高三数学一轮复习正、余弦定理巩固与练习

1、巩固1. （2008年高考陕西卷）AABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, cc=也 b = V6, B=120 ,则 a 等于(a，V6B. 2C. 3_ D. 2解析：选D.由正弦定理得.V60 -TjC， sini20 oinC.、1 sinC=/.又C 为锐角,C= 30 , . A= 30 , ABC为等腰三角形，a=c=.故选D.C所对的边.若A TOC o 1-5 h z .在AABC中，a, b, c分别是角 A, B, =或b=1, ABC的面积为手，则a的值为( 32A. 1B. 2C.3D. 3解析：选 D.由已知得：2bcsinA=2x 1 XcXsin60

2、=岑？ c=2, 则由余弦定理可得：a2=4+1-2X2x 1 Xcos60 =3? a =，3.在 ABC 中，cos2Bcos2A 是 AB 的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选 C.cos2Bcos2A? 1 2sin2B1 2sin2A? sin2BsinB? AB.在AABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若其面1积 S= 4（b2+c2 a2）,则/ A=.解析： 由已知得： ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,又a、b、c成等比数列，且c=2a,则cosB=（1 a.4CN C. 4解析：选Ba,

3、b, c成等比数列,.b2=ac. a2+ c2- b2bcsinA=1（b2+ c2-a2）? b 5 =sinA, 242bc, * 一、 、 一 _.，I.女由余弦7E理可得cosA=sinA? A=答案：4.（原创题）在 ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c, 且满足 a+b+c=&+1, sinA+ sinB=V2sinC,贝U c=;若C = -,则 ABC的面积S=.3解析：依题意及正弦定理得a+b = V2c,且a+b+c=血+ 1,因此 c+，2c=6 +1, c= 1,当 C = M寸，c1 又由 c= 2a, . cosB=2ac=a2 + b22abcosC=a

4、2+b2 ab=1,(a+ b)之3ab= 1.又 a+b=也，因此 23ab= 1,.1 ab=a，3则 AABC 的面积 S= 2abslnC=2x；sln3=害.答案：1言（2009年高考浙江卷）在 ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,且满足cosA= 25（1）求 ABC的面积； 若c=1,求a的值.解：（1）因为。玖=,2A所以 cosA= ZcoS21 =一 4,sinA=5.又由ABAC = 3,得 bccosA= 3,所以 bc=5. ._因此 Saabc = 2bcsinA= 2.由(1)知,bc=5,又c=1,所以b=5,由余弦定理，得 a2 = b2+

5、c2 2bccosA=20,所以 a=2/5B.4练习2.a2+4a2 ac 5a2-2a22ac4a23 =4,（2008年高考四川卷）zABC的三内角A、B、C的对边边长小一5一355 RACsinA sinBsin2B sinBcosB=()5.a= b ,又.a= 2 b,A=2B,，b#0, sinB#0,2cosB5工二. .书=1, . cosB= 4 .故选 B. T3.在 ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、= 2a2 + 2b2+ab,则ABC是（）A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形b、 c,且 2c解析：选 A. 丁 2c2 = 2a2+ 2b2

6、+ab,a2+ b2- c21 , =2ab，.cosC：* =-10. 2ab 4所以 ABC是钝角三角形.故选A.4.在 ABC中，A、B、C所对的边分别为 a、b、c,如果c=3a, B = 30,那么C等于()A. 120C. 90B. 105D. 75解析：选A.依题意由正弦定理得 sinC=J3sinA,又B = 30,33 一 1 . sinC = /3sin(150 C) = cosC + sinC,即一sinC =.tanC= V3.又 0 Ca, .CA=45 ,.C=60 或 120 ,.满足条件的三角形有2个，即m=2.：am = 4.6.在 ABC中，角A、B、C所对

7、的边分别是a、b、c,若b2 + c2-bc= a2,且a=依则角C的值为(A. 45B. 60C. 90D. 120解析：选 C.由 b2+c2bc= a2得 b2+c2a2 = bc,A= 60 .b2 + c2a2 1.cOsA=2bc =2a -. sinA -又6=但一标=弧 .sinB = sinA=2,.B=30 , /.C=180 -A- B=90 .7.在 AABC 中，已知 BC=12,A= 60 ,B=45 ,则 AC =解析：由正弦定理知黑筮, .从鬻汴八孟传二 T2 一 一# 12=也 43 = 46.答案：4V68.在4ABC 中，若 AB = 3, /ABC=75

8、 , /ACB=60 ,则 BC 等于.解析：根据三角形内角和定理知/ BAC= 180 -75 -60 =45 .根据正弦定理得BC AB，_ _ = sinZBAC sin/ACB2口 BC 3, m 3sin45 3X 2 r-即 ,/匚手 公c夕 BC= 公6= 厂 =46.sin45 sin60 sin60 亚 、答案：6_9.在 4ABC 中,AB=2,AC =乖, BC=1+，3, AD为边BC上的高， 则AD的长是.解析：如图由余弦定理得：cosB=22+(1+ 3)2-(，6)2=1?2X2X(1+ 3)2，B =。，故 AD = ABsin3= 2X 岑=3._答案：小10

9、.已知 ABC的周长为 啦+1, 且 sinA + sinB=V2sinC.(1)求边AB的长；1(2)若AABC的面积为6sinC,求角C的度数.解：(1)由题意及正弦定理，得AB+BC + AC=2+1.BC+AC= V2ab,两式相减，得AB= 1.1一 一 一 1 一得 BC AC= 1.3由余弦定理，得cosC =AC2+BC2 AB22AC BC(2)由 4ABC 的面积=BC AC sinC=gsinC,=2,(AC+ BC)2 2AC BC AB2 1 2AC BCC=60 .11. (2009年高考全国卷H)设 ABC的内角A、B、C的对边长3分别为 a、b、c, cos(A

10、C) + cosB = 2，b2=ac,求 B.3 一一解：由 cos(AC) + cosB=2及 B=兀一(A+ C)得 cos(A C) cos(A + C) = 2, 3cosAcosC+ sinAsinC (cosAcosC sinAsinC)= 2,一一3sinAsinC .4又由b2=ac及正弦定理得sin2B= sinAsinC,故 sin2B=3，sinB=-M!c sinB=一岑(舍去)，于是 b=3 b=2又由b2= ac知bw a或bw c,所以B-312. ABC中，角A, B, C对边的边长分别是 a, b, c,且a(cosB + cosC)= b+c.(i)求证:a=2；(2)若 ABC外接圆半径为1,求 ABC周长的取值范围.解：(1)证明：. a(cosB+cosC) = b + ct 口 a2+c2-b2 a2 + b2c2 ,由余弦te理得 a 20+ a 20b= b+ c.整理得(b+c)(