高三数学二轮复习全套精品系列专题一数形结合思想

1、【专题一】数形结合思想【考情分析】在高考题中，数形结合的题目主要出现在函数、导数、解析几何及不等式最值等综合性题目上，把图象作为工具、载体，以此寻求解题思路或制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是填空小题。从近三年新课标高考卷来看，涉及数形结合的题目略少，预测2012年可能有所加强。因为对数形结合等思想方法的考查，是对数学知识在更高层次的抽象和概括能力的考查，是对 学生思维品质和数学技能的考查，是新课标高考明确的一个命题方向。.数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。它可以使抽象的问题具体化，复杂的

2、问题简单化。“数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。.数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考纲指出“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想思想方法的考查，注重对数学能力的考查”，灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能。.“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查，考查时要与 数学知识相结合”，用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义 和图形的数量表示，为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。.函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是“以形示数”，而解析几

3、何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是“以数助形”，还有导数更是数形形结合的产物，这些都为我们提供了“数形结合”的知识平台。5.在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，“数形结合千般好，数形分离万事休”。纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。【知识交汇】数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分 为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之

4、间的联系，即以形作为手段，数作为 目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性 来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线 的几何性质.。应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；(5)构建立体几何模型研究代数问题；(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问

5、题；（7）构建方程模型，求根的个数；（8）研究图形的形状、位置关系、性质等.常见适用数形结合的两个着力点是：以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借 助于解析几何方法.以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的 结合。数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题 时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速 度.具体操作时，应注意以下几点：（1）准确画出函数图象，注意函数的定义域；（2）用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得

6、注意的是首先要 把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两个函数的图象，由图求解.这种思想方法体现在解题中，就是指在处理数学问题时， 能够将抽象的数学语言与直观的几何图象有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和 谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问 题得到简捷解决。.数形结合的途径（1）通过坐标系形题数解借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化。这一方法在解析几何中体现的相当充分（在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考察的）；值得强调的是，形题数解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技

7、巧（这是因为三角公式的使用，可以大大缩 短代数推理）实现数形结合，常与以下内容有关：实数与数轴上的点的对应关系；函数与图象的对 应关系；曲线与方程的对应关系；以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复 数、三角函数等；所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。如等式（x-2）2 （y -1）2 -4o常见方法有：（1）解析法：建立适当的坐标系（直角坐标系，极坐标系），引进坐标将几何图形变换为坐标间的代数关系。（2）三角法：将几何问题与三角形沟通，运用三角代数知识获得探求结合的途径。（3）向量法：将几何图形向量化，运用向量运算解决几何中的平角、垂直、夹角、距离等问题。 把抽象的几何推理化

8、为代数运算。特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问 题变得有章可循。（2）通过转化构造数题形解许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化.例如，将a0与距离互化，将a2与面积互化，将a2+b2+ab=a2+b2 2 a b cosH（8 = 60域日=120）与余 弦定理沟通，将abc 0且b+ca中的a、b、c与三角形的三边沟通，将有序实数对（或 复数）和点沟通，将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等.这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形（平面的或立体的）。另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于

9、此，函数思想和数形结合思想经常借助于相伴而充分地发挥作用。 常见的转换途径为:(1)方程或不等式问题常可以转化为两个图象的交点位置关系的问题，并借助函数的图象和 性质解决相关的问题。(2)利用平面向量的数量关系及模AB的性质来寻求代数式性质。(3)构造几何模型。通过代数式的结构分析，构造出符合代数式的几何图形，如将a2与正方形的面积互化，将 abc与体积互化，将a2 -c2与勾股定理沟通等等。(4 )利用解析几何中的曲线与方程的关系，重要的公式(如两点间的距离J(x1 -x2)2 +(y1 - y2)2 ，点到直线的距离d = I AXo - By0 乌，直线的斜率，直线的截距)、定义 ,A2

10、 B2等来寻求代数式的图形背景及有关性质。2.数形结合的原则(1)等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞.有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的 说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导。(2)双向性原则在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成， 仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的。例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候， 若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化。(3)简

