高中数学立体几何外接球与内切球的定心方法

1、外接球与内切球的定心方法长方体（或可补【法一】长方体与球的中心对称性质（长方体的对称中心即为球心）形为长方体的柱体、锥体）的体对角线就是其外接球直径。直三棱柱ARCAEC 角ABC为直角角BAC为直角【补形方法】分别以上、下底面直角三角形的两条直角边为临边构造上、下矩形底面。【法二】球的集合定义及直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半。、角宜角 4角PA5角PBC=直角 24噬直底麻 AE垂直BC图（1）图（2）图（3）于图（1）, OA=OB=OC=OP Xt=- PB;对于图（2）, OA=OB=OC=OP= 1 PC;对于图（322PA 面ABC PA AC, PA BC,又AB BC,

2、PAI AB A1BC 面PAB,从而 BC PB,在RtVPBC与RtVPAC中，OA=OB=OC=OP= -PC. 2根据球的集合定义可知，O为三棱锥P-ABC的外接球球心。【法三】射影长定理（射影线段等长斜线段等长） 分别过几何体的两个相交平面多边形的外接圆圆心作各自平面的垂线，二垂线的交点即为外接球的球心，特别地，当一个平面（多边形）的外心恰好在另一个（下指第二个）与其相交的平面（多边形）的垂线（垂 线过第二个平面多边形的外心）上时，则该外心即为几何体的外接球球心。【法四】过几何体的某个面的外接圆圆心作该平面的垂线与和该平面相交的某条棱的中垂线的交点即为几何体的外接球球心。注法四是法三

3、的升级版，应用法四须使二垂线共面（否则，二垂线异面，没有交点）【法 五】构造以底面外接圆直径为一条直角边，底面的垂线为另一条直角边的直角三角形,则其斜边即为该几何体的外接球直径。注法五是法二的升级版，应用了直径所对的圆周角是直角定理。【证明】根据作法可得，L M如图,三棱锥P-LMN的侧棱PL垂直 底面LMN，试确定其外接球球心位置 第一步:作三角形LMN的外接圆 第二步?作圆O,的直径LU;第三步之连 PL二ML r;第四步，取P口的中点O,即为球心ML,由 PL 面 LMN,得 PL L M,PLLL,又PLI ML=L, L M 面 PML, L MPM,于是，VPLL 与VPML 均为

4、直角三角形，连结OM、OL,则OM=OL=OL =OP= 1 PL =R,因此，点O即为三棱锥 P-LMN的外接球球2O【例1】已知三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB=4 ,SA=SB=SC=4 ,2 3A.3B.2.3C.2 D. 3J3【例2】四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，AB=2 , BC=CD=1BCD 60 ,AB 面BCD,则球O的表面积为（）。A. 88 2B.38、, 3C.316D.3【例1解析】SA=SB=SC 顶点S在底面ABC内的射影是底面的外心。取RtVABC斜边AB的中点D.连结SD则SD 面ABC.所以SD AB.所以VSA

5、B的外心O在SD上，从而则三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离为（）。O即为球心，R球=OS=OB.由R2=（2阴 R） 2+4解得R=一。3【例2解析】法一：过底面正 VABC的外心（重心）G作GH 面BCD,过棱AB的中点F作 FO P BG 交 GH 于点 O ,则 22r2 =OB 2=OG 2+BG2= 1 AB-BE23Y 16积 S=4 R2.3法二：如图，作正VABC的外接222AE2 4R2=AB2O 为球心，FO 垂直平分棱 AB.241 1 sin60 =-,所以球O的表面3圆直径 BE,则 AE 即为球直径。216 一一24 一，BE ，解得R =。故球O33-16的

6、表面积为3【练习题】1.将边长为短的正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B-AC-D.则四面体ABCD的内切球的半径为（ D ）。A.1B. 2、23C. . 2 1 D.232.已知三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的球面上，AB为球O的直径，若该三棱锥的体 ,4.3积为,3BC=4 , BD= . 3 ,CBD90，则球O的表面积为（A. 11B. 20C. 23 D. 35ABC 60，且棱锥 O-ABC.已知A、B、C是千O的球面上三点，AB=2 , AC= 2J3 ,D )。 4 6 , 的体积为,则球O的表面积为（3A.10B. 24C. 36 D. 48.将正方形ABCD沿

7、对角线AC折起，得到三棱锥 D -ABC的外接球的半径为 2J2 ,则三棱锥D -ABC的体积为（ B ）。8.2D.3A. 16 .2B.162C. 8.235.已知点 A、B、C、D在同一个球的球面上,AB=BC= V2 ,AC=2 ,若四面体 ABCD 的体积为,球心O恰好在棱DA上，则这个球的表面积为（325A.4B.4C. 8D.164 的球体与梭柱3A. 6,3B.12.,3C. 18,3D. 24、. 37.在三B隹P-ABC中，底面ABC是等边三角形，侧面 PAB 当三棱锥P-ABC表面积最大时，该三棱锥外接球的表面积为（是直角三角形，且 PA=PB=2 ,A ）。A.12B.

8、 8C.4,332D.-38.已知边长为2-Q的菱形ABCD中， A 60，现沿对角线BD折起，使得二面角A-BD-C为120，此时点A、B、C、D在同一个球面上，则该球的表面积为（ CA. 20B.24C. 28D. 32.已知底面为正方形的四棱锥O-ABCD,各侧棱长均为2奔，底面面积为16,以O为球心,2为半径作一个球，则这个球与四棱锥2A.一98B.-916C. 9O-ABCD相交部分的体积为（4D.-3.设A、B、C是半彳全为2的球的球面上的三个不同的点，且OA BC,BC=3 ,BAC 120 ,则三棱锥O-ABC的体积为（A出 八.4B.f3.3C.411.如图，直三棱柱 ABC

9、-A B C的六个顶点都在半径为1的半球面上,BCC B是半球底面圆的内接正方形，则侧面 ABB A的面积为（CAB=AC,侧面）。A.2B.1C. .26.已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是（45，则棱锥12.已知球的直径 SC=4 , A,B是该球球面是的两点， AB=2 , ASC BSCS-ABC的体积为（ C2.3B.343C.35.3D.313.已知圆柱的高为 2,这个球的表面积等于（A. 416B. 一314.如图，在等腰梯形）32C.一D.163ABCD 中，AB=2DC=2 ,DAB 60 ,E为AB的中点，将底面半径为73,若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上,VADE与VBEC分别沿ED、EC折起，使得 A,B重合于点P,则三棱锥