高三物理一轮复习万有引力定律

1、万有引力定律复习教案（n）一、教学目标：能综合运用所学知识解决具体问题二、教学重点：学科内知识的综合应用三、教学难点：跨学科知识的综合应用四、教学过程：（一）学科内综合【例题1】宇宙飞船以的加速度匀加速上升，在飞船中用弹簧矛KKU得质量为 10kg 的物体的视重为75N,若已知地球半径为 6400km,求测量时飞船所处的位置距地面的高 度（g为地面的重力加速度）。解：取物体为研究对象。它受到重力（mg*mg）拉力（F =75N）的作用，由牛顿第二定律：F mg=ma得g = 2.5m/s2 ,Mm_2(R h)Mm mg = G R2,gR2_2g (R h). h = R = 6400km【

2、例题2】宇航员在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球， 经过时间t ,小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出的初速度增大到 2倍,则抛出点与落地点之间的距离为 J3l。已知两落地点在同一水平面上，设星球的半径为R,万有引力常量为 G,求该星球的质量。解：设抛出点的高度为 h ,第一次平抛水平射程为 x ,则:x2 h2 =L2由于第二次抛出点的高度与第一次相同，则落地时间所以第二次平抛水平射程为2x。则:(2x)2+h2 =()2由两式得h=7L31又因为h = g星t22由万有引力定律，mg星八Mm 上=G-2R2由式可得2 3lr23Gt2(二)联系实际题运行轨道

3、不同。【例题3】我国先后发射的“风云一号”和“风云二号”气象卫星,“风云一号”采用“极地圆形轨道”，轨道平面与赤道平面垂直，通过地球两极，每12小时巡视地球一周，每天只能对同地区进行两次观测；“风云二号”采用“地球同步轨道”，轨道平面在赤道平面内，能对同一地区进行连续观测。对于这两种不同轨道上运行的两颗气象卫星，在运行与观测时：( )“风云一号”卫星观测区域比“风云二号”卫星观测区域大“风云一号”卫星轨道半径比“风云二号”卫星轨道半径大“风云一号”卫星运行周期比“风云二号”卫星运行周期大“风云一号”卫星运行速度比“风云二号”卫星运行速度大为了使极地圆形轨道平面与日地线的夹角即太阳的光照角不变，

4、轨道平面须绕地球自转轴旋转，这个旋转的角速度是:A.恒星日B.太阳日C. 366.25恒星日366.25太阳日【解析】本题作为教材的延伸，从课本上学到的人造卫星的基本理论知识出发,合地理学科的有关知识，对“风云号”和“风云二号”气象卫星的不同工作用途及各自特点进行了分析。由题意可知“风云一号”和“风云二号”两颗卫星的周期分别为T1=12小时,T2 =24小时。根据G m m2(R h)= m(R h)(）2,可彳#h=；!2GMT2-R,Mm根据G2mv2(R h)2 R ho可得7 =GMR h可知周期较大的卫星，轨道半径较大，而沿极地形轨道运行的“风云二号”的观测范围较大。使用物理学中的角

5、速度 .2n 及地理学中的太阳日、 恒星日的有关知识即可求T解。正确答案为：D;C D=【例题4】一组太空人乘太空穿梭机，去修理位于离地球表面6.0父105 m的圆形轨道上的哈勃太空望远镜 Ho机组人员使穿梭机 S进入与H相同的轨道并关闭推动火箭,而望远镜则在穿梭机前方数公里处，如图所示，设G为引力常数，而ME为地球质量。（已知：地球半径为 6.4M106m）。在穿梭机内，一质量为 70kg的太空人的视重是多少?计算轨道上的重力加速度的值。计算穿梭机在轨道上的速率和周期。穿梭机须首先螺旋进入半径较小的轨道，才有较大的角速度以超前望远镜。用上题的结果判断穿梭机要进入较低轨道时应增加还是减少其原有

