高中数学讲义微专题56数列中的整数问题

1、微专题56数列中的整数问题、基础知识:1、整数的基本性质：(1)整数的和，差，积仍为整数(2)整数的奇偶性：若 n 2k 1 k Z ,则称n为奇数；若n 2k k Z ,则称n为偶数，在加，减，乘法运算中，其结果有以下规律：奇数奇数偶数奇数偶数奇数偶数偶数偶数奇数偶数偶数偶数偶数偶数奇数奇数奇数(3)若 a,b Z ,且 a b,则 a b 1(4)已知a,b R,a b,若n Z ,且n a,b ,则n只能取到有限多个整数(也有可能无解)a(5)若一Z ,称a能被b整除，则有： bb ab为a的一个因数(6)最小数原理：自然数集的任何非空子集，均有一个最小的自然数2、整数性质的应用：(1)

2、若变量属于整数，则利用方程与不等式均可求出变量的值：在实数范围内，若要求得变量的值，通常要依赖方程，而不等式只能解得变量的范围。但是在整数范围内，除了方程，在不等式中也可以利用整数的离散性求出变量的值(即性质(4),例如：若n N,n 2,5 ,则n的取值只能是3,4。所以在涉及求整数的值时，思路不要局限于寻找等量关系，构造不等关系依然可以求解。(2)整除问题：若表达式形式较为简单，可通过对常数进行因数分解，进而确定变量的取值；若表达式次数较高，则可以先利用二项式定理去掉高次的项，再进行处理。(3)多元整数不定方程：当变量的值为整数时，不定方程的解可能有有限多组解。通常的处理方式有两个： 通过

3、对表达式进行因式分解，对另一侧的常数进行因数分解，进而将不定方程拆成多个方程的方程组，进而解出变量 将一个字母视为变量(其余视为参数)并进行参变分离，求出含变量函数的值域，进而将参数置于一个范围内，再利用整数离散性求得参数的值(4)反证法：运用反证法处理整数问题时，常见的矛盾有以下几点：所解得变量非整数，或不符合已知范围n项和的项数，均等式两侧为一奇一偶 3、整数问题通常会与数列联系起来，其特征就是数列中项的序数，以及前 为正整数。二、典型例题:例1 ：已知数列an的通项公式为an2n7 ,若包包口为数列an am 2中的项，则m思路：圭同 am 22m 7 2m 52m 3an中的项为大于等

4、于5 (ai5)的奇数，所以考虑将随口向奇数形式变形:2m2m 52m 342m 32am 22m 32m 32m2m82m 32m 38一 8,解得2m 32m 35 a2 （舍）一8应该为大于等于4的偶数，所以2m 3答案：m小炼有话说:(1)本题的亮点在于对2m 72m 32m 5的变形，在有关整数的问题里，通常可对分式进行“分离常数”的变形，从而将复杂的分式简化，并能立刻找到需处理的部分。例如在本题中通过“分离常数”可迅速将目标锁定在一8上。2m 38(2)本题对 的处理有多个角度，还可以从分母出发，观察到 2m 3应为奇数，而2m 38 Z ,而8的奇因数只有1和1 ,同样可确定 m

5、的值。2m 3例2：已知等差数列 an的公差d 0,设an的前n项和为Sn,a1 1,S2 S3 36(1)求an的通项公式求m,k m,k N 的值，使得am am 1 am k 65一 一，一一_1 2 11例3：已知数列 an的前n项和为Sn,且Sn -n2 n n N22(1)求数列an的通项公式(2)设 f nan(n 2k 1,k N ) 日寸一n，,是否存在3an 13(n 2k,k N )m N ,使得 f m 155fm成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由1 n 11解：Sn 2n万n111 n 12anSnSn 1 n 5 n 2 c 111 八+ a1S1- -

6、 6符合2 2ann 5(2)思路：f n按照奇偶分段，所以要确定m 15, m的奇偶。观察可发现无论 m为何值,m 15, m均为一奇一偶，所以只需要对m的奇偶进行分类讨论，解出符合条件的m即可解：f nan n 5,n 2k 13an 13 3n 2,n 2k当m为奇数时，m 15为偶数f m 15 5f m 3 m 15 2 5 m 5解得：m 11当m为偶数时，m 15为奇数f m 15 5f m m 15 5 5 3m 25解得：m 7 (舍)综上所述：m 11例4：已知各项均为整数的数列an满足a31,a7 4,前6项依次成等差数列，从第五项起依次成等比数列(1)求数列 an的通项

