2018届高三数学二轮复习：数列专题及其答案

1、2018届高三第二轮复习一一数列第1讲等差、等比考点【高 考感悟】从近三年高考看，高考命题热门考向可能为:考什么怎么考题型与难度1.等差(比)数列的基本运算主要考察等差、等比数列的基 本量的求解题型：三种题型均可出现 难度：基础题2.等差(比)数列的判断与证明主要考察等差、等比数列的定 义证明题型：三种题型均可出现 难度：基础题或中档题3.等差(比)数列的性质主要考察等差、等比数列的性 质题型：选择题或填空题 难度：基础题或中档题1.必记公式(1)等差数列通项公式：a = a + (n 1)d.n1n n ( a + a ) = na1 n ( n 1) d1n(2)等差数列前n项和公式：S

2、=2+2.(3)等比数列通项公式：ana1qn 1.(4)等比数列前 n项和公式：na1 ( q= 1)Sn= a1 ( 1 _qn) = a1 anq (q1) q 1 q(5)等差中项公式： 2an= an-1+ an + 1 (n 2).(6)等比中项公式：an= an- 1 - an+ 1(n 2).S1 ( n = 1)(7)数列 an的前n项和与通项an之间的关系：an =.Sn- Sn- 1 (n 2).重要性质nmnm n m(1)通项公式的推行：等差数列中，a = a + (n m) d；等比数列中， a = a q .(2)增减性：等差数列中，若公差大于零，则数列为递加数列

3、；若公差小于零，则数列为递减数列.等比数列中，若 a1 0且q1或a1 V0且0V qv1,则数列为递加数列；若 a1 0且0V qv 1或a1 1 ,则数列为递减数列.易错提示(1)忽略等比数列的条件：判断一个数列是等比数列时，忽略各项都不为零的条件.(2)遗漏等比中项：正数 a, b的等比中项是 4b,简单遗漏一Vab.【真 题体验】（2015新课标I高考）已知 a 是公差为1的等差数列，S为 a 的前n项和.若S = 4S ,则a TOC o 1-5 h z nnn8410迎B. 29C. 10D. 12A. 221n1_，a （2015 庆高考重）已知等差数列 （1）求 an的通项公式

4、； 542（2015新课标n高考）已知等比数列 a知足a =4 a= 4（a-1）,则a =（） HYPERLINK l bookmark48 o Current Document 11A . 2 B . 1 C.2 D.84. （2016 国卷全1）已知an是公差为3的等差数列，数列bn 知足 b1 =1 , b2 = 1 ,anbn 1bn 1()a1（2015 江高考浙）已知 an是等差数列，公差 d不为零.若 a2, a3, a7成等比数列，且 2a1+ a2= 1,nbn ,.3求 an的通项公式；（II）求bn的前n项和【考点打破】考点一、等差（比）的基本运算1. （2015湖南高

5、考）设Sn为等比数列 an的前n项和，若a1= 1 ,且3S1, 2s2, S3成等差数列， 则an=9 an 知足a3= 2,前3项和S3 = 2.（2）设等比数列 bn知足 b1 = a1 , b4= a15 ,求 bn的前 n 项和 Tn.优选考点二、等差(比)的证明与判断【典例11 ( 2017全国1 )记Sn23为等比数列 an的前n项和，已知 S =2 , S =- 6.(1)求an的通项公式；(2)求Sn,弁判断Sn+1 , Sn, Sn+2能否成等差数列【规律感悟】判断和证明数列是等差(比)数列的三种方法+an 1(1)定义法：关于 n 1的随意自然数，考证an+ 1- an或

6、 一r为同一常数.an(2)通项公式法：*若 an = a1 + ( n - 1)d = am+ (n - m)d 或 an= kn + b(n GN *)，则 an为等差数列;若 an=a1qn 1= amqn 或 an= pq n (n N),则 a n 为等比数列.(3)中项公式法：若 2an = an -1 + an+1(nG N , n 2),贝U an 为等差数列；若a2= a- a( n N *, n上2),且a+0,贝U a 为等比数列.nn - 1n + 1nn变式:(2)求 an的通项公式.（2014 全国纲领高考 ）数歹U an知足 a1= 1 , a2= 2, an+2

