高一数学集合同步练习题上学期

1、第一章集合与简易逻辑本章主要内容及要求：理解集合、子集、并集、交集、补集的概念；了解空集和 全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们 正确表示一些简单的集合。理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充要条件。合【基础知识】1、集合的概念.集合某些指定的对象集在一起就成为集合。集 合是数学中不加定义的基本概念。.集合元素的特性1)确定性：设A是一个给定的集合， x某一 具体对象，则X或者是A的元素或者不是A的 元素，两种情况必有一种且只有一种成立。2)互异性：集合中的元素必须是互异的，即对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同

2、的。3)无序性：集合与其中元素的排列次序无关。如集全a,b,c与集合b, a,c是同一个集合。.集合的分类含有有限个元素的集合叫有限集，含有无 限个元素的集合叫无限集，不含任何元素的集 合叫空集，用0表示。2、集合的表示方法.列举法把集合中的元素一一列举出来，写在大括 内，这样的方法叫列举法，它的优点是可以明 确集合中具体的元素及元素的个数。列举法常 用来表示有限集或有特殊规律的无限集。(2).描述法用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法叫描述法。图不法用一条封闭曲线，将所要研究的对象放在 一起，来表示一个集合。图示法可以将集合形 象直观地表示出来。3、元素与集合的关系如果a是集合A的

3、元素，就说a属于A, 记作aC A;如果a不是A的元素，记作aeA。【例题剖析】例1下列表达是否正确，说明理由。(1)Z=全体整数;R=实数集= R;(1,2)= 1,2;(4)1,2=2,1解(1)不正确，应写成 Z=整数(2)不正确，应写成：R=实数，而 R表示以实数集为元素的集合，R三R。(3)不正确，集合(1,2)表示直角坐标平 面中的一点(1,2),而1,2是数1、2的集合。(4)正确，根据集合中元素的无序性，可知1,2=2,1。2例 2设集合 A=a|a=n +1, n=N, ae A, 2B=b|b = k 4k+5, k=N,试判断 a 与集合B的关系。分析判断a是否属于B,只

4、须看a是否可表示成k2 -4k+5, k N的形式。解，*a 三 A,.2 一 ,2a = n +1 = (n +4n+4) 4(n+2)+5 2=(n 2) 4(n+2)+5. n N,n+2 N,a C B。例 3已知 M=2 , a, b , N=2a, 2, b2 ，且 M = N,求a, b的值。解根据集合中元素的互异性，有：一 2 ,、2a =2a, b =b 或 a = b, b =2a解方程组，得a = 0, b = 1或a = 0, b = 0或 a = , b = 1。4再根据集合中元素的互异性，得：a = 0, b =1 或 a = , b = 一 .一,一，一八.八一2

5、一 .例 4已知集合 A=x mx 2x+3=0,mWR ,若A中元素至多只有一个，求 m的范围。分析讨论方程根的情况，从而确定m的范围。3解(1)当m=0时，原方程为一2x+3=0 , x=2符合题意。(2)当m。时，方程m x2 - 2x+3=0为一元1一次方程。由4 = 4 12m 3【课时训练】一、选择题 TOC o 1-5 h z 1.下列命题正确的有()(1)很小的实数可以构成集合；2.2(2)集合y|y= x 1与集合(x, y) | y=x 1是同一集合；(3) 1, 3 , 6, | -0.5|, 0.5 这些数组成的24集合有5个元素；(4)集合(x, y)|xy W0是指

6、第二、四象限内的点集。A.0个 B.1个 C.2个 D.3个2.下面有四个命题：(1)集合N中最小的是1;- a不属于N,则a属于N;a e N, bN,贝U a+b的最小值是2;2x +1=2x的解集可表本为1, 1。A.0个 B.1个 C.2个 D.3个.下列各题中M与P表示同一集合的是()M=xC R|x2+0.01=0,P=x| x2 =02M=(x,y) | y= x +1, xC R.2P=( x,y) |x= y +1, xC R._,2一C.M=y|y= t +1 , t R_ _,.,2P=t|t= (y -1) +1, tC RD.M= x|x=2k, kC Z P= x|

7、x = 4k+2, kCZ.集合 S=a, b, c中的元素是 ABC的三边长，那么A ABC 一定不是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形.集合 A=1 ,- 3, 5,- 7, 9,- 11用描述法表示正确的()(1) x|x= 2n+1 或 x= 2n 1, n C N(2) x| x = (-1)n(2n-1), nC N x|x = (-1)n(2n+1), nC N x|x = (-1)n*(2n 1), nC NA.只有(4)B.(1) (4)C.(2) (4)D. (3) (4)二、填空题6.用符号三或者更填空.(1) 0 N ,- 1 N, TOC o

8、 1-5 h z 志 N ,1 N;(2)0 0 ,-Q,2QQ ,&Q;(3)3x|x2;(4)(1, 2)(x, y)|y = x+1其中正确命题的个数是.x x= n2 , n N, nW 5用列举法表示 n +1为。三、解答题2.关于 x 的方程 ax +bx+c=0(a 0),当 a, b,c分别满足什么条件时，解集为空集？单元集？二元集？.试用列举法表示集合 A=xw N |8- w N。6-x1 a.数集M满足条件：若a二M ,则 m M 1 -a其中a #土1且a #0 ,已知3乏M，试把由此确定的集合 M的元素全部求出来。思考题已知集合 A=0 , 1, 2 , B= x |