11、单性原则就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法、或者兼用两种方法来叙述解 题过程，则取决于那种方法更为简单.而不是去刻意追求一种流性的模式一一代数问题运用几 何方法，几何问题寻找代数方法。【思想方法】题型1 :利用数轴、韦恩图解决集合与函数问题例1 . (1) (2011山东文1)设集合 M =x|(x+3)(x 2)0 , N =x|1 x3,则 MA N =()A. 1,2) B . 1,2 C. ( 2,3 D . 2,3(2011 湖南文 1)设全集 U =M Un =1,2,3,4,5, M HCU N =2,4,则 N =()A. 1,2,3 B . 1,3,5 c.

12、1,4,5 D. 2,3,4解析：(1) A；解析；因为 M =x|3x2,所以 M c N =x|1 Wxg(x),则 TOC o 1-5 h z f (x)的值域是()A. |-9,0 L(1,Z) B . 0, ) c . _9,Z)D. J-9,0 L (2, Z)_ 44_ 4解析：(1)b；根据题意，确定函数y = f(x)的性质，再判断哪一个图像具有这些性质.选由f (x) = f(x)得y= f(x)是偶函数，所以函数 y=f(x)的图象关于y轴对称，可知B, D符合；由 f(x+2) = f(x)得 y = f(x)是周期为2的周期函数，选项D的图像的最小正周期是4,不符合，

13、选项 B的图像的最小正周期是 2,符合，故选B.22八目匚=.x -2 (x 4),x :： x -2)D ;依题意知f(x) 22lx -2-X,x-x -2x2 2,x : -1 或x2f(x) 2Jx 2 -X, -1 - x - 2点评：数学中考查创新思维，要求必须要有良好的数学素养，考查新 定义函数的理解、解绝对值不等式，中档题，借形言数。题型2:解决方程、不等式问题例3.若方程lg(x2 +3x m ) = lg(3 x准x w (0, 3)内有唯一解，求实数m的取值范 围。，一一、一一,，2解析：(1)原万程可化为 _(x2) +1=m(0 x3)2设 y1 = (x 2 ) +

14、1 (0 x 1, v 21 且(loga u ) +(loga v ) = loga(au )+ loga(av )(a 1),求 loga (uv)的最大值和最小值。解析：令 x=logau, y=logav,则已知式可化为x -1 y -1 =4 x_0, y_0 ,再设 t=loga(uv)=x+y(x0, y之0),由图 3 可见，则当线段 y = -x + t .2 . 2、一一一一，一(x 0, y20)与圆弧(x1) +(y1) =4(x0, y之0)相切时，截距t取最大值 tmax =2 +2/2 (如图3中CD位置)；当线段端点是圆弧端点时，t取最小值tmin = 1 +J

15、3 (如 图中AB位置)。因此loga (uv)的最大值是2 +2亚，最小值是1 +J3 。点评：数形结合的思想方法，是研究数学问题的一个基本方法。深刻理解这一观点，有 利于提高我们发现问题、分析问题和解决问题的能力。AEFEJ题型3:解决三角函数、平面向量问题 例5. (1) (2010年江西理)E, F是等腰直角 ABC斜边AB上的三等分 点，则 tan/ECF =()162、,33A. 27 b. 3 c, 3 D. 4（2007年陕西15）如图，平面内有三个向量 oA OB、OC,其中OA与OB的夹角为 120 , OA与 OC 的夹角为 30 ,且| OA| =| OB | = 1,

16、| OC | = 2J3 ,若oC =入oA +科oB （入，科e R），则入+科的值为解析：（1）考查三角函数的计算、解析化应用意识。，再由余弦定理得解法1 :约定 AB=6,AC=BC=3应,由余弦定理 CE=CF=VT0 TOC o 1-5 h z -4 3cosZECF =一，解得 tanZECF =一解法 2:坐标化。约定 AB=6,AC=BC=3a/2 ,F(1,0),E(-1,0),C(0,343利用向量的夹角公式得：cosZECF =,解得tanNECF =一。54(2) 6;解析：(OC ) 2=(入 OA+(1 OB ) 2=入 2oA+ 科 2oB+2 入OA OB=12

