高中数学回归分析的基本思想及其初步应用

1、3.1 回归分析的基本思想 及其初步应用课标要求:1.了解残差平方和、相关指数R2的概念.2.了解回归分析的基本步骤.3.会用残差平方和与相关指数R2对回归模型拟合度进行评判.4.了解简单的非线性回归分析方法.素养达成:通过残差分析的学习,使学生养成了建模能力、数据分析处理能力等.问题一：线性回归模型课本 例题1练习册P58例1、训练1-1练习册P58例2、训练2-1问题三：非线性回归方程（与回归直线的联系）课本P87例2 练习册P59例3、训练3-1温故知新两个变量的关系不相关相关关系函数关系线性相关非线性相关函数关系中的两个变量间是一种确定性关系。相关关系是一种非确定性关系。自变量取值一定

2、时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。1、定义： 1）：相关关系是一种不确定性关系；注对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析。2）：2、现实生活中存在着大量的相关关系。 如：人的身高与年龄； 产品的成本与生产数量； 商品的销售额与广告费； 家庭的支出与收入。等等负相关正相关例1、某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示.编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重.解：1、选取身高为

3、自变量x，体重为因变量y，作散点图：2、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。根据最小二乘法估计 和 就是未知参数a和b的最好估计，于是有所以回归方程是所以，对于身高为172cm的女大学生，由回归方程可以预报其体重为 探究P4：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是，你能解析一下原因吗？ 样本点呈条状分布，身高和体重有较好的线性相关关系，因此可以用回归方程来近似的刻画它们之间的关系.解：散点图：3、从散点图还看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是在一条直线上，所以不能用一次函数y=bx+a简单描述它们关系。 我们

4、可以用下面的线性回归模型来表示：y=bx+a+e，其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差。思考P3产生随机误差项e的原因是什么？思考P3产生随机误差项e的原因是什么？随机误差e的来源(可以推广到一般）：1、其它因素的影响：影响体重 y 的因素不只是身高 x，可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素；2、身高 x的观测误差。 线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项e，因变量y的值由自变量x和随机误差项e共同确定，即自变量x只能解析部分y的变化。 在统计中，我们也把自变量x称为解析变量，因变量y为预报变量。残差数据点和它在回归直线上相应位置的差异 称为相应于点（xi，yi ） 的残差

5、。例：编号为6的女大学生，计算随机误差的效应（残差）残差平方和 把每一个残差所得的值平方后加起来，用数学符号表示为：称为残差平方和在例1中，残差平方和约为128.361。表1-4列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。残差分析与残差图的定义： 我们可以通过残差 来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析。编号12345678身高165165157170175165155170体重/kg4857505464614359残差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382 我们可以利用图形来分析残差特性，作

6、图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图。残若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域；对于远离横轴的点，要特别注意。身高与体重残差图异常点 错误数据 模型问题 几点说明： 第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。 另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。我们可以用相关指数R2

7、来刻画回归的效果，其计算公式是显然，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。R2越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1，表示解析变量和预报变量的线性相关性越强） 如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2的值来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。总的来说：相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力。一般地，建立回归模型的基本步骤为：（1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。（2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）。

8、（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y=bx+a）.（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。例2、在一段时间内，某中商品的价格x元和需求量Y件之间的一组数据为：求出Y对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。价格x1416182022需求量Y1210753解：例2、在一段时间内，某中商品的价格x元和需求量Y件之间的一组数据为：求出Y对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。价格x1416182022需

9、求量Y1210753列出残差表为0.994因而，拟合效果较好。00.3-0.4-0.10.24.62.6-0.4-2.4-4.4相关指数越大，效果越好残差平方和越小，效果越好探索无止境 小结1.残差平方和与模型拟合效果关系：2.相关指数与模型拟合效果关系1.2.3循环语句新课标高二数学 选修2-33.1回归分析的基本思想及其初步应用（二）复习回顾1、线性回归模型：y=bx+a+e， (3)其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差。y=bx+a+e，E(e)=0,D(e)= (4) 2、数据点和它在回归直线上相应位置的差异 是随机误差的效应，称 为残差。3、对每名女大学生计算这个差异，然后分别

10、将所得的值平方后加起来，用数学符号表示为： 称为残差平方和，它代表了随机误差的效应。4、两个指标：（1）类比样本方差估计总体方差的思想，可以用作 为 的估计量， 越小，预报精度越高。（2）我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其 计算公式是： R2 1，说明回归方程拟合的越好；R20，说明回归方程拟合的越差。表3-2列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。 在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用回归模型来拟合数据。5、残差分析与残差图的定义： 然后，我们可以通过残差 来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作