7、公式(2)求出所有的正整数 m ,使得am am 1 am 2 amam 1am 2解：(1)设前6项的公差为d ,则a5 a3 2d 1 2d,a6 a3 4d 1 4d. 2. 2* a5,a6,a7成等比数列，& a a7 4d 14 2d 1解得:6时,ana3n 3d n 4a5126n 7 时，ann 6 n 5a6 q 2an2n4,n5,n(2)思路：由于数列an分为两部分，当n5时，即为公比是 2的等比数列，所以考虑对于数列的前几项可进行验证,5后成等比数列，从而可进行抽象的计算，看是否能够找到符合条件的m 。解：由（1）可得:an3,2,1,0,1,2,4,8，则当m 1时

8、，a1a2a32时,a2a3a42, a2a3a40, a2 a3a4a2a3a43时,a3a%a50a3a4a54时,a4a5a63,a4a5a60,a4 aa6 a4a5a65时,假设存在使信 amam 1 am 2ama m 1a m 2则有2m 5 123m12 即:7 2m23m 127=22m 72m 7 322m 723 8,从而7=22m 7无解m 5时,不存在这样的m ,使得amam 1 am2ama m 1a m 2综上所述：m 1或m 3例5：已知数列an的前n项和为Sn,且满足a1*2 , an 1 3Sn 2 0 (n N ).(1)求a2, a3的值;（2）求数列

9、an的通项公式;（3）是否存在整数对（m, n）,使得等式2anman4m 8成立？若存在，请求出所有满足条件的（m,n）;若不存在，请说明理由解：（1）在 an 1 3Sn 2 0 中，令 n1,得:a23 2 0a22 32 3a14得：a3 3s2 20a3(2)由 an13Sn 2 0 ,可得：an3Sn 1 2 0 n 2 可得:an 1 an 3an0an 12an n 2an从第二项开始成等比关系,公比为ann 2na2222 而a12符合上式an(3)思路：所成立的等式为2n24m 8 ,考虑将 m,n进行分离得到:m, n为整数可得-为整数，从而4求出符合条件的n ,再求出解

10、：由(2)得:2n4m 816 8只需1,2,4, 8经计算可得:1,2,3 时,2m 14n解得：m共有三组符合题意:2,1 , 1,2 ,14,3小炼有话说:n所能取到的最小值代入到递推公(1)在第(2)问中，要注意n的取值范围变化，并且要把 式中以了解递推公式从第几项开始满足。(2)二元不定方程在求解时，参变分离是一种方式，通过变形让两变量分居不等号的两侧,这样可以以一侧作为突破口(比如本题中的整除问题),来求得变量的解例6：已知数列an是各项均不为0的等差数列，Sn是其前n项和，且满足a2 S2n 1 ,令1bn ,数列bn的刖n项和为anan 1Tn(1)求数列 an的通项公式及Tn

11、(2)是否存在正整数 m,n 1 m n,使得Ti,Tm,Tn成等比数列？若存在,求出所有的m,n的值；若不存在,请说明理由。解：(1) 82nlaa2n 12n 1* a1a2n 12anS2n1 an2an32n且anan2n 1bn2n2n12n 112n 1Tn12n12n 112n 1n2n 1(2)思路：先假定存在满足条件的m,n ,则由Tn可得2m22m 1n2n法直接得到不等关系，考虑变形等式:22m 1 6n2 m ii 3 、一， 口 4，分离参数可得：一nm3以一 0为突破口可解出mn的范围,6一,12,从而确定m的值后即可求出解：假设存在m,n 1 mT1 Tn2即 一

12、m一22m 11 n3 2n 122m 12m6n4m2 4m 12m6n 3八3 口 6 即一2m2 4m2m1 0解得:-341-1 “m 2，代入可信：22,斛仔：n 12n 2 224存在m 2,n 12 ,使得Ti,Tm,Tn成等比数列例7：已知各项均为正数的数列an满足：a1223,且 anan 1 2 an1 an 1 an 0, n N的通项公式（1）设 bnan1，一，一,求数列bnan(2)设 Sna122a2a2,Tn1a11a21，八一、，人,，F，求SnTn ,并确定最小正整数n ,an使得SnTn为整数解：（1）2anan2an2an2 a2 1 an 1bn 1a

13、n 1an 12an 1an 12an an2 anan2bnbn是公比为2的等比数列（2）思路：由（1）可得ananbnb1 2n2n 23,an的通项公式可求但是比较复杂,不利于求出Sn-Tn，但观察发现可将Sn Tn中的项重新组合，进而能够和bn找到联系。2an1ananan2 b 2,求和可得Sn Tn 644n 1 2n,若Sn Tn为整数,27贝U 4n 1能被27整除，而27 33 ,考虑可将4n写成3,n 、一， 一 .、 一 1 ,通过二项式定理展开并找到最解：Sn Tna212 a1小的正整数n21anIana1a2a1a2an an2n1 2n2842328 不4364_

