高二数学不等式的证明方法习题精选精讲

1、不等式性质的应用不等式的性质是解不等式、证明不等式的基础和依据。教材中列举了不等式的性质，由这些性质是可以继续推导出 其它有关性质。教材中所列举的性质是最基本、最重要的，对此，不仅要掌握性质的内容，还要掌握性质的证明方法， 理解掌握性质成立的条件，把握性质之间的关联。只有理解好，才能牢固记忆及正确运用。1.不等式性质成立的条件运用不等式的基本性质解答不等式问题，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误。对表达不等式性质的 各不等式，要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性。 TOC o 1-5 h z 例1：若a b B . C. | a | b | D . a b

2、a ba-b a解：a b -b 0 o1111一由 , A ,( A)成立。一 a -b a b由 a cb |b|, . ( C)成立。 HYPERLINK l bookmark100 o Current Document 2222由a -b a 0, (-a) (-b) , a b ,( D)成立。. a b 0 , ab0, a a -b b-a0,1111一.,( B)不成乂。-a _(a-b) a a-b故应选Bo例2:判断下列命题是否正确，并说明理由。(1)若 abc0,则 ab0; (2)若 acb0,则 acb0;(3) acb0, abc0,贝 Uabc0； (4)若 ab

3、0,贝 Uab0 ,在二 二两边同乘以c ,不等式万向不变。， a b oc c11.一(3)错反。a ab = 一 0Oa b(4)错误。a b , cAduacbd,当a, b , c, d均为正数时成立。2.不等式性质在不等式等价问题中的应用 TOC o 1-5 h z 例3:下列不等式中不等价的是()x2 +3x-2 2 与 x2 +3x-4 0“、13 - 八2x +8 + 与 2x 8x 1 x 1一 554x +7 +与 4x7x 3x -3x 3，_ _A0与(x+3)(2 x) A02 -xA. B. (3)C. (4)D. (2) (3)解：(1) x2 +3x-22= x

4、2 +3x-40o132x8n x 4 , 2x +8 += x=1,x4= x4ox 1 x 1-5_57 一 八_74x +7+n x 一且 x=3, 4x7= x一。x -3 x -344(4)不等式的解均为 x | 3 。a - c b - d注意性质的使用条件。利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式。解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的八条 性质并注意在解题中灵活准确地加以应用。例 4：若 abA0, cd0, e0,求证:分析：本题考查学生对不等式性质的掌握及灵活应用。解： cdd0,又 abA01 . a -c b -d 0 ,故a - ce e而 e a -

5、c b -d.利用不等式性质求范围利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常见的综合问题，对于这类问题要注意：“同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)”，这种转化不是等价变形，在一个解题过程中多次使用这种转化时，就有可能扩大真实的取 值范围，解题时务必小心谨慎，先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性不等关系的运 算，求得待求的范围”，是避免犯错误的一条途径。例5：若二次函数f (x)图像关于y轴对称，且1 E fM2 , 3 f(2) 4,求f (3)的范围。2解：设 f (x) = ax +c( a = 0)。_ f(2)-f(1) TOC o 1-5 h

6、 z ；f(1)=a+c - -3f (2) =4a +c| 4f (1) - f (2)c 二3f(3) =9a c =3f(2) -3f (1) 4f - f(2) =8f - 5f(1) 33 1 f(1) 2, 3 f (2) 4 ,5 5f (1) 10, 24 8f (2) 32 , 14 8f(2) -5f (1) 27,.工 8f (2)一 5f(1)工9, HYPERLINK l bookmark66 o Current Document 33r 14即 14 E f(3) 0, bc ad ,可得成立，即 二；若 ab0, bcJlad 0,则 bc ad ,故二；ab若

7、bc ad , bc ad 0 ,则 ab 0 ,故二。 ab可组成3个正确命题。11例7：已知a b , aAb同时成立，则ab应满足的条件是 ab协11 (a -b)(ab 1),(ab 1)斛：: (a ) -(b -)=，由 ab 知 0 ,a babab从而 ab(ab +1) 0, 1- ab 0或 ab +2a 2b 2c a b b c c a2111 b(a b) a(a b) - 4ab (a_ b) n证明：a,b均为正数，十 一=-=0- 04a 4b a b4ab(a b)4ab(a b)一 11向理十 4b 4c22，二 8一00 工工一，= a) _0b c 4b

