复数域数学模型传递函数结构图课件

1、2-2 控制系统的时域数学模型2-3 控制系统的复数域数学模型2-4.1 控制系统的结构图第二章 控制系统的数学模型 2-4.2 控制系统的信号流图2-1 拉式变换数学模型 描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式 静态数学模型：在静态条件下/平衡条件下（即变量各阶导数为0），描述变量之间关系的代数方程。动态数学模型：描述变量及其各阶导数之间关系的数学模型。建模方法 解析法（机理分析法） 根据系统工作所依据的物理化学定律列写运动方程时域数学模型：微（差）分方程、状态方程；复数域数学模型：传递函数、结构图、信号流图；频域数学模型：频率特性。其中结构图、信号流图是图形化的数学模型。

2、常见的数学模型实验法（系统辨识法） 给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性用拉氏变换解微分方程示意图2-1 拉氏变换一、 拉氏变换的定义1. 定义设函数f(t)在t0时有定义，如果线性积分 存在，则由此积分所确定的函数可写为F(s)称为f(t)的象函数，而f(t)称为F(s)的原函数，由象函数求原函数的运算称为拉氏反变换，记作 称其为函数f(t)的拉普拉斯变换，并记作二、几种典型函数的拉氏变换1.单位阶跃函数1(t)数学表达式为其拉氏变换为 2.单位斜坡函数数学表达式为 其拉氏变换为 3.等加速函数数学表达式为 其拉氏变换为 4.指数函数e-at数学表

3、达式为 其拉氏变换为 5.正弦函数sint 正弦函数定义为其拉氏变换为 6. 单位脉冲函数(函数) 函数的表达式为其拉氏变换为 拉氏变换的积分下限三、拉氏变换定理1.线性性质 设F1(s)=L f1(t)，F2(s)=L f2(t)，a和b为常数，则有2.微分定理 设F(s)=L f (t)，则有一阶微分：二阶微分：三阶微分：其中f(0), f(0), 为f(t)及其各阶导数在t=0处的值。当时的微分法则：此时，即零初始条件下，时域中的微分运算对等于复数域中乘以s的运算。3.积分定理设F(s)=L f(t) ，则有当 时的积分法则： 即零初始条件下，时域中的积分运算对等于复数域中除以s的运算。

4、4. 初值定理若f(t)及其一阶导数都可拉氏变换的，则其初值 5. 终值定理若F(s)=Lf(t)，且当t时，f(t)存在一个确定的值（即f(t)及其一阶导数都可拉氏变换），则其终值 注意：当f(t)为周期函数，如正弦函数时，由于它没有终值，故终值定理不适用。6. 位移定理设F(s)= L f(t)，则有及分别称为时域中的位移定理和复域中的位移定理。7.相似定理8.卷积定理四、拉氏反变换 拉氏反变换的定义如下 一般由F(s)求f(t)，常用部分分式法。部分分式法:首先将F(s)分解成一些简单分式之和，然后由拉氏变换表一一查出对应的反变换函数，即得所求的原函数f(t)。 F(s)的一般表达式为其

5、中nm,系数ai、bj均为实常数。部分分式法先将F(s)化成部分分式之和。(无重根)例2-5 求 的拉氏反变换。解：进行反变换得则其中拉普拉斯反变换II. 当 有重根时(设 为2重根，其余为单根)2 复习拉普拉斯变换有关内容（19）例2-6 已知，求解.解：对微分方程两端进行拉氏变换例 用拉氏变换求解微分方程。式中y(t)是输出量，x(t)为输入量。设求y(t).解上式得即故解：据基尔霍夫电路定理：输入输出LRCi例题2-7：写出RLC串联电路的微分方程。由： ，代入得：2-2 控制系统的时域数学模型 一、线性元件的微分方程例2-8：列写电枢控制直流电动机的微分方程取电枢电压ua和等效到电机转

