2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及解析

1、2012全国硕士研究生入学考试数学(一)试题、选择题：1S小题壬每小题4井，共垃分一下列歸题给出的四个选项中，只有T个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答艇駐旨定位蛊上2(1曲线歹二上二上渐近线的条数()1(A)0(B)1(C)2(D)3(A)1厂】(旳1)!(1)气理1)!(O丹hl1)理！(3如果函数/(X?y)在(山2处连续，那么下列命题正确的是(g若极限1血育H+存在，则f(x,y)在純0)处可徽f(龙y(B)若极限lini巳存在，则/(x3y)在3处可撒P*+尹亠1-*0ffx卩)(O若/(x5y)在gQ处可徽，则极限lim-在胃IEf(工yg若f(x,y)在go)处可臥则极

2、限lini角在工兰jT+jTY-*0丿(D)z2w设几=髒smxdx(A=1,2,3)则有Ig乩JO(A)II27，(B)7,I】L(QI.I意常数，则下列向重组线性相关的为()(A)说，他，碗(B)flba：;fid(C)氐：业(D)他，ct头偽0010一若卩=(%对,0Ta化)设貝为3阶拒阵，P为3阶可逆矩阵，p-AP=06=(1+冬，冬,冬).则發山0=()CD)-1100广10(P20f20(P(A)020(B)010(Q010(D)0200b02丿卫02,0b.7)；设随机变量X与1f相互独立，且分别服从参数为1与参数为斗的指数分布，则P(X0sy0.z0,则|天处=.设X为三维单位

3、向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵EXX的秩为(14)设45C杲随机事件，A,C互不相容，P(4B)二丄(C)=1，则 HYPERLINK l bookmark0 23PABC)=.三、解答题：623小题，共94分，请将解答写在答题纸指走位置上.1+(-1X1)1x2(16)本题满分分)rr+X求函数/(心)=壮一一亍一的极值EM本题満分旅EM本题満分旅B求幕级数工4厂+4?+2丫加的收敛域及和国数2w+lTOC o 1-5 h z：-18)体题满分：分)fx=f(t)兀已知曲线E：(0/-X,其中函数f(0具有连续导数，H.f(0)=0；j=cost257厂沁叶*若曲线的切线与x轴的交点到切点距

4、禽值恒为L求函数八0的表达式,并求此曲线与X羅无边界的区域的面积TOC o 1-5 h zU9)(本题满分分)已知丄是第一象限中从点(0典沿図剖工+丁=】工到点鸿沿圆羔工+丁4到点0,2%的曲线段,计算曲线积分7=|3x2ydx+(x-Fx-2y)dy20)(本题满逢分)-101a001a已知範001口00(O计算行列式:AJ当实数&为何值时，方程组Ax=p有无穷多解，并求其通解(21)(本题满好分)已知且=匚次型/(jq，也，也)二+(ATA)x的秩为2,-1求实数丘的值亍求正交变换5将f化为瞇型)(本题满分分)设二维宫散型随机变董疋、y的概率分布为012014014101亍02112011

5、2求PX=2Y,(II)求Cov(X-YJ).(23)本题满分分设随机娈量y相互独立且分别服从正态分布N（比cF）二JV（比2cH），其中。杲未知参数且O0o1&Z=X-Y.0，可得f(t)e在(0,兀)上严格单调增加，可得f(1)VfVf，故答案为(A)方法二：由定积分的几何意可得I30,Iv12V0,故答案为（A）。(0)(0)(1)(-1)5、设3=0,a=721,a=丁3-1,a=7411C1丿IC3丿IC4丿)a,a,a；rr4列向量组线性相关的是(A)a1?a2,a3；(b)其中C,c2,c3,c4为任意常数，则下0解：(C):Ia,a,a1=0134c11-1c32-11c4(C

6、)a,a,a；r4(D)a2，a3，a4。(C。6、设A为3阶矩阵，=11-1-11故吟吟茫线性相关,可得答案为阶可逆矩阵，且P-1AP=P=(a,a2,a3),Q=(a1+a2,a2,)1122_(A)29(B)19(C)19(D)21_22_1_j00_100_解：（B)Q=P110aQ-1=-110P-1,001001O123则Q-1AQ=(a3)Q-1AQ=-110P-1AP_001100Q-1AQ=-110_0011100110011110=-11110=1200120012故答案为（B）97、设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为1和参数为4PXVY=（）的指数分布，则n=0（

7、A）5；1(B)3；(c)25(D):由题意得X与Y的概率密度分别为fx（x）=-4yy0y0其它0，则PXvY=fJf（x,y）dxdy=J+4e-4ydyye-xdxj+4e-4y（1-e-y）dy=e-4y+5e-5捫=5，故答案为0000505（A。8、将长度为1m的木棒随机的截成两段，则两段长度的相关系数为（(A)1；（B）2；（C）一2；（D）-1解（D:设两段长度分别为X和Y，则Y1X，可得相关系为-1，故答案为（D）二、填空题：9-14，共6题，满分24分请将答案写在答题纸指定的位置上。9、若函数f(x)满足方程f(x)+f(x)一2f(x)0及f(x)+f(x)2ex，则f(