8、c(b c) 4c 4a c a 4ac(a c)三式相加，可得1111112a 2b 2c a b b c c a,02、综合法2a1 +2b1 十2c综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。2a、b、a2 b2 c2 -1c = (Q +q0) , a +b+c =1 ,求证：3=2a2 2b2 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca证：= 3(a2+b2+c2)1=(a+b+c)23(a2 +b2+c2)(a + b + c)2=(a b)2 +(b c)2 +(c a)2 2 04443设a、b、c是互不相等的正数，求证： a十b+

9、c abc(a+b + c)442 24.42 2证：a +b 2a b b +c 2b c4 .4 o 2 24.4.42,2,2 2.2 2c 十a a 2c a a 十b +c a b +b c 十c aja b +b c 2Va b b c =2abc 同理：b2c2 + c2a2 2bc2ac2a2 + a2b2 2ca2ba2b2 b2c2 c2a2 abc(a b c)4 知 a,b,c R R ,求证：,222abb证明：.a b -2ab 2(a b) -a2222ab b - (a b)2+b2 a(a；b)，两边开平方得da2+b2至1H+b2- - (a b)同理可得；

10、b cc 之 2 (b +c)、c a a 之 2 (c + a)三式相加，得2 c2 a2 - 2(a b c)11(1 -)(1 -)-95x、y w(，+g)且x +y =1,证： x y 。11(1)(1) = (1证： x yx y x y y xy x-)(1 -)=(2 -)(2 -) =5 2(-)x y_522=96 已知 a,bw R t a +b =1 求证:. +a, b R ,a b =1策略：由于ab2a bi2=ab M1说明a,b R=a+b =1的背后隐含着一个不等式 ab -,证明： a, b R , a b = 1. ab _ 1。4而 1+1 i 1+1

11、1=11a 人 b J a b ab/ a b 1/2=1118 =ab ab ab9.1 Y 1 11 + 1 +- 之 9. a 人 b)222/、c c a _ 2(a b c)3、分析法分析法的思路是“执果索因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件，直至已成立的不等式。,2(7已知a、b、c为正数，求证：a b.ab) 3(2-3 abc)证证：”一所3(丁一国只需证- 2. ab - c -33. abc即：c + 2Vab 2 33/abc ; c + vab + Tab 之 33/ cVfabvab = 33/嬴 成立原不等式成立8 a、b、c 匚(, +*)且 a+b

12、 + c=1,求证 2 a + Vb +c w J3。证：后+Mb+ JcMd3仁(4+4b+ 右)2W3即：2, ab + 2，bc + 2，acM 22dab Wa +b2vbc Wb+c2 vac Wa+c 即 2；ab+2Jbc+2JacE(a+b)+(b+c) + (a+c) = 2 原命题成立4、换元法换元法实质上就是变量代换法，即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换，以达到化难为易的目的。ab +J(1a2)(1_b2) 1o一 ，五k , k 二basin-：k二万 k.=sin a sin P + cos a cos=sin = sin -二 cos二cos -=co

13、s(士P) 1 ,22ab+v1(1-a2)(1-b2) bc,求证： + .a -bb -c a -c证明：: a b0, b c0, a c0 ，可设 a b=x, b c=y (x, y0) 则 ac= x + y,原不等式转化为证明1+1之即证(x+yX+N) 之4,即证2+上之4.)+)之2,原不等式成立(当仅x=y当=”成立)xyx yx yy xy x知 1Wx2+y2w2,求证： 1 x2 xy + y2W3.2证明：1 w x2+y 2 w 2, . .可设 x = rcos 日，y = rsin 日，其中 1Wr2w2, 0w 日 v 2n . x2 - xy + y 2