17、;注意OA与OC的夹角为30 , OA与OB的夹角为120 ,结合图形容易得到 oB与oC的夹角为90。，得科=0；这样就得到答案。征。例6. （2010全国卷1文数）点评：综合近几年的高考命题，平面向量单纯只靠运算解题是不够的，需要结合几何特已知圆O的半径为1, PA PB为该圆的两条切线，A、B为两切点,那么pA pB的最小值为（A. Y+& B . -3+ 应C . -4+272 D . -3 + 2我答案：D;【解析1】如图所示：设PA=PB=X (x 0) , Z APO=t ,贝U/APB=2 , PO二山 + x2 , sin = J, 1 x2PA*PB=|PA| |pB|co

18、s2=x2(1-2sin2 ：)22x (x -1) .x2 142x -x_x2 1令 PA *PB = y ,则 y = x . x ,即 x2 1x4(1 + y)x2 y = 0,由x2是实数，所以=(1 + y)24x1x(y)之0 , y2 +6y + 10,解得 y -3-2./2或 y 之一3 + 2衣.故属.%濡二一32、攵.此时xf e)【解析 2】设 /APB =e,0 e n , PA*PB =(PAX PB )COS6 = M/tan- cos82 1COs2212 11 -2sin .22sin 一221 - sin. 2 日)1 2sin 一2人 2), 2 si

19、n 一2拓 一2 二换兀： x =sin ,0 x 1 , 2PAPB= 1-x 1-2x =2x-3_2、,2.3【解析3】建系：园的方程为x2+y2 =1,设A&y/BG,y1), P(x0,0),! ;PA,PBhix1 _x0, % x 一%,-%)= x；2xx0 x2 y； TOC o 1-5 h z 22AO - PA= x1, y1 i i；x1 -x0,y1 = 0= x1 - x1x0 y1 = 0= x1x0 = 1pApb: x2 - 2x1x0 x02 - y2 = x12 - 2 x2 - 1 - x12 = 2x； x2 - 3 - 2 2 - 3点评：本小题主要

20、考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法判别式法，同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力0 x 2y 2 给x 三、2 y题型4:解析几何问题 例7. （1） （2011广东理5）已知平面直角坐标系 xOy上的区域D由不等式组定.若M（x, y）为D上动点，点A的坐标为（J2, 1）.则z = OM，OA的最大值为（）A. 4、,2B.C.4D.3m222.(2)( 2011 江苏 14 )设集合 A=( x, y)| (x-2)+ y Em ,x,产 R, 2B =(x,y)|2m Ex + y W2m+1,x,y w R,若Ab#电 则实数 m的取值范围是解析

21、：（1） 如图，区域 D 为四边形 OABC及其内部区域z = (x, y) ( 0 ,因为Ac B#4,此时无解;:22当m 0时，集合A是以(2, 0)为圆心，以 m和I m为半径的圆环，集合 B是在两条平行mm2 _1线之间，必有 2 22.沏 m V2 +1.又因为 m m2,. - m V2 + 1 o 22点评：线性规划是借助平面区域表示直线、不等式等代数表达式，最终借助图形的性质 解决问题；对于直线与圆的位置关系以及一些相关的夹角、弦长问题，往往要转化为点到线 的距离问题来解决。例8. (1) (2011上海22)已知平面上的线段l及点P ,在l上任取一点Q,线段PQ长度的最小值

