高三数学高考易错点睛平面解析几何4

1、2010年高考数学易错专题点睛：平面解析几何【原题】过点（1 , 0）的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为 W2的椭圆C相交于A、 2B两点，直线y=1x过线段AB的中点，同时椭圆 C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试2求直线l与椭圆C的方程【错误分析：不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键2 TOC o 1-5 h z 【答案】椭圆C的方程为 约+16y2 =1, l的方程为y= X+1 99 HYPERLINK l bookmark2 o Current Document 22 ,h21.【解析】法一 由e= c =，得a 2h ,从

2、而a2=2h2, c=h a 2a22设椭圆方程为x2+2y2=2h2, A（X1,y1）, B（X2, y2）在椭圆上贝U X12+2y12=2h2, X22+2y22=2h2,两式相减得，（x： X22）+2（ y，一 y22）=0, y1 - y2 =x1 *x2 .X1 -X22（ y1 y2）设AB中点为（X0, y）,则Kab=- X ,又（X0,y0）在直线yx上，y0=1X0,于是一x02y0222y01 , Kae= - 1 ,设l的方程为y= - x+1.右焦点(h,0)关于l的对称点设为r r(X ,y),则x h解得 3y x +h X =1_ y =1 -h京-2,

3、1由点(1,1 -h)在椭圆上，得 1+2(1 h)2=2h2,h2= 9 ,a2 = 9.所求椭圆C的方程为16828x 16 2-+y =1, l 的万程为 y=-x+1解法二 由e=c=2，得a ；h从而a2=2h2,c=h设椭圆C的方程为x2+2y2=2h2, l的方 TOC o 1-5 h z a 2 a2222222程为y=k(x - 1),将l的万程代入 C的万程，得(1+2 k )x 4k x+2k 2h =0,则2_4k2.2k1X1+X2=7, y+y2=k(X11)+k(X21)= k( X1+X2) 2k=三 直线 ly=x 过 AB的中1 2k21 2k222点(力.

4、y1 y2 ),则 k =工，2k 解得女二。,或k=_ 1若k=0,则l的方程为y=0,221 2k22 1 2k2焦点F（c,0）关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆 C上，所以k=0舍去，从而k=-1,直线l的方程为y=- (x- 1),即y= x+1,以下同解法一A、B两点坐标代入圆锥曲【易错点点睛】本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将 线方程，两式相减得关于直线 AB斜率的等式 解法二，用韦达定理【原题】如图所示，抛物线 y2=4x的顶点为Q点A的坐标为(5, 0),倾斜角为:的直线l与 线段OAt目交(不经过点O或点A)且交抛物线于 M N两点，求 AM丽积最大时直线

5、l的方程，并求 AMN勺最大面积【错误分析：将直线方程代入抛物线方程后，没有确定m的取值范围 不等式法求最值忽略了适用的条件【答案】直线l的方程为y=x1, AAMN勺最大面积为8/2y x m【解析】法一由题意，可设l的方程为y=x+m其中一5m0,解得 m 1,又一5V m 0, m的氾围为(一5, 0)设 Mx1，y。，N(x2, y2)2x1+x2=42m, x1 x2=m,点A到直线l的距离为d=-S=2(5+ m Ji m ,从而 S/2=4(1 -n)(5+m)2=2(2-2n)(5+n)(5+m w 2( 2-2m+5+m+5+ m) 3=128，sw8J2,当且3仅当2 2m

6、=5+m即m=1时取等号 故直线l的方程为y=x-1, AMN勺最大面积为8丘解法二由题意，可设l与x轴相交于B (m,0) , l的方程为x = y +m其中0 V m0 必成立，设 M(x1,y1), N(x2, y2)则 y1+ y 2=4,y 1 - y 2= 4m.S =；(5m)|y -Y2 |= ； (5 m)而屈尸不5 1 5 15 15 15 1(2 -2m) (2 -2 m) (1 m)3=4(2-2m) (1 m)=4N2-2m)(2一2m)(1 m)b0）a2 b2由条件知a =1且b = c,又有a2 = b2 +c2 ,解得 a = 1c 29 x2故椭圆C的离心率

7、为e = -二 其标准方程为：y +=1a 212一Ary=kx+m ，一 22.2(2)设 l 与椭圆C交点为 A (Xi,yB(x2,vx2+y2_ 1得(k+2)x + 2kmx+(m 1)=02_2. .2_2_. 2kmm 1 = (2kg -4 (k+2) (m1) = 4 (k2m+2) 0 (*) Xi +X2=卜2+ 2 , xiX2=卜2+ 2xi +X2= 2x2. AP = 3 PBxi= 3X222xiX2 = 3x22. 一 一，一2km消去 x2,得 3 (xi + x2)+ 4x1x2= 0, .3 (女2+ 2) TOC o 1-5 h z 2)2 m 12

8、22. 2+ 4jk =0 整理得 4k m+ 2mk2=02m=：时，上式不成立；n2w：时k2=- 444m1c c 22 2 2m _ 因 入= 3 kw0k = 4m2-0,【答案】.(1) e=2. (2)1,、1 22 一， 1n2 或 22m2 成立，所以(*)，11成立即所求m的取值范围为(1, -) U (2, 1)【易错点点睛】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能22【原题】若F1、F2分别为双曲线 -，=1的下、上焦点，O为坐标原点，点P在双曲线的下a2 b2支上，点M在上准线上，且满足 F2O = MP , 丽=入(-FEf-FQ-X入0)

9、.(1)求此双曲 |FF| |FQ|线的离心率；(2)若此双曲线过 N( J3,2),求此双曲线的方程；(3)若过N( 1= e=2.22又(3,2)在双曲线上,(2) 由 e=2,，c=2a,即 b2=3a2.双曲线方程为-y- - - =1.a2 3a23a2=1. TOC o 1-5 h z 22，a2=3.，双曲线方程为 y- -=1.39。，由3/知AB过点主，若轴，即：宅上。此时AB：与3B：不垂直设直线 AB 的方程为 v=kx-3上代入 =LiS(3k-l)x-lSk:x-279=0.39由题知3妙/国且上n,即妙:一且太二：.设交点为心壬顼x；：y”S-Tr B B631/ B-A JL 艮瓦BA , B B =口:即 Xx：-3(x-)-9-yiYz*0.Ti犷此时y ：