9、 x W A,用列举法表示集合 Bo集合(x, y) | y = x2 +1, x 亡 R与集合集全集补集【基础知识】1、子集.子集的概念如果集合A的任何一个元素都是集合 B的 元素，则集合 A是集合B的子集，记作 A=B 或者B = A.集合相等如果A B且B三A,则称A与B相等， 记彳A=B。.集合相等如果AG B且B1A,则称A与B相等， 记彳A=B。2、全集如果集合S包含我们所要研究的各个集合 的全部元素，这个集合就可以看做一个全集。 3、补集如果A是S的一个子集，由S中所有不属 于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集，记作 CsA,即 CsA=x|xeS,且 xA,A=S。4、性

10、质.子集与真子集的性质4 A , AG A;AJ B, BJ Cn AJC,A筝B, B麋C= A麋C;3)如果集合A中有n个元素，则它的子集个数是2n。.补集的性质CsS = 0, Cs0=S, Cs(CsA) = A。【例题剖析】一 ，2一一例 1已知 M= x x=a +1, a= N*, P=y y.2=b -6b + 10,b= N ,向M与P的关系是y | y =x2 +1,xw R有何区另1J?怎样的？分析考虑两个表达式之间的关系。2解集合 P 中，y = b -6b+10,be N2= (b-3)2 1.当b=4, 5, 6, 7,时，与集合 M中a=1 , 3, 4,时的值相

11、同，而当 b=3时，y=1C P, 1 正 M , . M 晨 P例2已知集合 M满足1,2JM 1,2,3, 4, 5,则这样的集合M有多少个？分析：M中的元素至少含有1,2,至多含有1, 2, 3, 4, 5,故要求满足条件的集合 M的个数， 只要求集合3,4, 5的子集的个数。3解3 , 4, 5的子集有23 =8个，故满足条件的集合 M的个数为8。2例 3如果全集 U=2 , 3, a +2a -3, A=2 ,2a -1 , CUA=5,求实数 a 的值。分析CuA=5说明 5U,5 正 A。解丫 Cu A=55叫5正 A.a2 +2a-3=5解得a=2或者a=-4。当 a=2 时，

12、2a -1 =3 #5, 3亡 U当 a=-4 时，2a1 =9 #5,但 9U。a = 2o2例 4设集合 A=x|x +4x=0, B=x|x2+2(a+1)x+a2_1 =0,如果 ba,求 实数a的值。分析bJa可分为B5A, B=A两种情况，故需分类并结合一元二次方程根的情况加以解决。解易知 A=0 ,- 4当A=B时，B=0 ,- 4,则0, -4是方程 x2+2(a+1)x+a2 1 = 0的根，由韦达定理 彳1|- 2 (a+1) =- 4,且 a?-1 = 0, a =1。当BA时，又可分为：(1)若 B#0 ,即 B=0或者 B=-4 A=4(a+1)2-4(a2-1)=0

13、,解得 a=-1 这日B=0满足条件。a=-1(2)若 B=0 ,则 Av0,解得 av-1。 综上可得，a的值为a =1或者aW-1。【课时训练】 一、选择题 1.集合1, 2, 3的子集共有()A.7个 B.8个 C.6个 D.5个 2.同时满足1 A1 , 2, 3, 4, 5,且 A 中所有元素之和为奇数的集合A的个数是()A.5B.6C.7D.8.设 A=x|1 x 2, B= x|x a,若 A既B,贝 Ua的取值范围是()A .a-2 B.a 1 C . a- 1 D. a2.六个关系式：(1) a, b= b, a; (2) a, b 3 b, a; (3) 0 =0 ;4)

14、0= 0 ; (5) 0 ,0 ； (6) 0c 0。其中正确的个数为()A.6个 B.5个 C.4个 D.3个 5.集合 M=x|x=3k-2, kCZ, P=y|y=3n+1, ne Z , S=y|y=6m+1, me Z 之间的关系是 ()A.S = P = MB.S=P = MC.S 二 P=MD.S P=M二、填空题6.A=正方形 , B=平行四边形 , C=四边形, D=矩形,则A , B , C , D之间的关系 7.SO0 , S11 , 2, 3, 4, 5且满足条件：若a S,则6- aC S,符合条件的集合 S的个数为。三、解答题.设集合 S=1 , 2, 3, 4),

15、2A=xC S| x -5x+m=0, CSA=2,3,求m的值。*.例 2设全集 S= x|x9, x- N ), A=不大于 10 的质数, B= x|x =2n, nN, x= S) 列举用法写出集合 APB, AU B, (CsA)A(CsB), Cs(aUb)。分析先用列举用法写出集合S, A, B,再.32.已知S=1 , 3, x +3x +2x)和它的子集A=1 , |2x1|),如果 CSA=0,求实数 x 的值。 1.3交集并集【基础知识】.交集和并集的概念An B=x|xW A且 xC B);AU B=x|xW A或 xC B).其中 xW A或 xCB包括三种情形：*6