22、称为点P到线段l的距离，记作d (P, l)。 求点 P(1,1)到线段 l: x y 3 = 0(3 Ex 5)的距离 d(P,l)；设l是长为2的线段，求点集D =P|d(P,l)M1所表示图形的面积； 写出到两条线段l1,l2距离相等的点的集合。=P|d(PJ) =d(P,l2),其中l1 =AB,l2 =CD ,A, B, C,D是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种，满分分别是2分，6分，8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。A(1,3),B(1,0),C(-1,3),D(-1,0)。A(1,3),B(1,0),C(-1,3),D(-1-2)。A(0,1)

23、, B(0,0), C(0,0), D(2,0)。解析： 设Q(x,x3)是线段l :x y3=0(3 x M5)上一点，则|PQ|= J(x1) (2011 福建理 17)(I)若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l相切与点P,且点P在y轴上，求该圆的方程; +(x4)2 =20管2 1(3x5), 当 x = 3 时 ，d( &1=,1导 n Q|5 设线段1的端点分别为 A, B,以直线AB为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系，则A(-1,0), B(1,0)，点集D由如下曲线围成222211 : y = 1(|x|1),12:y = -1(|x|1),C1 :(x+1)2 + y2

24、=1(x-1),C2 :(x 1)2 + y2 =1(x 至 1)其面积为S = 4 + n 。 选壬举 A(1,3), B(1,0), C( -1,3), D(,0),夏=( x, y) | x = 0选才i A(1,3), B(1,0), C( -1,3), D(，-2) oQ =(x, y) |x =0, y 一0 U(x, y)| y2 =4x, -2 y ：二 0 U( x, y) | x y 1 = 0,x 1 选才i A(0,1), B(0,0), C(0,0), D(2,0)。=(x, y)|x 0, y 0U( x, y)|y = x,0 x 1AB kO 1 x-1U(x,

25、y)|x2 =2y-1,1 x 0）的第一项xn=1,以后各项按如下方式取定：曲线 x=f（x）在（xn书，f （xn书）处的切线与经过（0, 0）和（xn,f （x n）两点的直线平行（如图）求证：当nW N时， TOC o 1-5 h z 11 c C(I )x n +xn =3xn+ +2xn书；(n) (?xn ()。证明：(I)因为f(x) =3x2+2x,所以曲线y=f(x)在(乂自，“人书)处的切线斜率2-kn 1 =3x- 2xn 1.因为过(0,0)和(xn,f(xn)两点的直线斜率是x；+xn,所以x2+xn =3xn书2+2xn+.(II )因为函数h(x) =x2+x当

26、x A0时单调递增，而 x2 +xn =3xn, +2xn卡 4、- +2%书=(24十)2 + 2人书，所以xn 2xn + ,即4书之1 ,因此xn = xn之(nxn 2xn” xn%2又因为 X +Xn 2 2(X2 +XnQ,令 yn =X； + 4 ,则 必 yn21、n 1, 1、n 2因为 =x +x =2，所以 yn （-），%=（=） .22因此 Xn X2 +Xn （2）n,故（jV/WXn ；）?点评：切线方程的斜率与函数的导数对应，建立了几何图形与函数值的对应。 题型6:平面几何问题例11.已知AABC三顶点是 A（4,1）, B（7,5）, C（47）,求/A的平分

27、线 AD的长。解析：第一步，简单数形结合，在直角坐标系下，描出已知点A, B,C ,画出AABC的边及其/A的平分线AD。（如图）第二步，观察图形，挖掘图形的特性（一般性或特殊性） 否定）观察、挖掘出来的特性。特性有：,通过数量关系证明（肯定或(1)AB _L AC ; (2) /BAD =NCAD =45 = ;(3)CD = 2DB , (4) NABC =2/ACB =609等等。证明: A(4,1), B(7,5), C(-4,7)AB = (3,4), AC = (-8,6), AB =5,AC =10AB*Ac = 3 8 4 6 =0aB.LAC, AD是/A的平分线;/BAD =/CAD =45一.CDAC (3 )CdDBAB10一=2（角平分线定理）5= 2DB, tan/ABC=tan/60 = V3w2,/ABC =2/ACB =60 不正确,第三步，充分利用图形的属性，创造性地数形结合，完成解