高三数学一轮复习必备精品解三角形

1、20092010学年度高三数学(人教版A版)第一轮复习资料第27讲解三角形一.【课标要求】(1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一 些简单的三角形度量问题；(2)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际 问题。二.【命题走向】对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数 的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题。 今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用 问题考察正弦定理、余弦定理及应用。题型一般为选择题、填空题，也

2、可能是中、难度的解 答题BC三.【要点精讲】.直角三角形中各元素间的关系：如图，在 ABC 中，0=90 , AB=c, AC=b, =a。(1)三边之间的关系：a2+b2=c2。(勾股定理)(2)锐角之间的关系：A+B=90 ;(3)边角之间的关系：(锐角三角函数定义)a sinA= cosB=,c TOC o 1-5 h z bacosA=sinB= , tanA=一。 cb.斜三角形中各元素间的关系:如图6-29,在 ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示 A、B、C的对边。(1)三角形内角和： A+B+ 0=兀。(2)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等口a

3、sin Absin B_ csin C= 2R。(R为外接圆半径)(3)余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余 弦的积的两倍a2= b2+c22bccosA; b2= c2+a22cacosB; c2= a2+b22abcosC。.三角形的面积公式: TOC o 1-5 h z = aha= - bhb= - chc (ha、hb、hc分别表示 a、b、c上的高)； 222八 111 = abslnC= - bcslnA= - acsinB;222222人 a sin Bsin C b sinCsin A c sin Asin B=2sin(B C) 2si

4、n(C A) 2sin(A B)= 2R2sinAsinBsinC。 (R 为外接圆半径)人 abc TOC o 1-5 h z =;4R人一丁。一c/1= qs(s a)(sb)(sc) ； s= (a+b + c)j；I 2；= r s。4.解三角形：由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有 一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地，这里所说的元素还可以包括三角 形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.解三角形的问题一般可 分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形 是斜三角形，则称为解斜三角形解斜

5、三角形的主要依据是：设4ABC的三边为a、b、c,对应的三个角为 A、B、C。(1)角与角关系：A+B+C =兀；(2)边与边关系： a + b c, b + c a, c + a b, a b c, b c b;(3)边与角关系：正弦定理=_=2R ( R为外接圆半径)；s i iA si rB si C余弦定理 c2 = a2+b2 2bccosC, b2 = a2+c22accosB, a2 = b2+c22bccosA;222它们的变形形式有:a = 2R sirA,sir A a 八 b c - a cos A =sir B b2bc5.三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用

6、上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特(1)角的变换因为在 ABC 中，A+B+C=兀，所以 sir(A+B)=sirC ; cos(A+B)= cosC; tar(A+B)= tarC。, AB C A B . C .sir= cos 一 ,cos= sir ;2222(2)三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。面积公式$二虫三%&inC二r* p二JpS9电8-4其申r为三角形内切圆半径，p为周长之半。(3)在4ABC中，熟记并会证明：/A,/B,/C成等差数列的充分必要条件是/B=60 ; ABC是正三角形的充分必要条件是/A, / B, / C成等差数列且a,

7、b, c成等比数列。四.【典例解析】 题型1 :正、余弦定理(2009岳阳一中第四次月考).已知 ABC中，AB = a , AC=b, a b 2.4 +1.4 =3.8, 2M 2X1.8 =3.6, . . a v c ,即 00 v A v 900,A =600.(2)由余弦定理的推论得:b2 c2 -a2cos A =2bcA 球56020,；D c2 a2 -b2cos B =87.82 161.72 -134.620.5543, 2 87.8 161.72ca134.62 161.72-87.82先U.8398,2 134.6 161.7B ： 32053 ；C =180 -(A

8、 B) :180 -(56020 32053) =90047：点评：应用余弦定理时解法二应注意确定A的取值范围。题型2:三角形面积2例 3.在 &ABC 中，sinA+cosA = , AC = 2 , AB = 3,求 tan A 的值和 AABC 2的面积。解法一：先解三角方程，求出角 A的值。2sin A cos A = 2 cos(A -45 )=,1.cos(A -45 )=-.又 0，：A ;180 , . A-45： = 60, A =105：tanA =tan(45； 60) =1 3 =-2 -3 ,1 -一 3一 厂2 6sinA=sin105 =sin(45 60 )=