16、人但*是8;xC B 但 x更 A;x W A且 xC Bo.性质AAA=A, AA0=0, AnB=BAA;AUA=A, AU0=A, AU B =BUA。AAB=A= A BU AUB=BoAU CuA=U, AH Cu A=0。Cu(AUB) = (CuA)n(CuB)；Cu(AB) = (CuA)U(Cu B)。.对于任意两个有限集合A、B,有card(AUB)=card( A)+card( B) card( AA B)。【例题剖析】例 1已知集合 A=x|1 x2),求 A n B 和 AU Bo分析借助数轴直观解题。解AAB= x|2x03= a a w 1 或 a 之一.2若x2

17、 4ax + 2a+6 = 0的两根”,乂2均非负, TOC o 1-5 h z 贝 1月 + 乂2=42_0(1)x1.x2 =2a+6 _0(2)a C U(3),一 3由(1)、(2)、(3)得 a 之一。2 HYPERLINK l bookmark85 o Current Document 3 .因为a|a之万在U中的补集a|a M1 ,所以a的范围是a a -1 o【课时训练】一、选择题.如果 U=1,2,3,4,5, A=1,3,4, B=2,4,5 , TOC o 1-5 h z 那么(Cu A)R(CuB)=()A. -B.4C.1,3D.2,5，一2 .2._ _.如果 P=

18、0 , 1, Q= y x +y =1,x- P,则()A.P 二 QB.Q 二 Pc.p=qd. pUq = -.已知 M= (x, y)x + y = 2,2例 4已知 A=x|x -4ax +2a +6=0,B= x|x0,若 aF|B#0,求 a 的范围。分析由AIB#0可知：2x 4ax+2a+6 =0至少有一个负根，即有两个负根，一负根一个 0根，一负根一正根。分别求解比较麻烦，从反面考虑，先求出方程2x 4ax+2a+6 =0有根的全集 U ,然后考虑x2 -4ax +2a +6 =0两根均非负时 a的范N= (x, y) x - y = 4,那么 M Pl N =()A.x =

19、3, y=-1B.(3,- 1)C.3 ,- 1D.(3 ,- 1).集合 AUB=1 , 2, 3, A=1,则 B 的子集最多可能有()A.5个 B.6个 C.7个 D.8个.集合 M= y w R y = x2 +1, xW R , P=yWRy=5 x2,xWR,则 mUp=()A.RC. x|-5x1D. ( - 72 ,3),(虎,3)二、填空题.A= x|x3) , B= x|x4),贝U A n B =, A U B=.22.已知 x - px+15=0,x -5x+q = 0 的解集分别为M和S,且M0|S =3,则R =qo三、解答题2.集合P=x|x=a +4a+1, a

20、=R), Q= y y =七2 +2b +3,b w R),求 Pn q 和 pUCrQ。.若 A=x | x2 -ax +a2 -19=0),_ _2_ 一B= x|x -5x +6=0),2C= x|x +2x -8 =0)。(1)若 A0|B =AUB,求 a 的值。(2)若$AnB, A|C=0,求 a 的值。集合综合能力测试一、选择题.如果 x, y w R, A = (x, y) y = x,B=(x, y) |? =1),那么A、B的关系为 x()A . A 二 BB. A _： BC.A = BD. (CrA)二(CrB).已知 A = xxa2), B = xxa罟Au B

21、,则a的取值范围是()A .a2B. a - 2C.a2D. a 2.设U =2,3a2 +2a 3) , A=| a+1|,2),若Cu A = 5,则实数a的值为 ()A .2 或-4B.-2 或 4C.-6 或 4D.-3 或 1 TOC o 1-5 h z .A= x|ax+b 丰 0), B= x|cx+d* 0),全集 U = R, 贝 U x| (ax+b)(cx+d)=0)=()A. Cu Al l Cu B B. Cu A . BC.A . Cu BD. Cu A I1 Cu B，、92 ,一.集合 A=x| x -1=0), B=x|ax-1=0), HYPERLINK l

22、 bookmark58 o Current Document AU B = A ,则a的值为()A.0B.1C.-1D.0,- 1, 1二、填空题.设 M= x|x = a2+2a, a R), N= y|y=b2- 2b-1,b e R),则M与N的关系是=。2.已知 A = 1,3,a), B =1,a -a+1),若B u A ,则实数a的值为。8 .已知集合 A=0 , 1 , B=xKCA, xC N+, C=x|xCA则A与B的关系是, A 与C的关系是, B与C的关系是三、计算题9.已知 A =x| a _1 x 1且Au B,求a的取值范围。10.我们来考虑集合S=2, 3,

23、7, 8,在这个集合中：a.它的元素都是正整数，且 S#。；b.如果 xeS,贝U 10-xSo(1)再举出一个满足上述两个条件的集合S的例子；(2)试举出元素个数为 5个或6个，且满足上述 两个条件的集合S的例子；(3)从上述过程中，你能归纳出哪些一般性结 论？ 1.4含绝对值的不等式解法【基础知识】1.绝对值性质：x 卜 a a 0 = -a ： x ： a a 0 x | a a 0 = x a或 x -a a 0.绝对值定义：一 x, x 5,可理解为数轴上到 -1和到2的距离和大于5的点对应的所有数。【重点难点】去掉绝对值的主要方法有：(1)公式法：| x |0)u acxca,|

