高中数学椭圆经典例题及其讲解新人教A版选修1

1、椭圆标准方程典型例题例1已知椭圆mx2 +3y2 6m = 0的一个焦点为(0, 2)求m的值.分析：把椭圆的方程化为标准方程，由 c = 2,根据关系a2=b2+c2可求出m的值.22解：方程变形为 土十)-=1.因为焦点在y轴上，所以2mA6,解得m3 .6 2m又 c=2,所以 2m-6=22, m=5 适合.故 m=5.例2已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0), a=3b,求椭圆的标准方程.分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况.根据题设条件，运用待定系数法,求出参数a和b(或a2和b2)的值，即可求得椭圆的标准方程.解：当焦点在x轴上时,设其方程为2x2a2+ y2

2、=1(a b 0 ) b2由椭圆过点P(3,0 ),知A a2 b2a=3b,代入得b2=1 , a2 =9,故椭圆的方程为2x 2一 + y2=1 .9当焦点在y轴上时，设其方程为由椭圆过点P(3,0 )，知之+乌 a2b2=1 .又a =3b ,联立解得22a2 =81 , b2 =9 ,故椭圆的方程为 上一+二=1.819例3 MBC的底边BC =16 , AC和AB两边上中线长之和为30,求此三角形重心 G的轨迹和顶点 A的轨迹.分析：(1)由已知可得 GC +GB =20,再利用椭圆定义求解.(2)由G的轨迹方程G、A坐标的关系，利用代入法求 A的轨迹方程.解：（1）以BC所在的直线

3、为X轴，BC中点为原点建立直角坐标系. 设G点坐标为（x, y）,由GC + GB| =20,a = 10 , c = 8,有 b=6,知G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且除去轴上两点.因22故其方程为金+匕=1(y#0 ).100 36(2)设 A(x, y), G(xy),则100+ 36”x3 代入，得y322A的轨迹方程为 900 324= 1（y=0）,其轨迹是椭圆（除去 X轴上两点）.例4已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 4.52、5 ., P到两焦点的距离分别为丝？和勺及，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程.解：设两焦点为F1、F2，且PF1 =

4、4.52.5.从椭圆定义知 2a = |PFi +|PF2|=2，5 .即 a = J5.从PFi PF2知PF2垂直焦点所在的对称轴，所以在R匕PFzFi中，sIn/PFFz =12可求出. PF1F2 =,2c = PF71 cos= 662,52210,从而b a c .所求椭圆方程为22x 3y- 1 =1 或5103x2102+4=1（abA0 ），长轴端点为 A , A2,焦点为Fi , F2, P是椭圆上一点，/APA2=e, b22例5已知椭圆方程a/F1PF2 = 求：AFFF2的面积（用 a、b、口 表示）.1 .分析：求面积要结合余弦定理及定义求角仪的两邻边，从而利用 S

5、A = 2absinC:2解：如图，设P(x, y由椭圆的对称性，不妨设P(x, y ),由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限.由余弦2222定理知:F1F2 =|PF1 +|PF2 -2PFi . PF2 cosa =4c2 .由椭圆定义知:PF1 + PF2 =2a ，则2得PF1 PF22b21 cos：一1故 SPF2 =|PFiPF2 since12b2sin 二:2 1 cos ;,2,:=b tan .2求动圆圆心P的轨迹方程.例6已知动圆P过定点A( 3,0),且在定圆B:(x3f+ y2 =64的内部与其相内切,分析：关键是根据题意，列出点 P满足的关系式.解：如图所示，设动圆

6、 P和定圆B内切于点M .动点P到两定点，即定点a(-3,0刑定圆圆心B(3,0步巨离之和恰好等于定圆半径，即PA + PB = PM| + PB =|BM =8 .，点P的轨迹是以A, B为两焦点, TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark54 o Current Document 22半长轴为4,半短轴长为b=：42 32 = J7的椭圆的方程: + =1 .167说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程.这是求轨迹方程 的一种重要思想方法.x2，11例7已知椭圆 二十y2 =1, (1)求过点P I,1 I且被P平分的

7、弦所在直线的方程；22 2)(2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；(3)过A(2,1 )引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；1(4)椭圆上有两点 P、Q , O为原点，且有直线 OP、OQ斜率满足kOP kOQ =-,2求线段PQ中点M的轨迹方程.分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法.解：设弦两端点分别为M(xby)，N(x2,V2),线段MN的中点R(x,y),则X2+2y2=2,得(x1+X2 口 X2 )+2(% +丫2口 y2 )=。.F； +2yf =2,由题意知x1# x2,则上式两端同除以x1-x2,有(X1十x2 R( y1+y2/1= 0 ,N+

8、X2=2x,xx2y1 +y2 =2y,将代入得x + 2 y* 左=0 . xi -x2y =1代入，得y1 一力 2x1 - x211 ,故所求直线方程为:22x + 4y 3 = 0.将代入椭圆方程x2 +2y2 =2 得 6y2 -6y-1 = 0 ,八1八入人-c八八， =36 4父6父一0符合题意，2x + 4y 3 = 0为所求.4将y1-y2_ x2=2代入得所求轨迹方程为:x+4y = 0.（椭圆内部分）一 y2匕1代入得所求轨迹方程为: x -222x +2y 2x 2y=0.(椭圆内部分)由+得x222X2y；y2)=2,将平方并整理得x2 +x2 =4x2 -2x1x2

