微积分基本公式

1、一、位置函数与速度函数之间的联系二、积分上限的函数及其导数三、牛顿莱布尼茨公式6.2 微积分基本公式上页下页铃结束返回首页 设物体从某定点开始作直线运动, 在t时刻物体所经过的路程为S(t), 速度为vv(t)S(t)(v(t)0), 则在时间间隔T1, T2内物体所经过的路程S可表示为一、位置函数与速度函数之间的联系 上式表明, 速度函数v(t)在区间T1, T2上的定积分等于v(t)的原函数S(t)在区间T1, T2上的增量. 这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？即首页二、积分上限的函数及其导数积分上限的函数 设函数f(x)在区间a, b上连续, xa, b, 我们称为积分上限的函

2、数. 定理1(积分上限函数的导数) 在a b上可导 并且 下页 简要证明 因为Dx0时, xx, 所以其中x在x与xDx之间. 取Dx使xDx(a, b).定理1(积分上限函数的导数) 在a b上可导 并且 返回定理的重要意义： 一方面肯定了连续函数的原函数是存在的, 另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系. 就是f(x)在a, b上的一个原函数. 定理2 首页说明1说明2，假设u(x)可导。，假设v(x)可导。说明3，假设u(x),v(x)可导。，c是一个合适的常数。说明4提示： 例1 设f(x)在0, )内连续且f(x)0 证明函数 在(0 )内为单调增加函数 证明 因为

3、按假设 当0tx时f (t)0 (xt)f (t)0 所以 下页 例1 设f(x)在0, )内连续且f(x)0 证明函数 在(0 )内为单调增加函数 证明 因为 按假设 当0tx时f (t)0 (xt)f (t)0 所以 从而F (x)0(x0) 因此F(x)在(0 )内为单调增加函数 下页提示： 例2 解 这是一个零比零型未定式 由罗必达法则 下页三、牛顿莱布尼茨公式 若F(x)是连续函数f(x)在区间a, b上的一个原函数, 则 定理3(牛顿莱布尼茨公式) 证明 因为F(x)和(x)都是f(x)的原函数 所以存在常数C 使 F(x)(x)C.由F(a)(a)C及(a)0, 得CF(a),

4、F(x)(x)F(a). 由F(b)(b)F(a), 得(b)F(b)F(a),即 下页 牛顿莱布尼茨公式进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系. 三、牛顿莱布尼茨公式 若F(x)是连续函数f(x)在区间a, b上的一个原函数, 则 定理3(牛顿莱布尼茨公式)下页 解 解 例3 例4 下页 解 这是求由曲线ysin x 直线x0 x及x轴所围成的曲边梯形的的面积 解 例5 例6 计算正弦曲线ysin x在0 p上与x轴所围成的平面图形的面积 下页 例7 汽车以每小时36km速度行驶, 到某处需要减速停车.设汽车以等加速度a5m/s2刹车. 问从开始刹车到停车, 汽车走了多少距离？ t2(s). 当汽车停止时, 有 v(t)v0at105t. 刹车后 t 时刻汽车的速度为 v(t)105t 0, 汽车刹车时的初速度为 解 下页提示： 首先要计算从开始刹车到停车所需的时间T, 然后计算速度v(t)在时间区间0, T上的定积分. 例7 汽车以每小时36km速度行驶, 到某处需要减速停车.设汽车以等加速度a5m/s2刹车. 问从开始刹车到停车, 汽车走了多少距离？ 于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离