7、 =2an+ 1- an+ 2.设bn= an+ 1 an ,证明 bn 是等差数列;考点三、等差(比)数列的性质命题角度一 与等差(比)数列的项相关的性质【典例2(1)(2015 新课标 n高考)已知等比数列 an知足a1= 3, a+ a3+ as= 21 ,则a3+ as+ a7=() TOC o 1-5 h z A. 21B. 42C. 63D. 84(2)(2015铜陵模拟)已知等差数列 a 的前n项和为S，且S = 12,则a + a =() nn1056126A. 5 B, 12 C. 6 D.5 命题角度二 与等差（比）数列的和相关的性质【典例3】（1）（2014全国纲领高考）

8、设等比数列 an的前 项和为n若2= , 4 =，则6 n S . S 3 S 15 S =（）A, 31 B . 32C. 63 D . 64（2015衡水中学二调）等差数列 an中，3（33+35） + 2（37+ a10+ a13）= 24,则该数列前13项的和是（） A. 13 B. 26 C. 52 D. 156针对训练.在等差数列an中若 a3 + a4+a5+ a6+a7 = 255则 a2+a8=.在等比数列an中，a4 a8= 16,则a4a5,a7a8的值为 .3,若等比数列 an的各项均为正数，且 a10an + a9aI2= 2e5,则In a + ln a2+ + I

9、n a20 =.【稳固训练】一、选择题（2015 新课标 n高考）设Sn是等差数列 an的前n项和.若a+a3+a5= 3,则S5=（） TOC o 1-5 h z A. 5B. 7C 9D. 11（2014 福建高考）等差数列an的前n项和为Sn,若a= 2, S3=12,则a6等于（）A. 8 B, 10 C 12 D. 14（2014 重庆高考）对随意等比数列an,以下说法必定正确的选项是（）A.a1，a3,a9成等比数列B. a2 ,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列D. a3 ,a6,a9成等比数列（2014 天津高考）设 an是首项为a1 ,公差为1的等差数列，Sn

10、为其前n项和.若S1, S2 ,41S成等比数列，则a =（）_1_1A. 2 B 2 C.2 D - 2*nn15.0015 辽宁大连模拟）驾烈a 知足a -a =a a （n W N）,数列b 知足b =an，且bb 90 b b （）A.最大值为 99 B.为定值99 C .最大值为100 D.最大值为 200二、填空题（2015 西高考陕）中位数为1 010的一组数组成等差数列，其末项为 TOC o 1-5 h z 2 015 ，则该数列的首项为 （2015安徽高考）已知数列 an是递加的等比数列，ai+a4=9,a2a3=8,则数列an的前n项和等于（2014 西高考江）在等差数列

11、an中，a1= 7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n= 8时Sn获得最大值, 则 d 的取值范围为 三、解答题（文）（2015兰州模拟）在等比数列 an中，已知 a1= 2, a4= 16.（1）求数列 an 的通项公式；（2）若 a3， a5 分别为等差数列 bn 的第 3 项和第 5 项，试求数列 bn 的前n 项和Sn.10、（2014湖北高考）已知等差数列 an知足：a1= 2,且a1，a2, a5成等比数列.（1）求数列 an 的通项公式；（2）记Sn为数列 an的前n项和，能否存在正整数n,使得Sn 60n+ 800 ?若存在，求 n的最小值；若不存在，说明原因11（2015江

12、苏高考）设a ,1（1）证明： 2a ， 2a ， 2a 12（2）能否存在a ， d ，使得 a ， a ， a ， a 挨次组成等比数列？并说明原因1a ， a ， a 是各项为正数且公差为2342a 挨次组成等比数列；342341234d（d中0）的等差数列.数列乞降（通项）及其综合应用【高 考感悟】M有口臼昭力:考什么1.数列的通项怎么考考察等差、等比数列的基本量的求解；题型与难度题型：三种题型均可出现公式2.数列的前n考察an与Sn的关系，递推关系等考察等差、等比数列前n项和公式；考察用裂项相消法、错位相减法、分解难度：基础题或中档题题型： 三种题型均可出现，更多 为解答题项和3.数

13、列的综合组合法乞降.证明数列为等差或许等比：难度：中档题题型：解答题应用考察数列与不等式的综合难度：中档题【真 题体验】（2015 北京高考）设 an是等差数列，以下结论中正确的选项是 （）A.若 ai + a2 0,则 a2+ a30B.若 ai + a3 0,则 ai+ 司20C.若 0c aiaia31的前anan+ 1D.若 ai 099101C.100 D.100 a4 + a7= 15.(2015 武汉模拟)已知等差数列 an的前n项和为Sn, a5= 5, S5 = 15,则数列10099100 项和为（） A. 101B1。1（2015 福建高考）等差数列an中，a2 = 4,