14、9_4n2n644n272n4664 n若Sn Tn为整数，因为2n Z 4n 1271 c即，4n 1 Z274n 13 1 nC03n C 3n 1 C： 333C： 232 C13 C： 1C03n Cn3n 1n 3 33Cn 232C；13U 232 Cn113能被27整除9n2 3n2n 2 2 n 1 n n 1C； 232 C:3 93n2所以可得n 9时，C： 232 C： 13能被27整除n的最小值是9例8：已知an为等差数列，前n项和为& ,若S44S2 , a2n2an(1)求 an(2)对m N ,将an中落入区间2m,22m内项的个数记为bm求bm记Cm2, Cm

15、的刖m项和记为Tm ,是否存在 m,t2bm,使得工上Tm1 tCt1成立？若存在，求出 m, t的值；若不存在,请说明理由解：（1）设an的公差为S4 4s24al 6d2a da2n2 an1a12nd 2 al解得：a11,d 2an2n 1(2) 2m 2n 122m2m 1222m 122m11n 22m2m 12m 12mlem 1 TOC o 1-5 h z 21 n 2bm22m 2m思路：由可得：cm1，一 ,Tm 4 1-,则所解万程变形为: HYPERLINK l bookmark125 o Current Document 2 HYPERLINK l bookmark1

16、42 o Current Document mm 1 t HYPERLINK l bookmark162 o Current Document 114 1- t -,得到关于m,t的不te万程，可考虑对m,t进仃变重分离22以等式左右边的符号作为突破口（左边为正数），得到4t 0,即1,2,3 ,然后代入t解出符合条件的 m即可解:L2由可得：Cm *TmTmtTm11可得:1Tm1 tTm tCtCm 1tCtCm 1Tm tCtTm tCm 1G1 0,424 t 0 t 1,2,3t1时，解得：1235mlog 2 5t2时,解得：m1213ml竺3t3时,解得：m1218m3 Zm,、

17、，m3“_A 、/;存在这样的，满足所给方程t 3小炼有话说：1、本题中的方程，并没有在一开始就将Z （舍）Z （舍）Tm代入，否则运算会复杂的多，所采取的策略为先化简变形，变形完成之后再代入。可简化不必要的运算2、本题在解m,t的不定方程所用的方法为变量分离法，将两个只含某一字母的式子用等号连m1接，则两边式子的范围应当一致。以其中一个式子作为突破口（比如1）,再结合变量必2须取整数的条件，便可用不等关系将变量所能取的值确定下来。例9：已知数列an是等差数列，数列 0是等比数列，且对任意的n N ,都有：aQ a2b2 anbn n 2n 3 ,若 a1 8,则：（1）求数列 an , bn

18、的通项公式（2）试探究：数列 bn中是否存在某一项，它可以表示为该数列中其它r r N,r 2项的和？若存在，请求出该项，若不存在，请说明理由 TOC o 1-5 h z 解：（1）a1b1a2b2anbnn 2n 3a1bla2b2an 1bn1 n1 2n 2可得：anbn n 2n 3 n 1 2n 2 n 1 2n 2 n 2. 一_4一令 n 1 ,则 a1bl 1 2b1 2令 n 2,则 a2b2 3 24a1d bq 48令 n 3,则 a3b3 4 25a1 2dbiq2 1282 8 d q 48所以有：，解得:2 8 2d q 128an 4n 4, bn 2n(2)思路

19、：首先要把命题翻译为等式，将其他r项可设为从由2,，,设存在某项bm,则bmbt2br2m2t12t22匚设tit2t则同除以2t1,就会出现左右两侧奇偶不同，从而假设不成立解：假设存在某项bm及数列中的其他r项打凡，,Q t t2trbm灯 4btr2m2t12t22tr ,所以 2m2trm t.两边同时除以2t1可得:2m t1 12t2 t12tr t1 ,左边为偶数，右边为奇数。所以等式不成立所以不存在这样的项小炼有话说：(1)通过本题要学会如何表示数列中某一串项：如果是相邻项，则可表示为：am,am 1,am 2,，如果不一定相邻，则可用t1,t2tr作角标，其中1,2，,r体现出

20、这一串项所成数列中项的序数，而t1, t2tr表示该项在原数列中的序数(2)本题还有一个矛盾点：题目中的r项不一定为相邻项， 但是可通过放缩将右边的项补全，变为从21一直加到2tr,即2i 2t22tr21222tr。则2m 2 22 2tr 2tr 1 1，由整数性质可得mtrmtr1 ,所以2m 2tr 1 2* 1 1,与矛盾，所以不存在。例10：已知等差数列 an的首项为a ,公差为b ,等比数列 bn的首项为b ,公比为a ,其 中a,b均为大于1的正整数，且a1 6，4 a3,对于任意的n N ,均存在m N ,使得am 3 bn 成立，贝U an 思路：本题的关键是求出 a,b,