14、= r2 - r2sin 20 = r2 (1 sin 20 ),1 sin 20 , r2 r2 (1 sin29 ) r2 ,2222222而 _ J , _ , _12.3，_ Wx? _ xy + y 2 w 3.2222已知 x2 2xy + y2 w 2,求证：| x+y |wJ10.证明：: x2 2xy + y 2 = (x y)2 + y2 , 可设 x y = rcos 8，y = rsin 8 ,其中 0Wrw，2, 0w 0 v 2兀. I x+ y | =| x y+ 2y | = | rcos 日 +2rsin 日 | 二 r| M5sin(日 + ractan )

15、| 痣 r 12解：因为(J5_x)2 +(Vx+1)2=6,故可令 J5-x = J6 sine , 7+1 =而 cos , 0 ：0,-2则原不等式化为v16 sin日一6 cos日 工所以46 sin 9 1 + 66 cos TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark38 o Current Document 2212_由8c 0, 知金+ cos 0,将上式两边平方并整理，得 48 cos6+4 V6 cos 23 0,一282 一 6 一c 24 - 47 24 - 47解得 0w cos日 所以 x = 6cos20 1 1,故原不等式的解集是 x|-

16、1 & x15: 1 w 0, 1WxW 1,故可设 x = cos9 ,其中 0w e w 冗.223-：则、；1 -x x = y1 -cos 9 cos 9 = sin 6 cos 9 = J2 sin(9), . 一- 1 bc)的不等式，常用增量进行代换，代换的目的是减少变量的个数，使要证的结论更清晰，思路更直观，这样可以使问题化难为易，化繁为简. TOC o 1-5 h z _ 一22、2516a, b u R,且 a+ b = 1 ,求证：(a + 2) + (b + 2) -.证明：a, bwR,且 a+b = 1, . .设 a = +1, b=-t, (tE R) HYPE

17、RLINK l bookmark44 o Current Document 22则(a + 2)2 +(b+2)2 = (l + t+2)2 + (- -t + 2)2 = (t + 5) 2 + (t- 5 )2 = 2t 2 +空 25 .222222_ 2_ 225.(a + 2) 2 +(b+2)2 .2利用“1”的代换型111已知 a,b,c = r+,且 a +b +c =1,求证：+ +- 9.a b c策略：做“ 1”的代换。十1 +1 =a4b+c+a+b4c+a+b+c=3+f+与+&+勺+3+”“ + 2+2 + 2 = 9证明： a b c a b ca bj a c

18、) 0, q 0, p3 + q3 = 2,求证：p+q2,则(p+q)38,即 p3 + q3 + 3pq (p+q)8,p3 + q3= 2, . pq (p + q)2. . pqp2 - pq+ q 2 ,即(p q)219已知 a、b、cw (0, 1),求证:故 pq (p+q)2 = p3+q3= (p + q)( p2 - pq+q2),又 p0, q0 = p+q0, 2不成立，p+qW2.1(一.124 2(1a)b, (1b)c, (1c)a,不能均大于 4。证明：假设(1a) b, (1b) c, (1c) a均大于4 / (1 -a), b均为正同理(1 -b) c

19、1:一 .(1-b) c2 4(1 - c) a J22(1 - a) b (1 - b) - c (1 -c) a22233 一22不正确 假设不成立原命题正确120 已知 a,b,c C (0, 1),求证：(1a) b, (1 b) c, (1 c) a 不能同时大于 一。4证明：假设三式同时大于 10vav1.1a0(1 ；)十b4_ a)b 旧 =121 a、b、cR, a+b+c0, ab+bc+ca0, a b c0 ,求证：a、b、c 均为正数。证明：反证法：假设 a、b、c不均为正数又a，b，c0 a、b、c两负一正不妨设 a 0, b 0 又a+b+c0. o -(a +b

20、) 0同乘以(a +b)222、c(a+b) -(a+b)即 ac+bc+ab (a +ab+b)0,与已知ab +bc + ca a 0 矛盾假设不成立a、b、c均为正数6、放缩法放缩时常用白方法有：1去或加上一些项2分子或分母放大（或缩小）3用函数单调性放缩4用已知不等式放缩22已知a、b、c、d都是正数，求证:a1 v+ 2.a b c b c d c d a dab证明：.vva b c d a b c,vva b a b c d b c d c d,a b c d c d a c d, a b c d dab a b将上述四个同向不等式两边分别相加，得:1+ ca b c b c d