24、x | a (a0)u xa 或 xa。(2)定义法：零点分段法；(3)平方法：不等式两边都是非负时， 两边同 时平方。【例题剖析】例1解关于X的不等式：3x-2 0即m a 时，原不等式可化 2为：- 2m -1 二 3x -2 ： 2m-12m -3 :x3综上所述，当m2m 10,b0,解关于x的不等式：|ax-2| bxo解原不等式可化为ax 2 至 bx 或 ax 2 E -bx ,即：(ab)x22或,，、-2 _(a+b)x刍2= x，a b1 当m a 时原不等式的解集为:2，x|x32m 10时，由得，此时，原不等式解为(2)当a = b0时，由得，此时，原不等式解为：x _

25、解由三心3 xf3-xf2 -x可得:2 + x22 xl-x-3 x 2 2 - I x 3 x-2 2 0(x2 x -6(x2 +x 6 2 04x2 -6x ： 0由 x0 知 x260. 0 x 6，原不等式的解集为*x|0 x ：二、,6:。例3解不等式x+1|+|x1尸2解原不等式等价为：X -1x 1 x -1 -2x - -1x，ix E1-1 x ： 1 或x 1 1 -x - 2一1 x 1或产Tx - -1=x =1 或-1x,a - b2:x -a - b2(3)当0 a b时，由得xW , a - b2.此时，原不等式解为：x0时，原不等式解集为一2 Tx | x

26、： 或 x a b(2)当 0 a E b，2 、x | x 0的解集是()A.中 B.R C. 2 D. x|x#22.与不等式|2-3x|1同解的是A.2-3x -1 C.2-3x13.设全集U=CuA等于(B.3x-21 或 3x-2-1D.- 12-3x1, A = x|x+1| 1, )A. x|x0B. x|x 3C. x|x3D. x|1x34.不等式|ax+b| Ec的解集为非空集合，则 c的取值范围是A.c _0C.c0D.c05.若不等式|1-kx|2的解集是x|- 1x3,贝U的A.-2k1C.k=11B. k13D. k=- 36.不等式|2x 1 |A. x|0 x1

27、B. x|- 1x1的解集是13.解不等式:ax -1 ： ： 2【课时训练2一、选择题.不等式|2x-5 a3的解集是A. lx | x 4;B.灰 |1 ：二 x ：: 4；C. x|- 1x0 且 x1二一2D. x|x0二、填空题7.若2Wx|2x+a|1,则a的范围是C.D.奴 | x ： 1 或x 4*x | x T 或 x 4 ：2.关于x的不等式2a-3x+5b0(b18.不等式组的解集为A.，x |2a 5b:二 x2x -1 ：二39.不等式|x-|2x-1|1的解集为10.|x+2|- |x-1|a的解集为非空集合，则实数B.x|32a-5b:x :32a -5b 32a

28、 5b的取值范围是三、解答题-2a 5bC. x | : x3-2a -5b2, B=x|x-5|c,若 aUb =A,求实数c的取值范围。12.解下列不等式:11(1)|2x+g|_&(2) |2x1|3tP =x|结论正确的是()A. M = P = MB. M - P -x|3 :二 x ： 4)D. M - P = ：x| x ：二-3)x 4,则下列4. A=x|x + 2户 5, B=x|3 -x|2,则A.奴 | xB. | x - -7或x 3：D. 1x| -7 x -3的解集。 HYPERLINK l bookmark83 o Current Document 11.不等式

29、(3x 1 c dx +3的解集是42O.当a 0时，关于x的不等式b-axb 0 ,全集 U = R ,A = x|x-ba B = x|x-ab 1【基础知识】.复习各类不等式的解法，加强学生的数学知 识转化思想，对含有参数的情况初步学会进行 分类讨论。.一元二次不等式的解。.对含有参数的不等式进行分类讨论。【例题剖析】例1解下列不等式：(1)x2 -3x-100解原不等式二 x - 5 x 2 ： 0 =-2 : x 二 5(2)若 x2变为x2 ,则-x2 -3x-10 0等价什么？x x 1 x-5-x - 2(4) x 2 A 2此题转化为什么形式?x - 5的范围。A = xB

30、= (xA = ；xB = Lx(3 ) A = tx例2已知集合A, B ,当满足BG A时，求m TOC o 1-5 h z 2 x 5/m1_x_m3 .2 二x5)m1 ：x_m32 -3； ,m211.已知 A=x|2x3|a,B=x|x|10,且 A , B, 求实数a的取值范围。B = |x2。3mx m 1 2m1 0解当满足B= A时,m + 1 12； 二m + 35. m | -3 m 2；m + 1 2_m + 35m之-3m 2. m | -3m 2；（3） A = &| -2 Ex 5B - X | X 一 m 1 k _ 2m 一 1 L 0 J当 m +1 2

31、时，B =x | m +1 x 2m 1,即 m c 2 时，B=x|2m-1_x_m 1;当m+1 = 2m 1,即m = 2时，B 。. mA2时，m +1 22m 之 一3，=3m3, TOC o 1-5 h z 2m -1 5m 3.m | 2 m 3；m 2 时，m +1 51，二一一 E m -22, m | -1 m 2；2即m = 2时，B = 3仁A。满足条件。1m的取值氾围：. . m | - W m 3。2评析端点问题要具体情况具体分析，对含有 字母的一元二次不等式的解要进行分类讨论， 用图形可帮助分析解题。【课时训练11一、选择题21.右不等式ax +bx+2A0的解集