8、x)。解:ex:f(x)+fx)一2f(x)0的特征方程为r2+r-20解得r1,r=-2，12可得通解为：f(x)=Cex+Ce-2x，代入f(x)+f(x)=2ex得f(x)=2C1ex一C-2x=2ex，可得1212C1,C001210、J2xv2x-x2dxof2xv2x-x2dx=J2xv1-(x-1)2dx，令tx-1,00故可得答案为ex0解：专J2xv2x-x2dxJ1(t+1X1-12dx由对称性得J2xJ2x-x2dxlf/1-12dx，再令tsinu00J2xV2x-x2dx念coudu=2-f马一马。00222口、grad(xy+y)i(2s=o解：(1,1,1)或i+

9、j+k:令F(x,y,z)(xy+y)，则Fy,Fx-手,F1，可yxyy2zy得grad(xy+令)111)(F,F,F)11(y,x-手,1)111)(1,1,1)oy(2,1,1)xyz(2,1,1)y2y(2,1,1)12、已知曲面s=(x,y,z)lx+y+z1,x0,y0,z0，则JJy2dSos解：弟:由曲面可得cosy-寺，向xOy面投影，可得Dxv(x,y)Ix+y0,y0，则Uy2dS=Jfy2=.3fjydxdy=阳丿1dyJiyidx3J1y2(1-y)dy=浮TOC o 1-5 h zLDCOSYD0001213、设x为三维单位向量，E为阶单位矩阵，则矩阵E-xx的秩

10、为。解：2:因为x为三维单位向量，则R(xxt)=1，且(xxt)x=x(xtx)=x，可得xxt的特征值为0,0,1，故E-xxt的特征值为1,1,0，且E-xxt这实对称矩，必可对角化，其秩等于非零特征值的个数。设A,B,c是随机事件，A,c互不相容，p(AB)=2,p(C)=3，则P(ABC)=。解：3:P(ABC)=P(ACC)，而P(C)=1-P(C)=2，A,C互不相容可得P(ABC)=0,P(ABC)=P(AB)一P(ABC)=言-P(ABC)=*，可得P(ABC)=3三、解答题：15-23,共9题，共94分，将解答写在答题纸指定的位置上，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤。

11、2，其中一1vxv1。%，当-1vxv1时，f(x)可导，且f(0)=0一sinx一x=xIn吐工+x1+x2一sinx1一x1一x2(本题10分)、证明：x一三+cosx1+x2证明：令f(x)=xIngx+COSx-1-f(x)=加驻兰+x-戸-1一x+1+x1一x1+x(1-x)2(1)当01，1+:21,ln|+x0,x一sinx0，贝1可得当0In1+x+x-sinx0，1x即当0f(0)=0，可得xInjx+cosx1+号；2)当1vxv0时，显然0vv1，1+x21Jnv0,x1+x2sinxvx一sinxv0可得当一1vxv0时，f(x)v加1一+xsinxv0，即当1vxv0

12、时，f(x)单调减少，f(x)f(0)=0，可得xln|x+cosx1+号；由(1)和(2)可得当1vxv1时，x+cosx1+%。(本题10分)、求f(x,y)=ex-x2；y2的极值。解：先求函数的驻点，f0，而A=1v0，故可得f(x,y)在点(e,0)处取得极大值f(e,0)=%。17(本题10分)求幂级数4ini+1+3x2n的收敛域与和函数。解:limIu(x)l=limn1笃土3兀2“I=limn2nx2n=x21，可得-1vxv1ngmgnmg当x=1，可得级数n：+n+3，显然发散，故收敛域为-1x1，且s(。)=3；n=0 x2n=艺(2n+1)x2n+Ex2n+x2n=S

13、(x)+S(x)2n+112n=0n=0n=0，可艺4n2+4n+3x2=另(2n+】)2+2n=02n+12n_2n+1n=0sx)=另(2n+1)x2nn=0IxS(t)dt=Sjx(2n+1)t2ndt=送12n+1lx=另x2n+1=x另(x2)n=，TOC o 1-5 h z0n=00n=0n=0n=0*2即s1(x)=(点)=毘；xs(x)=2上Jx2n+122n+1n=0 xs2(x)=2另(2n1x2n+1)=2Sx2n=2S(x2)n=】,n=0n=0n=0可得xs(x)=Jx1-2dt=2arctanx，可得当x丰0时，s(x)=2arCanx2。丄122xc._I1+x2

14、,2arctanx*?(11、且*04n2+4n+3卜+x?(1,1)0则建4n2J巴十3x2n=(1-x2)2x2n+1i3n=0f318(本题10分)、已知曲线L:tx=f(?(0?tp，其中f(t)有连续导数，且f(0)=0，iy=cost2当0t0，若曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离恒为1，求f(t)的表达式，并求此曲线L与x轴、y轴无边界区域的面积。解：(1、设P(x,y)=(f(t),cost)为L上的任意一点，可得切线斜率为dx=dt懐=_,可得过点P(x,y)的切线方程为Y-cost=-f(r)(X-f(t)，令丫=0，可得X=f(t)-cost+f(t)，由于曲线L的切线