21、 c d aac2,dab证明：.2( . n 1 -1)：二 1求证：111：2 n -1. 2 一 3 n.k k , k k k -1=2( k - k-1)=2 k 1- k)1 2(72 -1) +2(2yzcosA+2xzcosB+2xycosC o222证明：构造函数，判别式法令 f(x)=x +y +z -(2yzcosA + 2xzcosB + 2xycosC)222=x -2 x(zcosB + ycosC) +(y +z 2yzcosA)为开口向上的抛物线2，,222.22.2,= 4(zcosB ycosC) -4(yz -2yzcosA) = 4(-z sin B -

22、 y sin C 2yzcosBcosC 2yzcosA)2222=-4z sin B y sin C -2yzcosBcosC 2yz(cosBcosC-sin BsinC)_ 2_ 2 _2_ 22_=-4z sin B y sin C -2yzsin BsinC =-4(zsin B -ycosC) &0无论y、z为何值， W0f(x) -0.命题真构造函数法构造函数法证明不等式 24设0Wa、b、c 2ab+ 2bc+ 2ca.证明：视a为自变量，构造一次函数f (a) = 4a+ b2 + c2 + abc 2ab 2bc 2ca = (bc 2b 2c+ 4)a+ (b2 + c2

23、 2bc),由0WaW2,知f (a)表不一条线段.又f (0) = b2 +c2 2bc = (b-c)2 0, f (2)= b2 + c2 -4b-4c+ 8 = (b-2)2 +(c-2 -2)2 0,可见上述线段在横轴及其上方，22f (a) 0,即 4a+b +c + abc2ab+ 2bc+ 2ca.构造向量法证明不等式根据已知条件与欲证不等式结构，将其转化为向量形式，利用向量数量积及不等式关系m.n w|m| |.n|,就能避免复杂的凑配技巧，使解题过程简化.应用这一方法证明一些具有和积结构的代数不等式, 思路清晰，易于掌握.2525 设 a、bCR，且 a+ b =1,求证：

24、(a+2) +(b+2) 2证明：构造向量 m = (a + 2, b+2), n= (1 , 1).设m和n的夹角为a ,其中0w 口 w n . |m| = J(a+2)2 + (b+2)2 , M = J7, m n = | m | |n*|coscc = J(a + 2)2 + (b + 2)2 J 2 cosot ；另一方面，m n =(a+2) 1+(b+2) 1 = a+b + 4 = 5,而 0w |cosa |5,从而(a+2)2 +(b+2)2.构造解析几何模型证明不等式如果不等式两边可以通过某种方式与图形建立联系，则可根据已知式的结构 挖掘出它的几何背景，通过构造解析几何

25、模型，化数为形，利用数学模型的直观 性，将不等式表达的抽象数量关系转化为图形加以解决.26 设 a0, b0, a+ b = 1,求证：J2a +1 +、；2b + 1 272 .证明：所证不等式变形为:2a 1 2b 120, y0)上.如图所示， AD XBC,半径 AOAD,即有:2a 1 2b 1v 2,所以 J2a +1 + J2b + 1 m(x2-1)对满足一2、m芸2的所有m都成立，求x的取值范围。解：原不等式化为(x2 1)m (2x 1)0、一 _2记 f(m)= (x 1)m-(2x-1)( 2 Mm =2)2根据题意有:f(-2) =-2(x2-1)-(2x-1) 0_

26、2_f(2) =2(x -1)-(2x-1) 0即：22x -2x-1 0 TOC o 1-5 h z -171 3解之：得x的取值范围为x HYPERLINK l bookmark57 o Current Document 222化归二次函数法根据题目要求，构造二次函数。结合二次函数实根分布等相关知识，求出参数取值范围。例2 ：在R上定义运算: xy=(1 y) 若不等式(x a)(x+ a)1对任意实数x成立，则()(A) 1a1(B)0a2(C)一一 ： a :二(D)解：由题意可知(x-a)1-(x+a) 0对x亡R恒成立记 f(x)=x 2-x-a2+a+1则应满足(-1)2-4(-