32、为 TOC o 1-5 h z （11、,i,则a +b的值为（） 2,3jA.10B.-10C.14D.-14x - 2.一2.不等式 1的解集是（）2xA.以| x；：: -1J C. *| -1 x 0：C. lx | x _ -1） D. lx | x _ _1或x . 0）.2 -1 0 ,、3.不等式组,2的解集为 （）x -3x 0A.奴 | -1 ：: x ：: 1J B. lx | 0 ：: x :二 3：C.奴 |0 ：: x 1D. tx | 1 x : 3J4.不等式x（12x）A0的解集 （） TOC o 1-5 h z . .11A. x | x :二- B.x|

33、x :二 0gfc0 ： x ： -,11C. x | x -D. x 10 ： x ： -2.不等式（a 2x +2（a-2X-40对一切 xw R恒成立，则a的取值范围是（）A. x|x 2 B.x| -2 x 2C.x| -2 :二 x 2 D.x|x ： -2二、填空题.不等式x -1 -x2 0的解集为 1x|2x01集合B =x|x2 - 2ax -3a2 x2 - x 1求：Acb 与 A=B1， 2212.右(x1) x 2mx+1 对一切实数 x都成立，求实数 m的取值范围。【课时训练2一、选择题11.不等式一下1的解集为（）xA.& |x ：二 1B.,x |0 ：二 x

34、：二 1C.& | x ： 1且x -二 0. D. & | x 1x - 12.如果x满足 0 ,那么化简3x -24-12x-9x2 - x2-2x-1的结果是 （）A. 2x -1B.1 -2xC.3 -4xD. 4x - 3x2 3x 33不等式二0的解集为（）A. & | x 3 B. x | 2 x 2的解集是（）x - 1A. x| -1 ：: X ：: 0或X 1B.X| X -1 或0 : X ：: 1C.x| -1 ：: X ：: 0或0 : X ：: 1D.X|X -1 或 X 12.设x/Dx2是万程x +px+4 = 0的两个不 相等的实根，则下列结论正确的是（）X1

35、1A 2且 X2 A 2X1 +x21A4x1 +x2| （3x2次十5,的解集为。2.不等式 一x +1的解集为。x.不等式 匹 1的解集（/1）U（2,y ）那 x -1么a的值等于。.关于x的不等式 与二 0（a+b）0 ）的解 x b集是。.已知集合M=x|xa0,a w r,若M U N = R，求a的取值范围。.解关于x的不等式：（x -2）（ax -2） 0ax - 5.已知关于x的不等式：M0的解集为 x - aM（1）当a = 4时，求集合M ；（2）若3w M且5星M ,求实数a的取值范 围。 1.6逻辑联结词【基础知识】.逻辑联结词逻辑联结词 或”与日常生活语言中所用的

36、或”不完全相同。后者的或”可能是 何兼或（兼容或）”，也可能是 不可兼或（排斥或）”。 例如， 下午2:00我去图书馆或去游泳这里 的 或”即是不可兼或（排斥或），因为两者不可 能同时发生。而 小李会画画或会拉琴”的 我”, 则可能是可兼或，也可能是不可兼或。逻辑联 结词 或”指的是可兼或。.命题初中数学给命题下的定义是：判断一件事 情的句子，叫做命题。高中教科书的定义是： 可以判断真假的语句叫做命题。说法不同，实 质是一样的。语句是不是命题，关键在于能不 能判断其真假，也就是说不仅要判断，而且判 断的结果只能是 真“、假两者之一，不再有 第三种情况。不能判断真假的语句，就不能叫 命题。例如：

37、这是一棵大树”；X E0”；画线段AB=CU ;对顶角相等吗？ ”都不能叫命题。由于 大树”没有界定，就 不能判断这是一颗大树”的真假。由于x是未 知数，也不能判断XE0”是否成立。同样，画 线段AB=CD、对顶角相等吗？ ”一个祈使句、一个疑问句也不能判断真假。而 对顶角相等”就是命题，判断有真实与 虚假之分，判断可能有错，但结果只能是 真”、 假”二者之一，命题可分为真命题和假命题。.命题的分类命题可分为简单命题和复合命题。(1)简单命题不含逻辑联结词的命题叫做简单命题。简 单命题是不含其他命题作为其组成部分(在结 构上不能再分解成其他命题)的命题。(2)复合命题由简单命题和逻辑联结词构成

38、的命题叫复 合命题。如2是自然数且是偶数”就是由简单 命题2是自然数“和2是偶数”通过逻辑联结 词且”构成的复合命题。.本节所讲的复合命题主要有三种形式“p或q”形式的复合命题 (称作选言 命题)“p或q”形式的复合命题在中学数学里 大量出现，例如，看上去很简单的命题“3 0 ”、“正数或0的平方根是实数”等都属这 类命题。注意这种复合命题与集合的运算“并”是相互呼应的，即A U B = x x w A或 x WB。“ p且q”形式的复合命题(称作联 言命题)“p且q”形式的复合命题在中学数学里也是大量出现的，例如：“AB /CD、 “24既是8的倍数，也是6的倍数”、“ 2V 3 V 4”