9、sin45 cos60 cos45 sin60 =4 TOC o 1-5 h z 1、2.63 Sbc = AC 父 AB sin A =黑 2 父3M= (V2 + 4 6)。244解法二：由sinA+cosA计算它的对偶关系式 sinA + cosA的值。2二 sin A +cosA =2 HYPERLINK l bookmark6 o Current Document 21(sin A cos A)=-2 sin Acos A 二 一一20 ； A ； 180 ,. sin A 0, cos A :二 0. , . AA、2，八. 3(sin A - cos A) = 1 - 2sin

10、A cos A =-.2.6 +得 s i A =6得 c 0用=显一加。41A 市 s sin A ,2 .64-从而 tan A = = = -2 - . 3 cosA 4, 2 -，6以下解法略去。点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题。两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？AC 例4. （ 2009湖南卷又）在锐角 AABC中，BC=1,B=2A,则的值等于cos AAC的取值范围为答案 2（. 2, . 3）解析设ZA B =26.由正弦定理得ACBCAC . AC c-,=1- 二2.sin 21 sin 2c

11、oscos由锐角 ABC 得 0匕二 2 ，二 90； = 0：，二 45 ,又。化。：-3日 9030 9 60 ,故 30，0 45,二 cosQ ,22.AC =2cos9 (、,2,、,3).例5. （2009浙江理）（本题满分 14分）在AABC中，角A, B,C所对的边分别为 a, b, c ,.一 A 2 5 1且满足 cos,=管,AB AC = 3 .(I)求MBC的面积； (II)若b+c = 6,求a的值.A 2、5(1)因为 cos一 =,252 A34Tr -，cosA = 2cos 一 一1 =一 ,sin A =,又由 AB AC = 32551 .得 bc co

12、s A = 3,，. bc = 5 ,二 S&BC = bcsin A = 2(2)对于 bc=5,又 b+c=6, J. b=5,c = 1或 b = 1,c=5,由余弦定理得a2 = b2 c2 - 2bc cos A = 20 , a = 2 5例6. （2009全国卷I理）在 AABC中，内角A、B、C的对边长分别为 a、b、c ,已知22a -c = 2b ,且 sin AcosC =3cos Asin C,求 b22分析：此题事实上比较简单，但考生反应不知从何入手.对已知条件（1）a -c = 2b左侧是二次的右侧是一次的，学生总感觉用余弦定理不好处理，而对已知条件（2）sin A

13、cosC = 3cos Asin C,过多的关注两角和与差的正弦公式，甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差，导致找不到突破口而失分.解法一：在 MBC中sin AcosC =3cosAsin C,则由正弦定理及余弦定理_222.2(a c ) = b .又由已知a2 b2 c2b2 c2 a2,有：a住一 =3 1c,化简并整理得: TOC o 1-5 h z 2ab2bca2 -c2 =2b. 4b =b2.解得 b =4或b = 0(舍).解法二：由余弦定理得：a2c2 = b22bccos A.又 a2c2 = 2b ,b / 0 .所以 b=2ccosA+2又 sin AcosC

14、 =3cos Asin C ,二 sin AcosC + cos Asin C = 4cos Asin Csin（ A+C） =4cos Asin C ,即 sin B =4cos Asin Cb .由正弦te理得sin B =2sin C ,故b =4ccosAc由，解得b =4.评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练题型4:三角形中求值问题B C例7. AABC的二个内角为 A、B、C ,求当A为何值时，cos A+2cos取得最大2值

15、，并求出这个最大值。解析：由 A+B+C=兀，得B+C=-|- -A,所以有 cosB+C =sinpcosA+2cos.2c =cosA+2sin2=12sin2 2 + 2sin2 = 2（sin2 ：）2+ 2；当sinA = 1,即A=。-时，cosA+2cosB+C取得最大值为 日。 22322点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三 角函数的性质求得结果。例8. （2009浙江文）（本题满分 14分）在AABC中，角A, B,C所对的边分别为a,b,c ,“ A 2 5且满足 cosA=35, AB AC =3.25(I)求MBC的面积;(II)

16、若c=1,求a的值.解(I) cos A = 2 cos2 A_i=2 (25)2一1=3255又 A w (0, n) , sin A =，1 - cos2 A = 4 ,而 AB.AC =5,一11bc=5,所以AABC的面积为： bcsinA=父5乂22(n)由(I)知 bc =5 ,而 c=1 ,所以 b =5所以 a = Jb2 c2 -2bccosA = +25 1 -2 3 =2.5AB. AC .cosA =3. 一bc = 3,所以5点评：本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的 公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力 题型5:三角形中的三角