6、轴上的负载转矩Mc为输入量，输出是转速wm 。激励磁通设为常值。电枢回路方程为 控制系统的微分方程SM负载以角速度 为输出量、电枢电压 为输入量，Mc为扰动输入量，消去中间变量ia、Ea、Mm，得直流电机微分方程为电磁转矩方程电动机轴上转矩平衡方程二阶线性微分方程当电枢回路的电感可以忽略不计时一阶线性微分方程当Ra和Jm可以忽略不计时比例环节可做测速电机例2-9： 图为弹簧-质量-阻尼器的机械位移系统，列写质量m在外力F的作用下，位移x的运动方程。解：根据牛顿第二定律有：整理得-二阶微分方程 比较三个例题的数学模型，可以发现：三者的数学模型均用二阶微分方程表示，仅方程中系数的大小和具体的物理含

7、义不同而已。启示：1.利用电路网络可以模拟仿真非电系统； 2.利用数学模型可以撇开系统的物理属性进行普遍意义的分析研究。二、控制系统微分方程的建立列写每个元件的微分方程。消去中间变量，得系统的微分方程。列写方块图中各元件微分方程时需注意：a.信号的单向传递性；b.相连的后级元件对前级元件的负载效应。c.简化数学模型：略去次要因素或对非线性元件进行线性化处理。1、步骤画出系统方块图。例2-11：编写下图所示的速度控制系统的微分方程。解：该系统的组成和原理； 该系统的输出量是 ，输入量是 ，扰动量是速度控制系统方块图：运放1运放2功放直流电动机测速-运放运放功放电动机减速器减速器（齿轮系）测速发电

8、机消去中间变量控制系统数学模型（微分方程），令以下的参数为3.线性系统的基本特性叠加性和齐次性线性系统的叠加原理表明：当几个外作用同时加于系统时，可将它们分别单独处理得出各自的响应，之后将各响应叠加即为系统总响应。一个复杂的外作用可分解成若干个简单信号，求出各简单信号的响应，之后叠加即得复杂外作用下的响应。4、线性定常微分方程的求解5、非线性微分方程的线性化 AByx0非零初始条件下微分方程的求解。泰勒级数一、线性定常系统传递函数的定义零初始条件下，输出量拉氏变换输入量拉氏变换（1）t0,输入量及其各阶导数均为0零初始条件（2）t0,输出量及其各阶导数均为02-3、控制系统的复数域数学模型设线

9、性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述： 例题：求Ls1/Cs解：方法二、复阻抗法见课本P51中部2. 用复阻抗法求电网络的传递函数将R、L、C元件的传递函数作为其复阻抗，应用电路理论列方程可直接求出电网络的传递函数。二、传递函数的性质1、 G(s)是复有理真分式，即m=n,所有系数均为实数。2、 G(s)与r(t)无关，只与系统自身的结构参数有关4、 G(s)是单位脉冲响应的拉氏变换3、 G(s) 微分方程sd/dtsd/dt5、一个传递函数只能表示一个输入量和一个输出量的关系。若系统输入量、输出量为多个，则对应多个传递函数。例题： 试求电枢控制直流电动机的传递函数根据线性叠加原理，分别研究

10、 到 和 到 的传递函数解：6、 传递函数可表征控制系统的动态性能，并用以求解系统在零初始条件下的响应。但对于非零条件下响应不能直接求解。P40 例2-12RLC无源网络三、传递函数的零点与极点z1z2零极点分布图称为传递系数或根轨迹增益传递函数也可写成如下连乘积的形式称为传递系数或增益传递函数的极点决定了系统自由运动的形态（模态）。四、传递函数极点和零点对输出的影响系统的输入决定了系统的稳态输出。传递函数的零点影响各模态在响应中所占的比重。输入信号 ，零状态响应分别为任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的。典型环节通常分为以下几种：1、比例环节式中 K-增益实例：电子放大器，齿轮，电

11、位器，测速电机，杠杆等。五、典型元部件的传递函数实例： 电动机角速度与角位移间的传递函数，模拟计算机中的积分器等。2 、积分环节实例：RC网络，电动机、单容水槽、电加热炉等的传递函数均包含这一环节。3、惯性环节式中 T-时间常数4、纯时间延时环节式中 延迟时间实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节，双容水槽的也包含这一环节。5、振荡环节式中 阻尼比 -自然振荡角频率（无阻尼振荡角频率）实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数，双容水槽的也包含这一环节。6、微分环节 理想微分一阶微分二阶微分实例：测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节。典型环节是分析系统