14、(1)求数列 an的通项公式；设 bn= 2an 2 + n,求 b1+ b2+b3+ + b10 的值.优选【考点打破】累乘法：数列递推关系如 (叠乘法).n 1n结构法：递推关系形如a = pa + q(p , q为常数q)可化为aq1十p- 1a + p 1 (p*1)的形式，利用an+ P 1是以P为公比的等比数列求解.11, u的形递推关系形如 an+1= pan (p为非零常数)可化为 式十nn 1 an p(2015 课标n高考新SnSn+1 ,贝！J Sn= )设Sn是数列 an的前n项和，且 a1 = 1, an +1 =111(2015铜陵模拟)数列 an知足a1 + 2a

15、2+ +3335a 13n若数列 an知足+a1= 3，an 1= 3an 7,则 a2 015 的值为nan= 3n + 1 , n C N，贝U an=考点二、数列的前n项和【规律感悟】1.分组乞降的常有方法(1)依据等差、等比数列分组.(2)依据正号、负号分组.2.3.依据数列的周期性分组裂项后相消的规律 常用的拆项公式 (此中1 J-11 Jn ( n+1) n n + 1 n( n + k) k错位相减法的关注点n N* )11一n n+ k(2n- 1)1111=(一).(2n+ 1)2 2n- 1 2n+ 1考点一、数列的通项公式【规律感悟】求通项的常用方法(1)概括猜想法：已知

16、数列的前几项，求数列的通项公式，可采纳概括猜想法.1, n= 1,。已n , an的关系，利用，一门求30 .n n 1S-S , n2累加法：数列递推关系形如an+ 1= an+ f(n),此中数列 f( n)前n项和可求，这类种类的数列求通项公式时,常用累加法(叠加法).an+ 1 = g(n)an,此中数列 g(n)前n项积可求，此数列求通项公式一般采纳累乘法(1)合用题型：等差数列 an乘以等比数列 bn对应项( an - bn )型数列乞降.(2)步骤：乞降时先乘以数列 bn的公比.把两个和的形式错位相减.整理结果形式.命题角度一基本数列乞降、分组乞降优选【典例1】（2015 湖北八

17、校联考）等差数列 an的前n项和为Sn,数列 bn 是等比数列，知足 ai =3, bi= 1,b2+ S2= 10, a5 - 2b2= a3 .,n为奇 求数列 an和 bn的通项公式；2数，设数列 cn的前n项和为Tn,求T2n.nn,n为偶b数，命题角度二裂项相消法乞降求数列 an的通项公式；设Sn为数列 an的前n项和,【典例2】（2015 安徽高考）已知数列 an是递加的等比数列，且 a1+ a4= 9, a2a3= 8.+an 1bn= n n+ 1 ,求数列 bn的前n项和Tn .S S命题角度三错位相减法乞降【典例3】（2015 天津高考）已知 an 是各项均为正数的等比数列

18、， bn是等差数列，且 a1=b1= 1, b2+ b32a3, a53b27.（1）求 an和 bn的通项公式；（2）设cn= anbn, n N ,求数列 cn的前n项和.针对训练n2+ n1 . (2014 南高考湖)已知数列 an的前n项和Sn =n c n* .2(1)求数列 an的通项公式；(2)设bn =2an+ ( 1)nan,求数列 bn的前2n项和.1一的前n项和为n2n+ 1n2(2版乱康S考)已知数列 a 髻！呼型的等差/J，避用)的前n项部 an+1nn.考点三、数列的综合应用0.222【典例4(2015 陕西汉中质检)正项数列 an的前n项和Sn知足：Sn- (n

19、+ n- 1)Sn- (n + n)=(1)求数列 an的通项公式 an；一 * (.nn,数列 bnn.nG N ,都有 Tn 0, dS40adv 0, dS4 0, dS4V 0 D. adv 0, dS4 02. (2015保定调研)在数列 a 中，已知a = 1 , an1A . 2n- 1 B . 2n 1 + 1=2a + 1,则其通项公式为n 1 na =(nC. 2n- 1 D. 2(n-1)nn + 1+ an1，则该数列的前3.（展望题）已知数列 a 知足a = 2 a，且a = 22 015项的和等于（3 023A- 2 B. 3 023 C. 1 512 D. 3 0