11、称为残差分析。编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359残差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382 我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图。残差图的制作及作用1、坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；2、若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域；3、对于远离横轴的点，要特别注意。身高与体重残差图异常点 错误数据 模型问题 几点说明： 第一个样本点和第6个样本

12、点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。 另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。6、注意回归模型的适用范围：（1）回归方程只适用于我们所研究的样本的总体。样本数据来自哪个总体的，预报时也仅适用于这个总体。（2）模型的时效性。利用不同时间段的样本数据建立的模型，只有用来对那段时间范围的数据进行预报。（3）建立模型时自变量的取值范围决定了预报时模型的适用范围，通常不能超出太

13、多。（4）在回归模型中，因变量的值不能由自变量的值完全确定。正如前面已经指出的，某个女大学生的身高为172cm，我们不能利用所建立的模型预测她的体重，只能给出身高为172cm的女大学生的平均体重的预测值。7、一般地，建立回归模型的基本步骤为：（1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。（2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）。（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y=bx+a）.（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过

14、大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。例1 在一段时间内，某中商品的价格x元和需求量Y件之间的一组数据为：求出Y对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。价格x1416182022需求量Y1210753解：例1 在一段时间内，某中商品的价格x元和需求量Y件之间的一组数据为：求出Y对的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。价格x1416182022需求量Y1210753列出残差表为0.994因而，拟合效果较好。00.3-0.4-0.10.24.62.6-0.4-2.4-4.4案例2 一只红铃虫的产卵数y和温度x有关。现收集了7组观测数据列于表中：（1

15、）试建立产卵数y与温度x之间的回归方程；并预测温度为28oC时产卵数目。（2）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？ 温度xoC21232527293235产卵数y/个711212466115325非线性回归问题假设线性回归方程为 ：=bx+a选 模 型由计算器得：线性回归方程为y=19.87x-463.73 相关指数R2=r20.8642=0.7464估计参数 解：选取气温为解释变量x，产卵数 为预报变量y。选变量所以，一次函数模型中温度解释了74.64%的产卵数变化。探索新知画散点图050100150200250300350036912151821242730333639方案

16、1分析和预测当x=28时，y =19.8728-463.73 93一元线性模型奇怪？9366 ?模型不好？ y=bx2+a 变换 y=bt+a非线性关系 线性关系方案2问题选用y=bx2+a ，还是y=bx2+cx+a ？问题3 产卵数气温问题2如何求a、b ？合作探究 t=x2二次函数模型方案2解答平方变换：令t=x2，产卵数y和温度x之间二次函数模型y=bx2+a就转化为产卵数y和温度的平方t之间线性回归模型y=bt+a温度21232527293235温度的平方t44152962572984110241225产卵数y/个711212466115325作散点图，并由计算器得：y和t之间的线性

17、回归方程为y=0.367t-202.543，相关指数R2=0.802将t=x2代入线性回归方程得： y=0.367x2 -202.543当x=28时，y=0.367282-202.5485，且R2=0.802，所以，二次函数模型中温度解释了80.2%的产卵数变化。t问题 变换 y=bx+a非线性关系 线性关系问题如何选取指数函数的底?产卵数气温指数函数模型方案3合作探究对数方案3解答温度xoC21232527293235z=lny1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784产卵数y/个711212466115325xz当x=28oC 时，y 44 ，指数回归模型中温度

18、解释了98.5%的产卵数的变化由计算器得：z关于x的线性回归方程为 对数变换：在 中两边取常用对数得令 ，则 就转换为z=bx+a.相关指数R2=0.98最好的模型是哪个? 产卵数气温产卵数气温线性模型二次函数模型指数函数模型比一比函数模型相关指数R2线性回归模型0.7464二次函数模型0.80指数函数模型0.98最好的模型是哪个?回归分析（二）则回归方程的残差计算公式分别为：由计算可得：x21232527293235y7112124661153250.557-0.1011.875-8.9509.230-13.38134.67547.69619.400-5.832-41.000-40.104-58.26577.968因此模型（1）的拟合效果远远优于模型（2）。下面模型(1)(2)分别是前面的指数和二次函数模型：总 结 对于给定的样本点两个含有未知参数的模型：其中a和b都是未知参数。拟合效果比较的步骤为：（1）分别建立对应于两个模型的回归方程与 其中 和 分别是参数a和b的估计值；（2）分别计算两个回归方程的残差平方和与（3）若 则 的效果比 的好；反之， 的效果不如 的好。练习：为了研究某种细菌随时间x变化，繁殖的个数，收集数据