E21.从画正多边形的铰链到连杆轨迹教学文稿

1、Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。E21.从画正多边形的铰链到连杆轨迹-参赛队员：干悦、陈宇戈、孙璐璐学校：浙江省杭州第二中学省份：浙江省指导教师：金洁论文题目：从画正多边形的铰链到连杆轨迹从画正多边形的铰链到连杆轨迹摘要我们从一种画正多边形的铰链中获得启发，研究了连杆装置上的点能形成的轨迹，用构造的方法研究并证明了多项式函数图像可由连杆系统得到。我们提出了另外两个问题，用构造和快速傅里叶变换解决了由轨迹推出连杆系统，用一种奇妙的物理方法解决了由连杆系统得到其轨迹。关键字铰链；连杆；轨迹；构造AbstractWedrewinsprati

2、onsfromadevicewhichisusedtodrawregularpolygons,thenstudiedcurvesproducedbypointsonlinkages,andprovedtheequipollenceofpolynomialfunctioncurvesandlinkagecurves.Weputforwardtwootherquestions,solvedtranslatingcurvestolinkagesbystructureandFFT,andsolvedtranslatinglinkagestocurvesbyamagicalphysicalmethod.

3、目录一、画正多边形的铰链装置（4）二、连杆问题介绍（5）三、Peaucellier连杆（7）四、搭建连杆作图的大厦（8）（一）坐标轴（8）（二）运算器（9）五、解决问题1（12）六、解决问题2（13）七、解决问题3（16）参考文献（18）画正多边形的铰链装置在一本书1中描述了这样一种铰链装置，可以画出正n边形，如图1。这个装置满足AB=BC=CD=DE，四边形ABFG和四边形BCHK全等，D可在AG上自由移动，E可在BK上自由移动。这样就保证了在铰链改变形状时，ABC=BCD=CDE。图1如图2，保持AB在纸上不动，将D、E滑动到特定位置，很容易画出5到10的正多边形。其中，画正九边形时，Y5

4、AX=60；画正十边形时，Y6AX=36。画出的正多边形的变长即为AB的长度。正确性此处不再赘述。图2作者只讲到该铰链装置可以画出5到10的正多边形，事实上，从理论上（不考虑机械问题的话）讲它可以画出任意的正多边形。例如，当A和D重合时可以画出正三角形，当A和E重合的时候可以画出正方形。若BF可无限延长，则可以画出边数任意多的正多边形。正确性非常显然，此处就不再赘述。连杆轨迹问题介绍看到上述装置，我不禁感叹连杆的趣味性和实用性。同时，我想到了这样一个问题：既然连杆的边这么有用，那么它的顶点呢？于是我想到了如下几个问题。图32图4固定图3中下面两点，在移动的过程中画出最上面一点的轨迹。结果如图4

5、。（图3实际上是动态的，请用其他软件打开）我们先定义一下“连杆系统”。3一个像上图这样，至少具有一根杆和两个点并且连通的装置称为连杆装置。为了方便构图，我们认为点只能在杆的两端，之后还将提到这个问题。我们将一个连杆装置抽象成一个图G=（V，E），显然它是一个连通图。对于点集V有。对于一个图G，将点集V分割为互不相交的两个非空点集（Vs，Vm），Vs中的点固定，Vm中的点可移动；对与边集E中的每个元素e=（u，v），令e=dis（u，v），并令同时称L为边长集。一个确定了Vs，Vm，L的图G=（V，E）称为连杆系统。在一个连杆装置中，Vm中的点的移动而形成的轨迹称为这个连杆装置的连杆轨迹。为了方

6、便起见，以下讨论的连杆系统中的Vm均是单元素集。（若非单元素集也只需将每个可移动点分别考虑即可）这个轨迹满足以下条件：问题1：连杆可以画出怎么样的轨迹？怎么样的轨迹可以由连杆画出？问题2：如果一类曲线可以由连杆轨迹得到，那么如何得到？问题3：如果我们有了一个连杆装置，如何得到它的轨迹？在讨论如何解决这3个问题之前，要对上面说的一点进行补充。之前我们说，为了方便构图，点只能在杆的两端。但是事实上，我们做连杆的时候是有可能有点在连杆上（而非两端）的，比如一根杆上有一个要画轨迹的点，或者要将一根杆的一端连到另一根杆的中间。为了讨论这种连杆装置，我们利用三角形的稳定性将其变得符合“点只能在杆的两端”的

