高一数学集合与简易逻辑综合知识精讲

1、高一数学集合与简易逻辑综合【本讲主要内容】集合与简易逻辑综合集合、子集、交集、并集、补集等概念，绝对值不等式、一元二次不等式的解法，简易 逻辑。【知识掌握】【知识点精析】.集合：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合；.子集：一般地，对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合 B的元素，我们就说集合A包含于集合B,或集合B包含集合；.交集：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做 A, B的交集；.并集:一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做 A, B的并集；.补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集(即 A J S),由S中所有不属于

2、A的元素组成的集合，叫做 S中子集A的补集(或余集)；. x 0)的解集是。 &|xxa(a A0)的解集是x|xaxb 0 ,那么Va Vb 剖析：运用反证法证明这道题时，怎样进行反设？Q Tb的反面是否仅有 Va /b ?证明：假Ja不小于 Jb ,则或者 ,与 q b , 或者 .a = . b当 Va 0,b 0 ,所以 UaA0,Jb0在后Vb的两边都乘以 a得 va 7 a m Ja 7b, a Jab在i/a Vb的两边都乘以 Vb得 而 Va Vb 7b , vab b所以a :二b这与假设a Ab矛盾，所以 Va =加/一修+的图像全在1轴上方八 二4O0（洲4。A = w

3、-4ws 0注：这里“朋的取值范围：。那- 2, B= x| TOC o 1-5 h z 2x 21,求 CrAb。解：由已知lo g 1 (3 x) lo g 1 4,因为y=log1x为减函数，所以 3-x4 222,3-x 4 .由，,解得一1 Wx3.所以 A=x| 1Wx0由5- 1可化为5 _(x +2)至0n 3 - x至2 HYPERLINK l bookmark12 o Current Document x 2x 2x 21(x -3)(x +2)解得2xW3,所以 B=x| -2x3 x +2 #0于是 Cr A =x| x3 故CRAnB =x| - 2x1 或 x= 3

4、评述：本题主要考查集合、对数性质、不等式等知识，以及综合运用知识能力和运算能 力。例5.( 04潍坊市统考)已知函数 f (x) = x 2+ (a+1) x+lg | a+2 |(AC R,且 aw-2 )(1)设f (x)能表示成一个奇函数g (x)和一个偶函数 h (x)的和，求g (x)和h(x)的解析式；(2)命题P：函数f (x)在区间(a+1) 2, +00上是增函数；命题 Q函数g (x)是 减函数。如果命题 P、Q有且仅有一个是真命题，求 a的取值范围。解：(1)因为 f (x) = x 2+ (a+1) x+lg I a+2 | = g (x) + h (x)而g (x)是

5、奇函数，满足 g (-x) = - g (x)h (x)是偶函数，满足 h (-x) = h (x)所以 g (x) = ( a+1) x, h (x) = x 2+lg | a+2 |若命题P为真，则命题 Q假，有2M(a 1)2解得a - -1a 1 _0若命题Q为真，则命题P假，有a +1-22(a 1)2a +1 0r3综上得：a -2评述：任何一个非奇非偶函数都能表示成一个奇函数和一个偶函数的和。【综合测试】一、选择题(本大题共 6小题，每小题5分，共30分) TOC o 1-5 h z (2002北京，1)满足条件 MU 1=1 , 2, 3的集合M的个数是()A. 4B. 3C.

6、 2D.1(1999全国，1)如图1, I是全集，M P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示 的集合是()a. (Mn P)n sc. (Mn P)n csB. (MA P) u SD. ( MT P) u CS3.(1996上海，1)已知集合那么集合Mn n为()M= (x, y) | x+y=2, N= (x,x y = 4,x =3, y=1(3, 1)C.3 , - 1D. (3, 1) . 一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中（）A.真命题的个数一定是奇数B.真命题的个数一定是偶数C.真命题的个数可能是奇数也可能是偶数D.上述判断都不正确. （1996上海文，6）若y=