9、,222yi +丫2 =4y 2yy2,将代入得:4x2 - 2x1x241再将y1y2 =-一整*2代入式得:2C 2-21，C2x xx2 +4y -2 - x1x2 1=2,22 .上此即为所求轨迹方程.当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决.例8已知椭圆4x2 +y2 =1及直线y =x + m .（1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为 空10 ,求直线的方程.5解：（1）把直线方程y=x+m代入椭圆方程4x2+y2=1得 4x2+（x + m=1,222OO. 5. 5即 5x +2mx+m 1 =0 . =(2m j4 黑5M (m 1)

10、=一16m +20之 0,解得 MmW 22（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为2mXi , X2 ,由（1）得 Xi +X2 = 52m 一 1， X1X2 =5:2 （ 2m弋m2 -1 210 日 八，工口4根据弦长公式得Ji +1 .1 _ I _4Kl=.解得 m = 0 .万程为 y = x . TOC o 1-5 h z Yl 5 J 55说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别.这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式;解决弦长问题，一般应用弦长公式.用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程.

11、22例9以椭圆 S+L =1的焦点为焦点，过直线 l： X-y+9=0上一点M作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短, 123点M应在何处？并求出此时的椭圆方程.分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两 已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决.22解：如图所示，椭圆 二+匕=1的焦点为Fi（3 ,0 ）, F2（3,0 ）.123点F1关于直线l: x -y +9 = 0的对称点F的坐标为（一 9, 6）,直线FF2的方程为x + 2y-3 = 0. HYPERLINK l bookmark59 o Current Docume

12、nt X+2y3=0 ，一MF2最小., 得交点M的坐标为（一5, 4）.此时MF1、x _y +9 =0所求椭圆的长轴：2a = MF1 + MF=FF2 =65 ,a = 3芯，又 c=3,222b2 =a2 -c2 =（375 ） -32 =36,因此，所求椭圆的方程为 二+、一 =1.45 36一 ，、-x2例10 已知方程k 52+一=-1表示椭圆，求k的取值范围.3 kk -5 ：二0,解：由 3k0, 得3k5,且 k=4.Jk - 5 h二 3 一 k,.满足条件的k的取值范围是3k5,且k=4.说明：本题易出现如下错解：由 3k -50,得3k 5,故k的取值范围是3k5.3

13、-k b0这个条件，当a = b时，并不表示椭圆.例11 已知X2 sina - y2 CQSa =1 (0 Wot Wn)表示焦点在y轴上的椭圆，求 a的取值范围.分析：依据已知条件确定 a的三角函数的大小关系.再根据三角函数的单调性，求出 a的取值范围.22.解：方程可化为-+=1 .因为焦点在y轴上，所以_Lo.11cos* sin 二：sin 二 cos ;3 、因此 sin a 0 且 tan ct 0 , -0,这是容易忽视的地方.sin。： cos .：s 2121(2)由焦点在y轴上，知a2=-, b2 =. (3)求a的取值范围时，应注意题目中的条件 0 Mo(.cos。：

14、sin .：:例12 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过a(J3 , -2)和b(-2V3,1)两点的椭圆方程.分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见,可设其方程为 mx2+ny2 =1(m0, n 0),且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程.扬二2)，即, m (-2V3)2 +n 12 =1,解：设所求椭圆方程为 mx2+ny2 =1 ( m 0 , n 0).由A(0.解得至l3cmcZ13.131313413(法 2)同解法 1 得出 n = 一一mx0 = 一(一一 m) = -m ,4134即M点坐标为(m , -3m).1131

15、 , 、 13y0 =x0 - - m = x(m) -m = -3m ,4444 A, B为椭圆上的两点， M点在椭圆的内部,(-m)2 (-3m)22, 132,131m0,建立参数方程.22(2)禾I用弦AB的中点M (xo , y0)在椭圆内部，满足 =+ 1,将小，y0利用参数表示，建立参数不等式. a b1例17在面积为1的APMN中，tan M =一，tan N = 2 ,建立适当的坐标系，求出以 M、N为焦点且过P 2点的椭圆方程.解：以MN的中点为原点，MN所在直线为x轴建立直角坐标系，设 P(x, y).H 0NJx C上=1 x +c 2 cy =1.f 5 x =一 3

16、c4日 3y : cM c :32254即 r/I Y12a2 3b223 432/3a -b =一,4a215得（ - 4b2 = 3. TOC o 1-5 h z 22.所求椭圆方程为竺-1-=115322例18已知P(4,2)是直线l被椭圆+L =1所截得的线段的中点，求直线 1的方程.369分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题.通常将直线方程与椭圆方程联立消去y(或x),得到关于x (或y )的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出x1+x2, x1x2(或y1 + y2, y1y2)的值代入计算即得.并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采

17、用的.解：方法一：设所求直线方程为 y -2 = k(x -4) .代入椭圆方程，整理得 22_2(4k2 +1)x2 -8k(4k -2)x+4(4k -2)2 -36=0 设直线与椭圆的交点为A(x1,yi),B(x2, y2)，则x、乂2是的两根，x1 + x2 =8k(4k-2)4k 1x1 x24k(4k -2)1 P(4,2)为 AB 中点，4= 12=2，k = . .所求直线方程为 x + 2y8=0.2 4k2 12方法二：设直线与椭圆交点 A(x1 , y1)，B(x2, y2) .: P(4, 2)为AB中点，%+刈=8, y + y2=4.2 一 2222222又二 A, B 在椭圆上，x1+4y1=36,x?+4y2=36 两式相减得(x1x2)+4(必 f ) = 0,即(x1 +x2)(x1x2)+4(必 +y2)(y1y2) =0 .，y1 y = ( )= 一 1 .，直线方程