39、等都属这类命题。注意这种复合命题与集合的 运算“交”是相互呼应的，即A =xxW A且xW B。“非p”形式的复合命题(称作非命题) “非p”形式的复合命题与集合的运算 “补”相互呼应。.真值表真值表是根据简单命题的真假，判断由这 些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及 简单命题的具体内容。pq非pp且qp或q真真假真真真假假假真假真真假真假假真假假【例题剖析】例1判断下列语句是否是命题，若是，判 断其真假，并说明理由。(1)等边三角形难道不是等腰三角形吗？(2)垂直于同一直线的两条直线必平行吗？一个数不是正数就是负数；(4)大角所对的边大于小角所对的边；x+ y是有理数，则x、y也都是有理

40、数；(6)作 AABC iAabco分析根据命题的概念，判断是否是命题，若 是，再判断真假。解(1)通过反问疑问句，对等边三角形是等腰 三角形作出判断，是真命题。(2)疑问句，没有对垂直于同一条直线的两 条直线是否平行作出判断，不是命题。(3)是假命题，数。既不是正数也不是负数。(4)是假命题，没有考虑到 在两个三角形中， 其他两边应相等”的情况。(5)是假命题，如 x =、； 3, y = V3。(6)祈使句，不是命题。评析判断一个语句是否是命题，关键在于能 否判断其真假。一般地，陈述句“是无理数”,反问疑问句 难道矩形不是平行四边形吗？”都叫命题，而祈使句 求证J2是无理数”，疑问句“提无

41、理数吗？ ，感叹句 向抗洪英雄学 习！”就不是命题。例2指出下列复合命题的形式及构成它的简 单命题(1) 96是48与16的倍数。(2)方程x2 -3=0没有有理根。(3)不等式x2 X2 0的解集是 X X 纵 X 0的解集是x|x3o分析先确定复合命题的构成形式以及构成它 的简单命题，然后研究各简单命题的真假，最 后再根据相应的真值表判断复合命题的真假。解(1)这个命题是“ p且q”的形式，其中p： 等腰三角形顶角的平分线平分底边， q:等腰三 角形顶角的平分线垂直于底边， 因p真、q真， 则“ p且q”真，所以该命题是真命题。(2)这个命题是“ p或q”的形式，其中p：方程x2 +3x+

42、2 =0的根是1； q：方程2x +3x+2 =0的根是-1,因p假、q真，则“p或q”真，所以该命题是真命题。(3)这个命题是 军p”的形式，其中 p： a(aUb),因p真，则非p”假，所以该 命题是假命题。(4) 53 是由 p： 53, q： 5=3 构成的 “ p 或q”形式的复合命题，而p真、q假，所以“ p 或q”为真，所以该命题是真命题。评析一个复合命题，从字面上看不一定有“或”、“且、“非”字样，这样需要我们掌握一些词语，符号或式子与逻辑联结词“或”、“且”、“非”的关系，如“或者”、“x=1、之”的含义为“或”；并且“、“ / ”的含义为“且”；“不是”、之”的含义为“非”

43、。【课时训练11一、选择题.下列语句中，不能成为命题的是()A.512B.x0C.1是方程x2 x = 0的根D.三角形的三条中线交于一点.有下列命题：(1) mx2 + 2x-1 = 0 是一元二次方程；(2)抛物线y = ax2+2x -1与x轴至少有一个交点；(3)互相包含的两个集合相等；(4)空集是任何集合的真子集。 TOC o 1-5 h z 其中，真命题个数是()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个.若p、q是两个简单命题，且“ p或q”的否 定是真命题，则必有()A.p真q真B.p假q假C.p真q假D.p假q真.下列语句是“ p且q”形式的命题是()A.老师和学生B.9的平方根

44、是3C.矩形的对角线互相平分且相等D.0不是偶数.已知命题p： 3是奇数，q： 3不是质数。由它们构成的p或q、p且q、非p”形式的复合(1) 2既是偶数，也是质数；(2)李宁是体操运动员或跳水运动员；(3) 143不是质数；(4)正方形既是矩形，也是菱形；(5)仅有一组对边平行的四边形是梯形或平行四边形；(6)平行四边形不是梯形。11.判断下列命题的真假，写出解题过程:(1) 4M5; (2) 5 之 5; (3) 7E6。命题中真命题有()A.0个 B.1个 C.2个 D.3个.关于命题“10勺质因数是2和5”,下列论述 中正确的是()A.真命题B.假命题C. p或q形式D. p且q”形式

45、二、填空题7.分别用“ p或q”、“p且q”、“非p”填空。“8是自然数且为偶数”是的形式；“ -1不是方程x2 +3x +1=0的根”是 的形式；“1既是方程x2十2x3=0的根，又是2万程2x +5x8=0的根”是的形“负数没有平方根”是 的形式；(5 ) “方程x2 +3x +2 = 0的根是-2或-1”是的形式。.已知命题“各位数字的和是 3的倍数的整数 一定是3的倍数”。则此命题的题设是;结论是。三、解答题.分别指出由下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题的真假。p： 33, q： 3=3;p：中=0, q： 0三中；p： A = A, q： A1A=A;p