6、速率，解释你的答案。【解析】在穿梭机内，一质量为70kg的太空人的视重为 0。因为 mg=G Me?，所以 g= GMe2，其中 R = 6. 4 f , (R h)2(R h)2h=6.0 xl05m。得 g = 8.2m/ s2。地球对穿梭机的万有引力提供向心力。223GM Em mv2- 24 (R h)3有： 2 =m()(R +h),所以 v =5.8父 10 s v3时，被发射物体将从太阳系中逃逸。.同步卫星的两个特征(1)轨道平面必与赤道平面重合；图 10-1(2)高度为确定的值。.地球自转对地表物体重力的影响。如图101所示，在纬度为 平的地表处，物体所受的万有引力为F=GmM

7、而物体随地球一起绕地轴自转所常的向心力为F 向=mRcos 邛 w2方向垂直于地轴指向地轴，这是物体所受到的万有引力的一个分力充当的，而万有引力的另一个分力就是通常所说的重力mg,严格地说：除了在地球的两个极点处,地球表面处的物体所受的重力并不等于万有引力，而只是万有引力的一个分力。由于地球自转缓慢，所以大量的近似计算中忽略了自转的影响，在此基础上就有：地球表面处物体所受到的地球引力近似等于其重力，即这是一个分析天体圆运动问题时的重要的辅助公式。三、典型例题GmMR2=mg例1.某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变，每次测量中卫星的运动可近似看作圆周运动。某次测

8、量卫星的轨道半径为 ri,后来变为r2, r2 r1?以Ek1、Ek2表示卫星在这两个轨道上的动能， T1、T2表示卫星在 这两个轨道上绕地运动的周期，则A .Ek2Ek1,T2T1B .Ek2T1C.Ek2Ek1,T2VT1D.Ek2Ek1,T2T1分析：常会有同学因为考虑到有阻力作用，就简单地判断动能将减小，其实这样的解答：由于引力充当向心力，所以有GmMr2 mv, 24 二分析是不周密的，结论也是错误的，因为有阻力作用的同时，半经减小，引力将做正 功。于是可得动能和周期分别为：Ek= - mv2 = GmM2 2r可见：当阻力作用使轨道半径从1减小为2时，其动能将从 Ek1增大为Ek2

9、,周期将从T1减小为T2,即Ek2Ek1, T2VT1,应选C.例2.地核体积约为地球体积的 16%,地球质量约为地球质量的 34%,引力常量取 G=6.7 X 10 11Nm2/kg2,地球半径取 R=6.4X106m,地球表面重力加速度取 g=9.8m/s2, 试估算地核的平均密度（结果取2位有效数字）。分析：利用gm表达式进行估算解答：地表处物体所受引力约等于重力，于是有GmM落=mg地球的平均密度为4 -：R由此可得P = 口一 =E98nr kg/m3 =5.5 乂4 二 GR 4 3.14 6.7 106.4 106103kg/m3地核的平均密度为-=34%M = 17 :=1.2

10、x104kg/m316%V8例3.在天体运动中，将两颗彼此距离较近， 且相互绕行的行星称为双星。已知两行星质量分别为 M1和M2,它们之间距离为 L,求各自运转半径和角 速度为多少？分析：在本题中，双星之间有相互吸引力而保持距离不变，则这两行星一定绕着两物体连线上某点做匀速圆周运动，设该点为O,如图102所示,解答：引力大小为 F=GM 1M 2L2引力提供双星做圆周运动的向心力22F=M 1nw = M 2r2wM1OM2始终在一直线上，Mi和M2的角速度相等，其间的引力充当向心力r i+2=L由此即可求得m2lr1 =M1 M2M1L2=Mi M2. = .G(M1 M2 )/L3例4,已