7、f （x）是定义在 R上的函数，则y = f （x）为奇函数的一个 充要条件为（）A. f （x） = 0B.对任意xCR, f （x） =0都成立C.存在某点 xCR,使得 f （x。）+f （x。）= 0D.对任意的xCR, f （x） +f （ x） =0都成立.（1995上海，9） “ab0”是“方程ax2+by2=c表示双曲线”的（）A.必要条件但不是充分条件B.充分条件但不是必要条件C.充分必要条件D.既不是充分条件又不是必要条件二、填空题(本题共 4小题，每小题5分，共20分).设 T= (x, y) |ax+y-3 =0, S= (x, y) |x-y-b = 0。若 SA T

8、= (2, 1) ,则 a =, b =o. (2002上海春，3)若全集I = R, f (x)、g (x)均为x的二次函数，P= x|f (x) f(x)0,则不等式组, 的解集可用P、Q表布为。、g(x)0. （2000上海春，12）设I是全集，非空集合 P、Q满足 屋盅I。若含P、Q的一个集合 运算表达式，使运算结果为空集 0 ,则这个运算表达式可以是 （只要写出一个 表达式）。图210.(1999 全国,18) “、3是两个不同的平面，rn n是平面”及3之外的两条不同直线，给出四个论断:mln n, 3 m a以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：

9、 三、解答题（本大题共 4题，共50分）.已知 A= x|x 2-ax+a2-19 =0, B= x|x 2-5x+8 =2, C= x|x 2+2x-8 =0。若 0 至 An B,An C= 0 ,求a的值。（13分）.解不等式2 4 ？-21-1卜7。（12分）.解关于工的不等式期T （溺eR）。（12分）.已知幺=卜1 + + 2）工+ 1 = 0,工6火,且MR* = 0，（=卜工E凡且X0），求实数p的取值范围。（13分）参考答案 HYPERLINK 、选择题(本大题共 6小题，每小题5分，共30分)C提示：上2 , 3或岫1 , 2, 3C提示：由图知阴影部分表示的集合是Mn p

10、的子集且是cs的子集，故答案为c。D、，、 x+y =2,L x =3 ,提示：方法一：解方程组 ，得 故MA N= (3, 1),所以选D。x -y =4,J = -1方法二：因所求 Mn N为两个点集的交集，故结果仍为点集，显然只有D正确。B提示：一个命题与它的逆否命题同真同假。D提示：由奇函数定义可知：若 f (x)为奇函数，则对定义域内任意一个 x,都有f ( x) =f (x),即 f ( x) +f (x) =0,反之，若有 f (x) +f ( x) = 0,即 f (x)= -f (x),由奇函数的定义可知 f (x)为奇函数。A22提示：如果方程ax2+by2=c表示双曲线，

11、即2十匕=1表示双曲线，因此有 0, c ca ba b即ab0。这就是说“ ab0”是必要条件；若 ab0, c可以为0,此时，方程不表示双曲线， 即ab0的解集为Q,所以g (x) 0的解集为CQ,因此f(x)”0的解集为 &(x)0pn cq.答案：Pn CQ解析：阴影部分为 CQ (如下图)显然，所求表达式为 CQn p= 0 ,或 CCT ( Qn P)或 CQn (QU P) = 0。.答案：二三、解答题(本大题共4题，共50分).解：. B= x| (x-3) (x-2 ) =0 = 3, 2, C=x| (x+4) (x-2) =0=-4 , 2,又_AA B,.AA Bw又

12、An c= 0 ,.可知-4 更 A, 2 正 A, 3C A .由 9-3a+a 2-19 = 0, 解得a = 5或a= -2当 a= 5 时，A= 2 , 3,此时 AA C= 2 w 0 ,矛盾, aw5;当 a=-2 时，A= -5 , 3,此时 AA C= 0 , AA B= 3 w 0 ,符合条件综上知a=-2。.解：解法一 原不等式等价于卜，-2372 aI 广0(1)了- 2x -1 -7, / - 24-1 -2,解（I）,得 -2NT ,或 3M4。解（n）,得解集为空集。所以，原不等式的解集为,1,.:。13.解：若2阴-100 ,即mM ,则|2彳- 2加恒不成立，此时原不等式无解；若 2附T。，即 mW1,则-（2 也 T） 2lT 2阴 7 ,所以 1-mxm2综上，当 m工工时，原不等式的解集为 0;当 mA。时，原不等式解集为 22工1一加工冽14.解：由力|/=0