46、：函数y =x2 +3x + 4的图象与x轴有公共点，q：方程x2 +3x4=0没有实根。10.分别指出下列复合命题的形式及构成它的 简单命题。【课时训练2一、选择题“|x+|y #0” 等价于()A. x=0 且 y=0B.x=0 或 y=0C.x#0 且 y#0D.x#0 或 y#0.命题日ABC是等腰直角三角形”的形式是()A. p 或 qB.p 且 qC.非pD.以上都不是.对于命题 方程ax +1 = x - 2有唯一解”是()A. p或q”的形式 B. “p且q”的形式C.真命题D.假命题.命题“存在实数 x, x + 1 4 或 45; (2) 9 至 3; (3) 命题 若ab

47、,则a+bb+c”; (4)命题 菱形的 两条对角线互相垂直”，其中假命题的个数是()A.0B.1C.2D.3.有下列命题：(1)若 a, a+10, a+14 都是质数，则 a=3;(2)已知a, b, c都是正数，且关于 x的方程2(c + a)x +2bx+(c a) =0有两个相等的实根，则a, b, c可以作为一个直角三角形的 三边的长；存在实数 x, y 满足5x2 -12xy + 10y2 -6x-4y + 13 = 0；(4)若一个自然数有奇数个正约数，则这个数一定是平方数。其中，真命题的个数有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题.复合命题喳ABC是等腰三角形且

48、是直角三 角形”的否定是。IdI.判断命题“由4 - 6芯+ V14 +6而不是有理数”的真假是。三、解答题.已知命题p：兀是无理数。q： J12不是实数，写出“ p或q”、“ p且q”、“非p”形式的 复合命题，并判断它们的真假。原命题：若p 互逆则q*逆命题：若q则p2.四种命题之间的关系(1)原命题与逆命题为互逆命题，否命题与逆否命题也互为逆命题。(2)原命题与否命题为互否命题，逆命题与逆否命题也为互否命题。(3)原命题与逆否命题是互为逆否命题，否命题与逆命题也是互为逆否命题四种命题的相互关系如图：否命题：若互逆 逆否命题：若书则规W q .若q则p 注：当一命题被指定为原命题，便得相应

49、的逆 命题、否命题、逆否命题。础上，会用反证法证明。.深刻理解和掌握四种命题的概念、一个命题 与其他三个命题的真假关系。关于逆命题、否 命题与逆否命题，也可以如下表述：(1)交换原命题的条件和结论， 所得的命题是 逆命题。(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题。(3)交换原命题的条件和结论， 并且同时否定， 所得的命题是逆否命题。. (1)注意区分否命题与命题的否定。若p表示命题，“非p”叫做命题的否定。 如果原命题是“若 p则q，否命题是“若1p 则1q，而命题的否定是“ p且非q”，即只否 定结论。例如“正三角形的三条边都相等”的否定 为“正三角形的三条边都不相等”；而把“正

50、三 角形的三条边都相等”作为原命题，则它的否 命题是“若一个三角形不是正三角形，则它的 三条边不都相等”。.等价性原命题为真，它的逆否命题一定真。原命题为真，它的逆命题、否命题不一定真。原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价。(2)掌握一些语句的否定，如词语大于()是者B是所有 的词语的 否定不大于 (b,则 ac2bc2(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；(3)若在二次函数中 y=ax2+bx+c, b2-4acbc2,则ab;为真。否命题：若aU,则ac2Oc2;为真。逆否命题：若ac2由c2,则a。；为假。(2)该命题为真。逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则四边形的

51、对角互补；为真。否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形；为真。逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对角不互补；为真。(3)该命题为假。,当b24ac0时，二次方程ax2+ bx+c=0没有实数根，因此二次函数y= ax2+bx+ c的图像与x轴无公共点。逆命题：若二次函数 y=ax2+bx+c的图像与x轴 有公共点，则b24ac180,这与 A+B+C =180矛盾。假设错，故三角形内不可能有两个角是直角。评析用反证法证明命题时， “推出矛盾是关 键”。推出矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾， 有的与假设矛盾，有的与已知事实相违背等等。例5若a, b, c均为实数

52、，且a=x22y+:二22,b = y 2z + , c = z 2z + ,求236证：a, b, c中至少有一个大于 0。分析正确的作出反设(否定结论)结果是“a, b, c都不大于0，即a 0, b Q c 0要注 意一些常用的“结论的否定形式”，如“至少有 一个”、“至多有一个”、“都是”的否定形式是“一个也没有”、“至多两个”、“不都是”。证明(反证法)假设a, b, c都不大于0,即aw0, b 0, c0 ,且无论为x, y, z为何实数，222(x-1)2 (y-1)2 (z-1)2 -0a+b+c0这与a+b+cw 0矛盾，因此中 a, b, c至 少有一个大于0。【课时训练

53、11一、选择题.如果一个命题的否命题是真命题，那么这个命题的逆命题是()A.真命题B.假命题C.不一定是真D.不一定是假命题.与命题 “若a2 M,则b更M”的等价命题是()A. bM,且 aMB.bM,则 aMC.bWM ,则 aWMD.aM,则 bw M.命题“若AB=A,则aUb=b ”的否命题是 ()A.若 aUb=B,则 AB=Ab.若 a1b#a,则 aUb#bc.若 aUb#b,则 aQ b#a10.写出下列命题的原命题，逆命题，否命题, 逆否命题，并判断这些命题的真假。(1)实数的平方为正实数；(2)三角形的两边和不小于第三边；(3)若 ab,则 bb0,则遍 3b ；(2)圆