11、知地球与月球质量比为8:1,半径之比为 3.8: 1,在地球表面上发射卫星，至少需要7.9km/s的速度，求在月球上发现一颗环绕月球表面运行的飞行物需要多 大的速度？分析：地球上卫星需要的向心力来自地球的引力，月球上的飞行物需要的向心力 是月球对它的引力.解答：；发射环绕地球表面运行的飞行物时，有GmM地=m2发射环绕月球表面运行的飞行物时，只有 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark97 o Current Document GmM月v月=mr2R月M 月 R地81133由此即可信：v 月=! , v 地=”父x 7.9X 10 m/s =1.71 X 10 m

12、/sM 地 R月 13.8例5.宇宙飞船以a=lg=5m/s2的加速度匀速上升，由于超重现象，用弹簧秤测2得质量为10kg的物体重量为75N,由此可求飞船所处位置距地面高度为多少？(地球半径 R=6400km)分析：质量10kg的物体在地面处重力大小约100N,而弹簧秤示数 F=75N ,显然飞船所在处物体所受到的重力mg1应小于F.解答：由牛顿第二定律，得F mg1=ma而 Gm, =mg GmM 2 =mg1 由此即可解得h=R=6.4 x 106mR(R h)例6.阅读下列材料，并结合材料解题开普勒从1909年一一1919年发表了著名的开普勒行星三定律：第一定律：所有的行星分别在大小不同

13、的椭圆轨道上绕太阳运动，太阳在这个椭 圆的一个焦点上第二定律：太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积第三定律：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等实践证明，开普勒三定律也适用于人造地球卫星的运动，如果人造地球卫星沿半径为r的圆形轨道绕地球运动， 当开动制动发动机后， 卫量速度降低并转移到与地球相 切的椭圆轨道，如图 103问在这之后，卫星经过多长时间着陆？空气阻力不计，地球半径为R,地球表面重力加速度为 g,_ 要的圆轨,圆形轨道作为椭圆轨道的一种特殊形式。，二：分析：此题所求实质是星体做椭圆运动的周期，T二仅凭中学物理知识难以解决，但再利用题中信息所示原理，则

14、可方便求解。 卡解答：提供的信息中有如下几条对解题有用二3k.E口 + .1：(1)开氏第一定律 (2)开氏第二定律图1 口一3(3)开氏第三定律a3/T2=常量 (4)开氏第三定律适用于人造卫量(5)圆轨道是椭圆轨道的特例，半长轴与半短轴等长，均为半径。于是由开氏第三定律可得24 二GmM=mr2 =mgTORt=1T2 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark19 o Current Document 33r a-1 GmM2 = 2其中 a= (R+r) 另外又有 2To2T22r212考虑到椭圆轨道的对称性，考虑到开氏第二定律，不难得R r 3一于是解得 t

15、=二（R）22万有引力定律复习教案IV万有引力定律与牛顿三定律， 并称经典力学四大定律，可见万有引力定律的重要性。 万有引力定律定律已成为高考和各地模拟试卷命题的热点。此部分内容在考纲中列为n级要求。有关题目立意越来越新，但解题涉及的知识，难度不大，规律性较强。特 别是随着我国载人飞船升空和对空间研究的深入，高考对这部分内容的考查将会越来越强。一、对万有定律的理解.万有引力定律发现的思路、方法开普勒解决了行星绕太阳在椭圆轨道上运行的规律， 但没能揭示出行星按此规律运 动的原因.英国物理学家牛顿 （公元16421727）对该问题进行了艰苦的探索，取得了 重大突破.首先，牛顿论证了行星的运行必定受