7、要求。3图5要将A杆连到B杆上时，将B杆在连接处断成C杆和D杆，效果是一样的。Peaucellier连杆在研究上述问题的过程中，我们发现有一种轨迹是非常重要的，因此将它拿出来，单独用一节描述，它就是直线。我们动手制作了很多连杆装置，他们画出的都是曲线。过了很久，我们也没能找到一种能画出直线的两岸装置。于是，我们找到了Peaucellier连杆。5图6在上图中，实线表示连杆，绿色点表示不动点，红色点表示可动点，红色虚线是点E在移动过程中形成的轨迹（以后均如此表示，不再注明）。其中，AC=AD=a，BC=CE=BD=DE=b，OB为任意长，OA=OB。以下证明其正确性。证：作CHBE于H。在此连杆

8、系统中，显然有A、B、E共线，BH=HE。AB*AE=（AHBH）*（AH+HE）=AH2BH2=（AC2CH2）-（BC2CH2）=a2b2即AB*AE是一个定值。连结AO并延长，交O于M。在直线AO上，A点右侧，找一点N使得AB*AE=AM*AN，连结EN。可得：AMBAEN（SAS）。ANE=ABM=RtE点总在过N且与直线AO垂直的直线上。E点的轨迹是一直线。四、搭建连杆作图的大厦为了解决上一节提出的问题，我们想到：既然同样是利用轨迹，我们是不是可以用解决尺规作图的构造方法4来解决连杆轨迹问题？在研究尺规作图时，我们由两条线段的加法、减法、乘法和一条线段的倒数、开平方这几种基本构造，建

9、立了可作图的解析准则。那么在连杆作图中，我们是不是也可以这么做呢？坐标轴为了能将连杆作图放在平面直角坐标系中研究，我们先用连杆建立一个坐标系。此时，之前提到的Peaucellier连杆就有用了。图7绿色杆表示Peaucellier，省略其它6根杆。利用Peaucellier连杆，很容易使得两个菱形两定点分别在X轴和Y轴上运动。这样，我们便得到了连杆构造的平面直角坐标系。另外，为了将Y轴上的长度转移到X轴上，我们将Y轴上的菱形以O为中心顺时针旋转90，构造如下图的连杆系统。其中有OA=OC=OD=OF=BA=BC=ED=EF=，AD=CF=。这样，便将X轴上的OB转移到了Y轴上的OE。（图见下页

10、）图8绿色杆表示Peaucellier，省略其它6根杆。（二）运算器有了坐标轴，现在我们来构造各种运算器，来对X轴上的点进行运算。（之后我们会发现，只要能会X轴上的点进行运算即可）在运算器中，我们会大量运用平行四边形，因为它既适合用来转移长度，也适合用来进行矢量加法。1.加法运算器（1）对某点坐标加上常数c如图，为了将x加上常数c得到y，固定A、B两点，构造平行四边形即可得到y=x+c。正确性很显然，且一个平行四边形是无法做到这点的。图9（2）将两个坐标相加利用矢量相加的平行四边形法则，我们不仅可以将两个X轴上的点相加，还可以推广到任意两个向量相加。像上面一样使用了构造平行四边形。如图，很显然

11、有。图102.倒数运算器为了方便介绍乘法运算器，先给出倒数运算器。在Peaucellier连杆中我们证明过，在下图中有y*x=a2b2，所以。只要对a和b取适当值使得a2b2=1，便可得到x的倒数y。图113.乘法运算器（1）对某坐标乘上常数c令OA=c*OB，并构造平行四边形ABxC。很显然有ObxOAy。因此有y=x*c。图12（2）两个坐标相乘两个坐标相乘并不是个容易的事情，我们想了很久也没有得到直接的方法。但是我们另辟蹊径，想到了。既然如此，那么只要我们有了平方运算器，就可以得到x*y了。然而，平方运算器也让我们绞尽脑汁。再一次另辟蹊径让我们想到了。于是我们有。太美妙了！两个坐标相乘的