21、已知a,b均为大于1的正整数，所以考虑从两个不等关系入手尝试求a,b的值或范围：a1匕a b,b2 a3一 . a b ba a 2b,所以，从而根据不等号方向可得：ba从而 am 3 bnam 1 b 5 b 2n 15b 1入一d（舍）或2n 1 m 1 5a 2bb 2b 3bm 1 b 3 banb 2n 1 m 1,2n 1 m 1 1 二b 5解得：a 3,所以1, 代入 a2n 1 m 1 1b 5a 3 a 2,2 可得：1 Z ,所以Qn 1 m成立，所b 5ba a 2b以 a 2,b 5, an 2 5 n 1 5n 3答案：an5n 3用q i j表示第i行第j个三、历

22、年好题精选 1、(2014,山东师大附中五模) 用部分自然数构造如图的数表: 数(i,j N),使得如 a。 i ,每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和，设第n n N 行中的各数之和为bnI(1)写出b1,b2,b3,b4,并写出bn 1与bn的递推关系(不要求证明)2 23 4 1(2)令品 bn 2,证明：Cn是等比数列，并求出 0的通项 4 +气45 11 14 11 5公式(3)数列 bn中是否存在不同的三项 bp,bq,br p,q,r N 恰好成等差数列？若存在，求出 p,q,r的关系，若不存在，说明理由2、(2016,泰州一模)已知数列an, bn满足2Sn 2)b

23、n,其中Sn是数歹U an的前n项 和.1 (1)若数列an是首项为一，公比为一的等比数列，求数列bn的通项公式；3(2)若bn n , a2 3 ,求数列an的通项公式；a(3)在(2)的条件下，设Cn an,求证：数列Cn中的任意一项总可以表示成该数列其他bn两项之积 3、已知数列 an的奇数项是首项为 1的等差数列，偶数项是首项为 2的等比数列，数列an前n项和为Sn,且满足Ss 2a4 a5, a9 a3 a4(1)求数列 an的通项公式(2)若amam 1 am 2,求正整数m的值(3)是否存在正整数 m ,使得-Sm-恰好为数列an中的一项？若存在，求出所有满足条件 S2m 1的m

24、值，若不存在，说明理由4、(2016,无锡辅仁高中12月月测)2.已知数列an,bn满足a13,anbn2,bn1anbn ,n N1 an1 (1)求证：数列一是等差数列，并求数列bn的通项公式bn(2)设数列 cn满足Cn 2an 5,对于任意给定的正整数p ,是否存在正整数1 1 1q,r p q r ,使得一, 一成等差数列？若存在，试用p表示q,r ；若不存在，请说明Cp Cq Cr理由习题答案:1、解析：(1) 口 1,b2 4,b310,b4 22猜想 bn 1 2bn 2(2)bn 1 2 2 bn2cn 12cncn是等比数列,cnc12n 1 32n 1bn(3)由(2)可

25、得:bp3 2p1 2,bq3 2q 1 2,br3 2r 1 2若bp,bq,br p,q,r为等差数列贝U 2bq bp br2q 12p 2r不妨设p为最小的数，则2q p2rp ,左边为偶数，右边为奇数,显然不成立不存在符合要求的p,q,r2、解析：(1)因为Snbn(2)2Sm2an 1an2Snbnn 1 an 1两式相减可得:则2Sn13n2an 12nan2nan 1 nan 2n 2时,nan n 1 an 1n 1 an 1 n 2 an2 n 1 ann 1 an 1 n 1 an 12anan 1 an 1an为等差数列2sl a1 2 可得：a12,因为 a23d 1

26、 an n 1(3)由(2)得 cn对于给th的n N ,右存在k,t n, k,t*N ,使得 CnCk Ct ,只需111(1 1)(1 Ln1 ,则t ktn(k 1)k n12分取 k n 1 ,则 t n(n 2),，对数列n 1工，Cn中的任息一项Cn ,者B存在Cn 1n2nn2 2n 1n2 2n使得CnCn 1 Cn2 2n3、解析:(1)设4包向，a2k 1,的公差为d ,设a2, a4,a6,，a2k, 的公比为qa4 a2q 2q,a3 a d1 d,a9 1 4dS5a92a4 a5a3 Aa4a1a2a3a14d a1d 2qa2kk 1 c ok 1a?q2 3 ,a?k 1a1n 1 d 2k 1n,n 2k 1ann 12 32 ,n 2k(2)若 m 2k k Nk 1,则 a?ka2k 1a2k