16、到一种指向太阳的引力.其次，牛顿进一步论证了行星沿椭圆轨道运行时受到太阳的引力，与它们的距离的二次方成反比.为了在中学阶段较简便地说明推理过程，课本中是将椭圆轨道简化为圆形轨道论证的.第三，牛顿从物体间作用的相互性出发，大胆假设并实验验证了行星受太阳的引力亦跟太阳的质量成正比.因此得出：太阳对行星的行力跟两者质量之积成正比.最后，牛顿做了著名的“月一地”检验，将引力合理推广到宇宙中任何两物体，使万有引力规律赋予普遍性.万有引力定律的检验牛顿通过对月球运动的验证，得出万有引力定律， 开始时还只能是一个假设，在其后的一百多年问，由于不断被实践所证实， 才真正成为一种理论.其中，最有效的实验 验证有

17、以下四方面.地球形状的预测.牛顿根据引力理论计算后断定，地球的赤道部分应该隆起,形状像个橘子.而笛卡尔根据旋涡假设作出的预言，地球应该是两极伸长的扁球体，像个柠檬.1735年，法国科学院派出两个测量队分赴亦道地区的秘鲁（纬度。=20。）和高纬度处的拉普兰德（。=66。），分别测得两地1纬度之长为：赤道处是110600m,两极处是111900m.后来，又测得法国附近纬度1。的长度和地球的扁率.大地测量基本证实了牛顿的预言，从此，这场“橘子与柠檬”之争才得以平息.哈雷彗星的预报.英国天文学家哈雷通过对彗星轨道的对照后认为，1682年出现的大彗星与1607年、1531年出现的大彗星实际上是同一颗彗星

18、，并根据万有引力 算出这个彗星的轨道， 其周期是76年.哈雷预言，1758年这颗彗星将再次光临地球.于是，预报彗星的回归又一次作为对牛顿引力理论的严峻考验.后来，彗星按时回归，成为当时破天荒的奇观，牛顿理论又一次被得到证实.海王星的发现.4）.万有引力常量的测定.也只有通过反复的验证，才能被人们由此可见，一个新的学说决不是一蹴而就的， 所普遍接受.万有引力定律的适用条件例1、如下图所示，在半径 R= 20cn 质 量 七168kg的均匀铜球中，挖去一球形空穴， 空穴的半径为要， 并且跟铜球相切，在铜球外有一质量 m= 1kg、体积可忽略不计的小球，这个小球位于连接铜球球心跟空穴中心的 直线上，

19、并且在空穴一边，两球心相距是d = 2m,试求它们之间的相互吸引力.解：完整的铜球跟小球 m之间的相互吸引力为f =GMmd2这个力F是铜球M的所有质点和小球 m的所有质点之间引力的总合力， 它应该等于被挖掉球穴后的剩余部分与半径为娄的铜球对小球m的吸引力F=F1+F2.式中F1是挖掉球穴后的剩余部分对m的吸引力，F2是半径为RZ2的小铜球对 m的吸引力。因为F2 =GR 2 (dW所以挖掉球穴后的剩余部分对小球的引力为_ _ 9F1=F- F2=2.41 X 10 N例2、深入地球内部时物体所受的引力假设地球为正球体， 各处密度均匀.计算它对球外物体的引力,于球心.如果物体深入地球内部，如何

20、计算它所受的引力？如右图所示，设一个质量为 m的物体（可视为质点）在地层内离地心为r的A处.为 了计算地球对它的引力， 把地球分成许多薄层. 设过A点的对顶锥面上两小块体积分别 为、 *.当Vi和很小时，可以近似看成圆台.已知圆台的体积公式一一 1 一一，_2 _ 2 _ _ 、V 二 一二 H （R R2 R1R2）3式中Ri和R分别是上、下两底面的半径.兀hR当圆台很小很薄时，且 H（a , hK b时，Ri=R=R.那么V = 根据万有引力定律Lm1m2- am P二 a2 sin2=G2-a=Gm P二H sin22.2- m2 m_ m - b sinF2 ; G -二 G2b2b2