17、恒等变换问题例9.在4ABC中，a、b、c分别是/ A、/ B、/ C的对边长，已知 a、b、c成等比数歹U, 且a2c2=acbc,求/ A的大小及bsnB的值。分析：因给出的是ca、b、c之间的等量关系，要求/A,需找/ A与三边的关系，故可用余弦定理。由b2=ac可变形为-=a,再用正弦定理可求解法一：.a、cb、c成等比数列，. b2=ac。回卫的值。c又 a2c2=acbc,，b2+c2a2=bc。在ABC中，由余弦定理得:.22“ b ccosA=2bc此=1, .A=60 。2bc 2在4ABC中，由正弦定理得.bsin B b2sin 60- =sin60c解法二：在4acAB

18、C 中,bsin A 2/ osinB=, . b =ac, / A=60 ,a3 =2由面积公式得1 bcsinA= 1 acsinB。22 b2=ac, / A=60 , bcsinA=b2sinBo,bsin B3 =sinA=。2评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用 正弦定理。A 例10.在 ABC中，已知A、B、C成等差数列，求tan 十2,C iA, Ctan +43 tan tan 的值。解析：因为A、B、C成等差数列，又 A+B+0=180 ,所以A+C=120 ,A C从而=60 ，故tan2A C=- 3 .由两角和的正切公式,2A

19、. C tan tan 一 得 2八2/3o TOC o 1-5 h z AC- tan tan2：/3 tan tan , 22AC所以 tan tan 一 = . 3 -22,A , CA,C-tan tan 3 tan tan = , 3。2222点评：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解，同时结合三角变换公式的逆用。题型6:正、余弦定理判断三角形形状例11 .在 ABC中，若2cosBsinA=sinC,则4 ABC的形状一定是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形答案：C解析：2sinAcosB= sin (A+B)

20、+ sin (A B)又2sinAcosB= sinC,.sin (A B) = 0, .1. A= B点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径例12. (2009四川卷文)在AABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b c,且sinA=JsinB=0510(I)求A + B的值；(II)若 a b = J2 -1 ,求 a、ts c 的值。解(I) A、B为锐角,5.10sin A = ,sin B =510，cosAiFI一述 cosB=，= TOC o 1-5 h z 5102.5 3 10.5. 102cos(A B)

21、 = cos Acos B -sin Asin B = 二5105102冗 A B =4(II)由(I)sin C = 22, a由sin Asin Bc得 sin C75a = 00b =夜c,即 a= -；2b,c =，/5b又 ab =、.21、2b - b = 2- 1b =1题型7:正余弦定理的实际应用例13. （2009辽宁卷理）如图,A,B,C,D都在同个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D角分别为75, 300,的仰角均为60, AC=0.1km。试探究图中B,于水面C处测得B点点的仰D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B, D的

22、距离（计算结果精确到 0.01km, 72球1.414, 爬 上2.449）解:在 ABC 中，/ DAC=30 , Z ADC=60 -Z DAC=30,所以 CD=AC=0.1 又/BCD=180 60 60 =60,故CB是ACAD底边AD的中垂线，所以 BD=BA ,在4ABC中,ABACsin ZBCAsin /AB C 即 AB=sin 15ACsin603：2 f 6203J2 、：6因此，BD=七六皿33。故B, D的距离约为0.33km。点评：解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，

23、只要掌握基本知识、 概念，深刻理解其中基本的数量关系即可过关。（2） （ 2009宁夏海南卷理）（本小题满分 12分）为了测量两山顶 M, N间的距离，飞机 沿水平方向在 A, B两点进行测量，A, B, M, N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A, B间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；用文字和公式写出计算M, N间的距离的步骤 4:一.口 R 解：方案一：需要测量的数据有：A点到M, N点的俯角；B点到M,-1, 1N的俯角,且；A , B的距离d （如图所示）第一步：计算 AM .由正弦定理 AM = dsin2sin

24、（二 1 二二2）第二步：计算AN .由正弦定理AN 二d sin ：2sin（ & - ：i）第三步：计算 MN.由余弦定理MN = AM 2 AN2 -2AM AN cos（： 1 - -1）.方案二：需要测量的数据有:A点到M, N点的俯角叫 , P1M , N点的府角u2 , P2 ； A, B的距离d （如图所示）.第一步：计算BM .由正弦定理BMsin（1 1 匕 2）第二步：计算BN .由正弦定理BN =sin（ & - :i）第三步：计算 MN.由余弦定理 MN =JBM2 + BN2 -2BM x BN cos(P2+a2) 21. （2009四川卷文）在AABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,口, 5、1010且 sin A =,sin B =(I)求A + B的值;(II)若 a b = J