27、a2+a+1)0化简彳44a2-4a-3013斛得 一 a 0对满足0*匕1的所有实数解：设 f(x)=x 2-2mx+2m+1本题等价于函数f(x)在04xW1上的最小值大于0,求m的取值范围。当m0时，f(x)在0,1上是增函数，因此f(0)是最小值，无力 m 0/口 _1解 3得 cm0f(0) = 2m +1 a 02(2)当0 MmM1时，f(x)在x=m时取得最小值0 m 1时，f(x)在0,1上是减函数，因此f(1)是最小值 m 1,口解 得m1f (1201综合(1)(2)(3)得 m -2注：当化归为二次函数后，自变量是实数集的子集时，应用二次函数知识解决有时较繁琐。此型题目

28、有时也可转化为后面的法3求解。3分离参数法求出参数范围。t的取值范围。在题目中分离出参数，化成 af(x) (afmax(x)(aan-1恒成立，求ao的取值范围。解：依题意:13n+(-1) 15n-1 - 2n+(-1) n - 21- a013 n-1+(-1) n-2 - 2n-1+(-1)n-1 - 2n-1a0化简，得(-1)n - 3 - 2n-12 a0-55. 3n-1 + |(-1) n . 2n-1(1)当 n=2k-12a015*.kWN时 (3)n-1设 g1(n)=g1(n)在22,15*n N1+ 一5(3)2卜 时且n-1 + 15n=2k-1,kNN时是增函数

29、11- g1(n)的取小值为g1(1)= 一31a0-15(2)*1k N时nT + 15设 g2(n)=-2.(沙+11525g2(n)在nW M且n=2k,k N Nj时是减函数，g2(n)的最大值为g2(2) =0a00一一 1综上可知0a00。设 xw (0, +o0),y=kx+m 是曲线 y=f(x)在点(X0, f(X0)处的切线方程并设函数g(x)=kx+m(I)用 Xo, f(Xo), f (xo)表不 m；(n)证明：当 xw(0, +8)时，g(x)之f(x),、一 ，一一。32(出)右关于 x的不等式x2+i2ax+b之万x 3在0, +如)上恒成立，其中a、b为实数。

30、求b的取值范围及 a与b所满足的关系。本题(出)应用了此方法。(出)解：0 MbM1, a0是不等式成立的必要条件。以下讨论设此条件成立。1x +1岂ax+b 即x-ax+(1-b) 0对任息x=0, +妙)成立的充要条件是 a 2(Jb)2令 i (x)=ax+b-3 32X，是ax+b之3x3对任意xw0, +8)成立的充要条件是；yx) ,01C由(x)=a- x =0 得 x= a当0 xa3时，(x) a，时，(x) 0,所以，当x= a工时，(x)取最小值。因此，(x)占0成立的充要条件是小(a,)之0。1即a _ (2b)下3 2综上，不等式x +1 ax+b - - x 3对任

31、意xW0, 十七成立的充要条件是 TOC o 1-5 h z 1(2bJ 4a 芸2(1-b)2显然，存在a、b使式成立的充要条件是： HYPERLINK l bookmark53 o Current Document 11不等式(2b)工M2(1-b)2有解。2-2 , 22 解不等式得一丁 b至一丁44因此，式即为b的取值范围，式即为实数a与b所满足的关系。4.数型结合法例7：如果对任意实数x,不等式x+1之kx恒成立，则实数k的取值范围是0Mk M1解析：画出y= x+1,y 2=kx的图像，由图可看出0WkW1K=1v=kx例8：已知a0且a=1,当x三(-1 , 1)时，不等式x2-ax1恒成立，则a的取值范围 J ；8 (1222,解析：不等式x2-ax x22x回出y1= a在解综合性较强的恒成立问题时，有时一题多法。所以以题为本，关键抓住恒成立的实质，具体问题具体分析，不 拘泥于一种方法。线性规划常见题型及解法线性规划是新教材中新增的内容之一，由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过 平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题 型。一、求线性目标函数