21、=Gm ：二H sin2所以 年=处2,即两小块体积的物体对 A处质点的引力大小相等，且方向相反,它们的合力为零.当把地球分成许多薄层后， 可以看到，位于A点以外的这一圈地层（右 图中用斜线表示）对物体的引力互相平衡， 相当于对A处物体不产生引力， 对A处物体的引力完全由半径为r的这部分球体产生.引力大小为43”r ： ml M rm 3Fr = G 2 G 32rr即与离地心的距离成正比.当物体位于球心时，r=0,则Fr=O,它完全不受地球 的引力.所以，当一个质量为 m的物体从球心（r=0）逐渐移到球外 时，它所受地球的引力 F随r的变化关系如右图所示. 即先随r的增大正比例地增大；后随

22、r的增大，按平方反比规律减小；当r = R（地球半径）时,引力F0 =GMmRo.注意领会卡文迪许实验设计的巧妙方法.由万有引力定律表达式F = G mm2r“ f Fr2 小可知，G =,要测定引力常量 G,只需mg?测出两物体m、m2间距离r及它们间万有引力 F即可.由 于一般物体间的万有引力 F非常小，很难用实验的方法显 示并测量出来，所以在万有引力定律发现后的百余年间， 一直没有测出引力常量的准确数值.卡文迪许巧妙的扭秤实验通过多次“放大”的办法 解决了这一问题.图是卡文迪许实验装置的俯视图.首先，图中固定两个小球 m的r形架，可使nr m 之间微小的万有引力产生较大的力矩，使金属丝产

23、生一定角度的偏转臼，这是一次“放大”效应.其次，为了使金属丝的微小形变加以“放大”，卡文迪许用从1发出的光线射到平面镜M上，在平面镜偏转0角时，反射光线偏转 2。角，可以得出光点在刻度尺上移动 的弧长s=2。R,增大小平面镜 M到刻度尺的距离 R,光点在刻度尺上移动的弧长 S就 相应增大，这又是一次“放大”效应.由于多次巧妙“放大”， 才使微小的万有引力显示并测量出来.除“放大法”外，物理上观察实验效果的方法，还包括“转换法”、“对比法”等.深刻认识卡文迪许实验的意义(1)卡文迪许通过改变质量和距离，证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性.(2)第一次测出了引力常量，使万有定律能进行定量计

24、算，显示出真正的实用价值.(3)标志着力学实验精密程度的提高，开创了测量弱力的新时代.(4)表明：任何规律的发现总是经过理论上的推理和实验上的反复验证才能完成.5.物体在地面上所受的引力与重力的区别和联系地球对物体的引力是物体具有重力的根本原因.但重力又不完全等于引力.这是因这小为地球在不停地自转， 地球上的一切物体都随着地球自转而绕地轴做匀速圆周运动, 就需要向心力.这个向心力的方向是垂直指向地轴的，它的大小是2f =mr切，式中的r是物体与地轴的距离，是地球自转的角速度.这个向心力来自哪里？只能来自地球对物体的引力F,它是引力F的一个分力如右图，引力 F的另一个分力才是物体的重力 mg.在

25、不同纬度的地方，物体做匀速圆周运动的角速度 3相同，而圆周 的半径r不同，这个半径在赤道处最大， 在两极最小(等于零).纬度为”处的物体随地球自转所需的向心力f =mR82cosot （R为地球半径），由公式可见,随着纬度升高，向心力将减小，在两极处RcOSa =0, f = 0.作为引力的另一个分量,即重力则随纬度升高而增大.在赤道上，物体的重力等于引力与向心力之差.即10 5rad/smg =6吗.在两极，引力就是重力.但由于地球的角速度很小，仅为 R数量级，所以mg与F的差别并不很大.在不考虑地球自转的条件下，地球表面物体的重力 mg =GMmR2.这是一个速度g = G M.R2在距地表高度为 可得：-Mmmg = G3(R h)2R22 =2 g (R h)2 (R h)2很有用的结论.mg从图中还可以看出重力 mg一般并不指向地心，只有在南北两极和赤道上重力 才能向地心.同样，根据万有引力