高等数学上册6-2几何应用1

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1、四、旋转体的侧面积 (补充)三、已知平行截面面积函数的立体体积第二节一、平面图形的面积二、平面曲线的弧长机动目录上页下页返回结束定积分在几何学上的应用第六章一、平面图形的面积1. 直角坐标情形设曲线与直线及 x 轴所围曲则机动目录上页下页返回结束边梯形面积为 A ,右下图所示图形面积为例1. 计算两条抛物线在第一象限所围所围图形的面积 . 解: 由得交点机动目录上页下页返回结束例2. 计算抛物线与直线的面积 . 解: 由得交点所围图形为简便计算, 选取 y 作积分变量,则有机动目录上页下页返回结束例3. 求椭圆所围图形的面积 .

2、解: 利用对称性 , 有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当 a = b 时得圆面积公式机动目录上页下页返回结束一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程给出时,按顺时针方向规定起点和终点的参数值则曲边梯形面积机动目录上页下页返回结束例4. 求由摆线的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .解:机动目录上页下页返回结束 2. 极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积 .在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为机动目录上页下页返回结束对应从 0 变例5. 计算阿基米德螺线解:点击图片任意处播放开始或暂停机动目录上

3、页下页返回结束到 2 所围图形面积 . 例6. 计算心形线所围图形的面积 . 解:(利用对称性)心形线目录上页下页返回结束心形线(外摆线的一种)即点击图中任意点动画开始或暂停尖点: 面积: 弧长:参数的几何意义三、已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), 则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为机动目录上页下页返回结束上连续,特别 , 当考虑连续曲线段轴旋转一周围成的立体体积时,有当考虑连续曲线段绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有机动目录上页下页返回结束例13. 计算由椭圆所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的体积. 解: 利用直角坐标方程(利用对称性)则机动目录上页下页返回结束例14. 计算摆线的一拱与 y0所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .解: 绕 x 轴旋转而成的体积为利用对称性机动目录上页下页返回结束内容小结1. 平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程直角坐标方程上下限按顺时针方向确定机动目录上页下页返回结束机动目录

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