54、的两条不是直径的相交弦不能互相平 分。A.若yA,贝U xA B.若x走A,贝U y正A C.若y宓A,则x更A D.若、圭A,则x= A 6.有下列命题：(1)命题若 xy=0,则 | x + y =0 的 逆命题；(2)命题“若ab,贝U a+cb+c的否命题；(3)命题“矩形的两条对角线相等”的逆命题；(4)命题“菱形的两条对角线互相垂直”的否命题。其中真命题的个数为()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题. “AB/CD”的否定是 。.命题“若a, b是奇数，则a+b是偶数”的逆 否命题是 O【课时训练2一、选择题1.若命题p的逆命题是q,命题q的否命题是r,则r是p的(

55、)A.逆命题B.否命题三、解答题.把下面命题写成“若 p则q”的形式 (1)到圆心距离等于半径的点在圆上。 (2)三角形内角和等于 1800;)两个有理数的商仍为有理数；)实数的平方为正实数。C.逆否命题D.以上判断都不正确2.有下列四个命题：(1)“若xy=1 ,则x, y互为倒数”的逆命题；(2) “面积相等的三角形全等”的否命题；(3)“若mwi,则x2 2x+m=0有实根”的逆否命题；“若aCIb=B,则A1B”的逆否命题。其中真命题是()A. (1)B. (2) (3)C. (1)(3)D. (3) (4)3.设命题p：已知a、b为实数，若a+b是无理 数。则a是无理数或b是无理数，

56、则下列结论 中正确的是()A. p为真命题B.p的逆命题为真命题C.p的否命题为真命题D.p的逆否命题为假命题.在下列三个命题中，正确的为：()命题“ ABC和 A1B1C1都是直角三角形”的否定是“ ABC和4 A1B1C1都不是直角三角 形”；(2)命题“若xyW0,则xW 0且y W 0”的逆否命 题是“若 x=0或y=0,则xy=0”;(3)命题“若xA x=B,则xWaUb”的逆 命题是“若xaUb,则xA且xW B”A.B. (2) (3)C. (1) (3)D. (1) (2) (3).与命题“能被6整除的整数，一定能被2整除”等价的命题是：()2整除；B.若一个整数能被6整除，

57、则它不一定能被2 整除；C.若一个整数能被 2整除，则它一定能被 6 整除；D.若一个整数不能被 2整除，则它一定不能被6整除。二、填空题.命题若x2+y2=0,则x, y全为0”的否命题是_。7、写出命题“若方程 ax2-bx+c=0的两根均大于0 ,则ac0 ”的一个等价命题是,它是一个 (填“真” “假”)命题。 三、解答题J q.试写出命题“若Jx2 =* y?,则x=y或x=-y” 的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的 真假。.用反证法证明“若 a2+b2=c2,则a, b, c不 能都是奇数”。A.若一个整数不能被 6整除，则它一定不能被10.设实系数二次方程 ax2+bx+c

58、=0与dx2+ex+f=0，且=ac +df ,求证：方程 2与中至少有一个方程有实根。思考题：(2007陕西卷)某生物生长过程中，在三个连续时段内的增长量都相等，在各时段内平均增长速度分别为v1, v2, v3,该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为111十 + B V1 V2 V3 3D . - 工1 .1V1 V2 V3分条件与必要条件(一)【基础知识】.一般地，如果已知 p= q ,那么我们就说， p是q的充分条件，q是p的必要条件。.一般地，若p= q且q= p ,则p是q的 充要条件。若pn q且q士 p,则p是q的充 分不必要条件。qn p且pq,则p是q 的必要不充分条件。

59、若 p士 q且qp,则p 是q的既不充分也不必要条件。【重点难点】本节的重点和难点是关于充分条件和必 要条件的判断。.判断过程中应该：(1)首先分清条件是什么，结论是什么；(2)然后尝试用条件推结论， 再尝试用结论推 条件。推理方法可以是直接法、间接法(即反 证法)，也可以举反例说明其不成立；(3)最后再指出条件是结论的什么条件。.充分条件与必要条件的特征充分条件与必要条件具有如下两个特征：(1)对称性：p是q的充分条件，q是p的必 要条件(2)传递性：若p是q的充分条件，q是r的 充分条彳则p是r的充分条件，即：“ p = q 且 q = r = p = r ”。【例题剖析】例1已知p、q都

60、是r的必要条件，s是r的充 分条彳q是s的充分条件，那么s是q的什么条件？r是q的什么条件？p是q的什么条件？分析本题要求将语言叙述转化为用“二表示， 再转化为语言叙述。解依题意，r= p , r= q , s= r , q= s, .suq, r=q, q= p。1- s是q的充要条件，r是q的充分条件，p 是q的必要条件。例2指出下列各组命题中p是q的什么条件？p： |a|b|, q： ab;p： ab0, q： |a+b|0 , q：方程 x2 +x m = 0有实 根；2p： x -x , q： | x |= x。分析紧扣定义进行判断。解(1) | a |b | 0ab,例如：|_2|