15、与x轴的交点到切点的距离恒为1,故有f*(t)-cost+f(t)f(t)2+cos21=1化简得f(t)=sect-cost，解得f(t)=ln|sect+tan11-sint+C,代入f(0)=0得C=0，则f(t)=ln|sect+tan11-sint，0?t斗；2(2)曲线L与x轴、y轴无边界区域的面积为：S=J2ydx=J2cost-f*(t)dt00=J2cost-(sect一cost)dt=J2(1cos21)dt=J2dt一J2cos2tdt=耳一1耳兀000022219(本题10分)、计算曲线积分I=63x2ydx+(x3+x-2y)dy,其中L是第一象限中L从点(0,0)沿

16、圆周x2+y2=2x到点(2,0)，再沿圆周x2+y2=4到点(0,2)曲线段。解：圆周x2+y2=2x为圆C，圆周x2+y2=4为圆C?，=2(1+a2)(3+a2)-(1-a)2】-(1-a)2(1+a2)=2(a4+3a2+2a+2)-(a22a+1)(1+a2)=2(1+a2)(3+a2)-(1-a)2】-(1-a)2(1+a2)=2(a4+3a2+2a+2)-(a22a+1)(1+a2)补一直线段L1:x=0,0#y2，令P=3x2y,Q=x3+x-2y显然P=3x2y,Q=x3+x-2y在C、C和L所围闭区域D上具有12丄一阶连续偏导数，且If=3x2,Q=3x2+1，且取为正方向

17、，由格林公式可得I=蝌-=蝌(洋)dxdy+蝌ydy=蝌(3x2+1-3xi)dxdy+02ydyL+LLD抖y2D2=蝌dxdy+y2萼=4鬃D4一20(本题11分)设A=,b=。求IAI；(2)已知线性方程组Ax=b有无穷解，求a，并求Ax1a0001a0001aa001b的通解。解：(1)IA1=1a0=1?01a001(A,b)=轾a00!1犏1a0L-犏01ai-犏0010a00!1a0-01a-a201i-a00!a01a0a31i-0!0：aa4；-a-a2要使方程组=b有无穷解,0!0-10i则(A,b)-11-00011-01100贝q必有1-a4=0,-a-a2=0解得a=

18、-1，犏-10犏10-犏01-犏00011-110i00-10-01-0011丄10i00可得Ax=b的同解0方程组为:X】IX；14xx4-1x4，x44可得=b的通解为x=k21(本题11分)三阶矩阵A=1001100a且二次型f=xtAtAx。(1)求a；型，写出正交变换过程。轾1010a解：(1)A=由K(AtA)=2得0=IBI=IAtAI=骣)-01,kR。桫)11a-1(2)a，B=ata=-1201-a01+a21-a1-a1-a3+a2，At为矩阵a的转置矩阵，已知尺(AtA)=2，求二次型对应二次型矩阵，并将二次型化为标准10100a0a-101+a2a1-a1-a1-a,

19、3+a21+a21-a1-a3+a2+(1a)1+0a21-=a4+2a3+4a2+6a+3=a2(a2+2a+1)+3(a2+2a+1)=(a2+3)(a+1)2，解得(2)当a=-1，2-102-1-21-2IB-1E1=02-12=02-12224-1224-1a=-1；B=AtA=0222247.Z-2211-111-111=-102-12=-102-12=-102-1224-1224-100-12=-l(2-1)(6-l)=06-17.Z/2-41=02=2/3=6；当I1=0时，B-11E=B=0111犏犏11犏犏11,IX1=-X3与1223111犏00卩叹卩叹收顾Bx=0同解，

20、可得特征值I1=0所对应的特征向量为a1=（111）T；犏犏11犏犏01犏犏01x2=x333110|x=x01,则Ix1=-%与(B-2E)x=0同002卩叹卩叹卩叹可得特征值/2=2所对应的特征向量为a2=(1-I=63当I=2时,B-2E=2102朋解,6E=轾402轾1-1犏0-42犏-212-2犏201犏犏S1-1-21臌2-1臌1x2=01土31,0)T；时轾1-1犏-21臌00=x=x=2i2ix】丰x2a3=(1,1,2)T；与（B-6E）X=0同解，可得特征值13=6所对应的特征向量为1令h1=石1-,Q=(曾,h2,h3),X=Qy可得X012Y012XY012411111

21、1711P236P333P123012f=xtAtAx=yTQTATAQy=2yi+6yi。22（本题11分）已知随机变量X,Y及XY分布律如下，求（1）PX=2Y；（2）cov(X-Y,Y)与r解：(1)PX=2Y=PX=0,Y=0+PX=2,Y=1，=PX=0+PY=0-PXY=0+PX=2+PY=1-PXY=2,=2+112+6+3-0=2)cov(X-Y,Y)=cov(X,Y)+cov(-Y,Y)=cov(X,Y)-cov(Y,Y)=cov(X,Y)-D(Y)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)99E(灯)“x1+1X3+2x0+4x12=yE(X)E(Y)=(0 x1+1x1+2x1)x(0 x1+1x3+2x3)=2可得cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=2-3=0