20、244. （2015长春质检）设数列 an的前n项和为Sn ,且a= a2= 1, nSn+ （n+ 2）an为等差数列，则an=（）nn+ 1A. 2n 1 B.2n 1+ 15. (2015云南第一次一致检测2n 1 n + 1C. 2n- 1D. 2n+ 11/口1 一 2anan 1 + 1)在数列 an 中，an 0, a1=一，假如 an+1 ze 1%;厂 的等比中项，那么24- ana1 +，2评23卡a24 +卡且叫的值是()23410010010110099A. 99 B. 100 C.101 D.100、填空题6. (2014全国新课标 n高考)数歹U a 知足a1二 =

21、2, nn 1, a82 n7.若数列 n(n + 4)(3)中的最大项是第 k项，则k= . nin 1 n8(2015江苏高考)设数列 a 知足a =1, 且 a-a = n+ 1(n6N1 一、,、El板切一刖10项的和为 ),则数列an(2015福建高考)若a, b是函数f(x)= x2 px + q( p 0, q 0)的两个不一样的零点，且a, b,一可适合排序后成等差数列，也可适合排序后成等比数列，则p+ q的值等于 .三、解答题(2015 北高考湖)设等差数列 an的公差为d,前n项和为Sn,等比数列 bn的公比为q.已知=2, q = d, S10 = 100.(1)求数列

22、an, bn的通项公式；an(2)当d1时，记cn= bn,求数列 cn的前n项和Tn.2这三个数b1 = a1，b211 . (2014山东高考)已知等差数列 an的公差为2,前n项和为Sn,且Si , S2, S4成等比数歹U.(1)求数列 an的通项公式；一令bn= ( 1)n 1a 4n，求数列 bn的前n项和Tn.n n + 11.【分析】1得 a 1 = 一22.【分析】3.=22018届高三第二轮复习一一数列答案【真题体验】(第1讲等差、等比考点)设等差数列1,所以a 10-=2设等比数列 a的首项为an119+ 9 =.应选B. an 的公比为qd.由题设知d= 1S = 4S

23、 ,所以 8a + 28 = 4(4a + 6),解84a1 =a3a5= 4(a4 1),aq2x a1q4= 4(a1q3q6 = 4(164 21 x_q3-n(1)a =1),q6- 16q3+ 64= 0273a成等比数列，得 a-2 133n 1 . (2) bn2 2 34 (q3-8)2 =0q31、上.应选C.考点一、等差(比)的基本运算2 7=a a,贝U 2d33a1、一;1d ,即 d = 2a .又 2a12a = 1 ,1所以a1.【分析】此题考察等比数列和等差数列等，联合转变思想即可轻松求解等比数列的公比，从而求解等比数列的通项公式.由3S11 =3n32S成等差

24、数列，得 4S = 3S+ S ,即 3S 3S= S S ,23a = an= a1q2.【解】 此题主要考察等差数列的通项公式与等比数列的前(1)将已知条件中的a , S用首项a与公差d表示，求得 331n项和公式，考察考生的运算求解能力.a , d,即可求得数列 a 的通项公式;1n(2)结合(1)利用条件b1= a1,b4= a 15求得公比,而后利用等比数列的前n项和公式进行计算.设 an的公差为d,则由已知条件得3X29a1+ 2d= 2,即 a1 + 2d =解得a1 = 1,3a1 + 2 d= 2,2, a1 + d = 2,1d= 2，n 1n+ 1故通项公式为由(1)得b

25、1an = 1 +2 ,即 an15+1设 bn的公比为q ,则qa15 =3= b4 =8.b1故 bn的前n项和n b1 _( 1 -qn) = 1- ( 1 - 2n)11 一 q1 - 2考点二、等差(比)的证明与判断2n 1.【典例1】解：(1)设 an的公比为q ,由题设可得a1(1 q) 2,解得q 2, a12 a2 (1 q q2 ) 6.故 an 的通项公式为an ( 2) n(2)由(1)可得 Snai(1 qn )二(1)n211 q 33因为Sn 2 Sn 14 ( 1)n 2n 3-2n 2332 -2 ( 1)n 212 2Sn,故 Sn 1 , Sn , Sn

26、2 成等差数列 33证明：由 an+2= 2a n + 1 a n+ 2 得an+ 2 - an +1= an+1 an + 2,即 bn+ 1 = bn + 2.又 b= a2 a1=1,所以 bn是首项为1,公差为2的等差数列.(2)由(1)得 bn= 1 + 2(n - 1),即 an+1 an= 2n - 1. )= S (2 - 1),于是 一所以 an+ 1 a1 = n2,即 an+ 1 = n + a1.又 a1nn 2-2n+ 2.=1 ,所以a 的通项公式为a = n考点三、等差(比)数列的性质命题角度一与等差（比）数列的项相关的性质【分析】（1）此题主要考察等比数列的基本