12、问题最后变成了倒数问题！而让我们开心的是，倒数问题并不那么困难而可以直接解决。运用之前已经叙述过的倒数运算器，这个问题也被解决了。五、解决问题1问题1：连杆可以画出怎么样的轨迹？怎么样的轨迹可以由连杆画出？根据上一节，我们可以使用连杆对X轴上的点进行加法、乘法、倒数这3种操作。那么这和轨迹有什么关系呢？因为可以对X轴上的点进行以上操作，我们可以构造出一个点。再在连杆上构造一个点S，它始终在(x,y)上。最后，我们固定点T在原点上，S运动的轨迹就是曲线。2这个想法非常神奇，但是正确性比较显然，此处就不做证明了。既然如此，那么一个只包含以上操作的函数就可以由连杆画出。即任何多项式函数都可以由连杆画

13、出。我们还可以很开心地知道，连杆作图和尺规作图是等价的！另外一个有趣的事情是这样的，Kempe认为，连杆系统甚至可以用来画出你的签名！6因为很多的曲线都可以用多项式函数来拟合。然而事实上，即使你的名字再简单，可以也要用上许许多多的连杆才能做到。六、解决问题2问题2：如果一类曲线可以由连杆轨迹得到，那么如何得到？利用傅里叶级数7首先要声明的是，这只是一种近似的数值算法，在这里简单介绍如下。ff(t)表示一个周期性复函数，则ff(t)的复指数形式的傅里叶级数展开式为：Fn被定义为傅里叶系数，是一个复矢量，由下面积分式求的结果：离散傅里叶变换（DFT）：在一个周期T内对函数ff(t)进行离散化。快速

14、傅里叶变换（FFT）：DFT的一种快速算法。设任意三维函数用rp(t)表示，则其在X轴和YOZ平面上的投影分别表示为rpx(t)和rpyz(t)。将rp(t)的实际轨迹分别进行一维FFT（X轴）和二维FFT（YOZ平面）得到谐波成分分别记为：其中Dn和Dn表示第n次项幅值，根据几何关系有：（接下页）其中为R与X轴的夹角，为R与Y轴的夹角一级傅里叶级数描述的几何意义：以输入转角为变量的一次函数。二级傅里叶级数描述的几何意义：一系列不同周期的圆周运动频率分量合成。采用复数记法，记二维连杆曲线为，令连杆装置匀速转动，则有。由于大部分连杆曲线是封闭的，则有。当Dn=0且n=0时，由上述各式可得二维傅里

15、叶级数表达式：整理上式并转换到XOY坐标系下有：其中是傅里叶展开式中的基频，Dn是第n次项谐波成分的幅值，n是第n次谐波成分中的初相位。下面通过例子加以说明。图13上图是一个连杆系统输出的曲线，其中取了64个采样点。将采样点经二维FFT，得到对应的幅值和相位（见下表）。n+2+10-1-2-3Dn(mm)1.4420.2237.3610.001.400.26n()-99.994.8758.06127.57177.38175.04于是我们就可以方便的写出连杆曲线的近似数学表达式：下表给出了前8个点的采样点值和计算值以供比较，看得出，这种方法的效果是很不错的。（接下页）（单位：cm）位置坐标123

16、45678x原曲线31.8332.7333.5534.2934.9335.4335.7635.91x计算值(n=3)31.9032.7833.5934.3134.9235.4035.7035.84y原曲线39.3642.8445.6448.3250.8253.1255.1856.96y计算值(n=3)40.0142.8645.6348.2750.7553.0455.0956.89七、解决问题3问题3：如果我们有了一个连杆装置，如何得到它的轨迹？“与物理学家合作是愉快的。”感谢我的同学们给我提供了这样一种方法。图14上题即之前提到过的图3和图4。（有动态图）在上图中，C、D是固定的两点，AC=A

17、B=BD=OA=OB=1，CD=2。为了求O点的运动轨迹，我们设。由于点A做圆周运动，其速度必定垂直于AC，设其速度为v1。同理设点B速度为v2且垂直于BD。由物理知识可知，对于杆AB，其上任意一点沿杆的速度大小都相同，所以有。同时，杆AB中垂线上的任意点的速度都等于A点速度与B点速度和的一半。所以，只用v1和就可以表示出O点的速度（包括大小和方向），对其积分即可得到其轨迹。用这种方法，我们得到了O点轨迹的参数方程：其中，。参考文献1柯尔捷姆斯基.莫斯科智力游戏：359道数学趣味题M.叶其孝.北京：高等教育出版社，2009.2顾森.连杆系统：比你想象中的更强大EB/OL./blog/archives/3427，2010-06-22.3IgorPak.LecturesonDiscreteandPolyhedralGeometryEB/OL./p