 .【点睛】关键点睛：构造函数，利用导数的性质、放缩法是解题的关键.6已知函数（其中a，b为实数）的图象在点处的切线方程为(1)求实数a，b的值；(2)证明：方程有且只有一个实根【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】（1）求导，得，由题知，解方程得解.（2）令， 分三种情况讨论：当，时 的零点情况；令，分两种情况讨论：当，时，对求导，借助单调性及零点存在性定理，判断的零点情况，进而得证.(1)因为，所以因为的图象在处

37、的切线为，所以解得(2)令函数，定义域为当时，所以；当时，所以；当时，由知在上单调递增，又且函数连续不间断，所以，有综上所述，函数在有唯一的零点，且在上恒小于零，在上恒大于零令函数，讨论如下：当时，求导得因为，所以，即函数在单调递增又因为，所以函数在存在唯一的零点，所以方程在上有唯一的零点当时，法一：由（1）易证在上恒成立事实上，令，则因为，所以在上单调递增，所以，即在上单调递增，所以，即在上恒成立从而，所以方程在上无零点综上所述，方程有且只有一个实根法二：因为，所以，所以，所以，所以，所以方程在上无零点综上所述，方程有且只有一个实根【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而

38、函数是高中数学中重要的知识点，本题第一问考查导数的几何意义，第二问利用导数求函数的单调区间，判断单调性，并借助零点存在性定理研究方程的实根，考查数形结合思想的应用7已知函数(1)设函数，若在区间上是增函数，求的取值范围；(2)当时，证明函数在区间上无零点【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数，根据给定条件，求出在上恒成立的a的范围作答.（2）利用导数探讨函数在上的最小值大于0即可作答.(1)由求导得：，即，因在区间上是增函数，则，恒成立，当时，成立，即；当时，而，则，所以的取值范围是.(2)当时，求导得，令，则，因此函数即在上单调递增，而，则存在，使，即，当时，当时，则在上单调递减，在上单调递增，因此，而，即有，因此，恒成立，所以函数在区间上无零点【点睛】思路点睛：可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为(或)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“”是否可以取到8已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)讨论在区间上的零点个数.【答案】(1)(2)见解析【解析】【分析】（1）当时，先求的导函数 ，所以切线的斜率 ，然后再根据直线的点斜式方程写出答案即