12、的基础，应牢固掌握！ 2-4.1 控制系统的结构图一、结构图动态结构图是表示组成控制系统的各个元件之间信号动态传递关系的图形。1. 定义2. 组成方框引出点比较点(综合点）信号线如RC网路的微分方程 对上式进行拉氏变换，得 画出RC网络的动态结构图。 绘制上式各子方程的方框图 将方框图连接起来,得出系统的动态结构图。 二、结构图的等效变换和简化等效变换的目的求取系统传递函数，对系统性能进行分析。这一过程相当于对方程组进行消元。变换前后，输入输出间的数学关系保持不变！即变换前后前向通道中传递函数的乘积保持不变，回路中传递函数的乘积应保持不变。（P55下部）等效原则：环节的合并（1）串联常用的等效

13、变换：（1）环节的合并：串联、并联、反馈（2）引出点/比较点的移动（2）并联（3）反馈分母中负反馈取+；正反馈取-。例1：求第二章 数学模型第二章 数学模型基本练习(补充)G1G2G2G1G21G1G2G2G1（4）比较点和引出点的移动和互换： 等效变换在结构图中的体现是：移动前后前向通路和回路中传递函数的乘积保持不变！比较点的移动： 后移：把比较点从环节的输入端移到输出端信号相加点的移动信号相加点的移动和互换 前移：把比较点从环节的输出端移到输入端：引出点的移动： 后移：引出点从环节的输入端移到输出端信号分支点的移动和互换 前移：引出点从环节的输出端移到输入端信号相加点和分支点的移动和互换注

14、意： 相邻的比较点/引出点位置可以互换；见下例信号相加点和分支点的移动和互换 不相邻的相加点和分支点不能互换！ 所以，一般情况下在等效变换时，相加点向相加点移动，分支点向分支点移动向同类移动！G1G2G3G4综合点移动(补充)G2G4G1G3G11并联3串联2反馈向同类移动例2-17 利用等效变换的方法计算系统的传递函数。R(s)C(s)解除环节间交叉的办法：移动比较点或引出点。移动原则：向同类移动。作用分解(补充)G1G2G3H3H1R(s)C(s)G4G2G3H3C(s)G1H1R(s)H3H1G41并联3串联2反馈2-4.2 控制系统的信号流图信号流图是系统图形化的数学模型。 一、信号流

15、图的组成：节点支路传输/支路增益节点支路传输/支路增益如U=？二、常用的名词术语： 源节点（输入节点）阱节点（输出节点）混合节点：其输出为各输入的叠加。前向通路/前向通路增益回路/回路增益不接触回路：没有公共节点。 2、由系统结构图绘制信号流图步骤：(1)将输入量、输出量、引出点、比较点以及必要的中间变量用节点表示。(2)用标有传函的定向线段代（支路）替各函数方框，将各节点连接起来。三、信号流图的绘制1、由系统微分方程绘制信号流图G(s) C(s) R(s)G1(s)G2(s) H(s)R(s)E(s)D(s)V(s)C(s) (-)(a) 结构图(节点)C(s)R(s) G(s)(节点)(支

16、路)C(s)1R(s)E(s)G1(s)G2(s) -H(s) Y(s)D(s)V(s)11(b) 信号流图例2-19 由结构图得系统信号流图。 特征式 ： 所有单独回路增益之和； 两两互不接触回路增益乘积之和； 三三互不接触回路增益乘积之和。梅森公式为： 余因子式把与第K条前向通路相接触的回路增益置为0后 余下的部分。四、梅森增益公式（P66中下部）其中： n从输入节点到输出节点的前向通路总数。 Pk第k条前向通路总增益 。，与所有回路不接触：，没有与之不接触的回路： 前向通路有两条： 解：三个回路： R例题 已知系统信号流图，求传递函数。 回路相互均接触，则： G1 G2 G3 H2 -H

17、2 -H1 C G4L1L2= (G1H1)(-G 2 H2 )L1= G1H1L2= G2H2L3= G1G2H3G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)C(s)=1G3G2+G1G2+ G2R(s) N(s)梅森公式例2 (补充)(1-G1H1)+ G2H2+ G1G2H3- G1H1G2 H2- G1H1（1-G1H1）G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(