27、观点、基本运算与性质，意在考察考生的运算求解能力.因为 a1（1 + q2 + q4）= 21 , a1 = 3,所以 q4+ q2 6= 0,所以 q2= 2（q2 =- 3 舍去），2,a3+ a5+ a7= q （a+ a3 + a5）= 2 x 21 = 42.应选 B.（2）此题主要考察等差卜数列的性质am+ an= ap+ aq.由 S10= 12 得 a1a10X10 =所以a1命题角度二12, 210 ，所以 a5612+ a = 5+ a= 5.应选 a.与等差（比）数列的和相关的性质【分析】（1）在等比数列 an中，S2, S4 S2, S6 S4也成等比数列，故=3（ S

28、6 15）.解得 S6 = 63.应选 C.(S4 S2)2= S2(S6 S4),则(15 3)2(2) ; 3(a3+ a5)+ 2(a7+ a10 + a13) =24,6a4 +6a10 = 24,a4+ a10= 4,13( a 1 a 1313( a4+ a10)= S13=13x 4二.【分析】.【分析】.【分析】26.应选B.小/日针对训练由 a + a + a + a +a =25 得 5a=25,所以3456755a4a5a7a8= a4a8 - a5a7= (a4a8)2= 256.【答案】 256: a10an + a9a12= 2e5, 二 a10 , an = e5

29、, In a + In a2 +a =5,故 a + a = 2a = 10.285+ ln a20= 101n(a10 an)= 10 Tn e5= 50.【稳固训练】一、选择题数列 a n为等差数列,a1 +a3+ a5= 3a3= 3,a3= 1,S5 =5（期）=5 5 2a3 = 5.【答案】2【分析】.【分析】.【分析】3X 2由题知 3a1+2 d = 12, a1= 2,解得 d = 2,又 a6= aI+ 5d , . a6= 12.应选 C.2由等比数列的性质得， a3 - a9= a6中0,所以a3, a6, a9必定成等比数列.应选 D.由题意知 2212(4a +4X

30、3a = 一2141= a11选D.5.【分析】是公差为=1的等差数列，其前所以b4= 9,将an aa+1 = an an+1两边同时除以anan+1 可得 1 1 =1,即 bn +1-bn=1 ,所以 bn!an+ 1 an9 ( b1+ b9)9 项和为 =90,所以 b1+ b9= 20,将 b9= b1+ 8d= b1 +8,代入得 b1= 6, 2二、填空题6.【分析】设等差数列的首项为依据等差数列的性质可得,a + 2 015 = 2X11 010 ,解得 a = 5.17.a a = 8,2 39,则a12 9x + 8= 0的两根，故a = 11 a = I48.a1 =

31、8,a = 1.4.数列aa1 = 1,a = 8.4可得公比q = 2,前n项和S1.,=2等差数列的前项和为。I n ( n 1) d 2Sn,贝！J S n - na1+d = n + (a1 2，对称轴介于7.5与8.5之间,d222-=7即7.5 2 8.5,解得1 d 7【答案】d 2)n = n + (7 2T,d )n,对称轴为2b6 = 11 ,所以 b4b6= 99.应选 B.三、解答题. m (1)设数列 an的公比为q, . an为等比数列，a4= q3= 8,. q= 2,. an= 2X 2n 1 =2n. a1(2)设数列 bn的公差为 d, Vb3= a3= 2

32、3= 8, b5= a5 = 25= 32 ,且 bn等差内列,. b5- b3= 24= 2d,d= 12,b1 = b3- 2d = - 16,Sn=- 16n + n n 1 乂 12= 6n2-22n. 210、【解】(1)设数列 an的公差为d,依题意，2, 2+ d, 2+ 4d成等比数列，故有(2+ d) 2= 2(2 + 4d),化简得d2 4d = 0,解得d = 0或d = 4.当d = 0时，an =2；当d = 4时，an = 2 + (n 1) ,4=4n 2,从而得数列an的通项公式为an=2或an =4n 一 2.(2)当 an=2 时，Sn= 2n.明显 2n

33、60n + 800建立.n2+( 4n-2)当 an= 4n 2 时，Sn = 2n2.令2n2 60n + 800 ,即n2- 30n400 0 ,解得n40或n60n+ 800建立，n的最小值为 41.综上，当an= 2时，不存在知足题意的n；当an= 4n - 2时，存在知足题意的n,其最小值为41.11 .【解】证明：因为2an 1= 2an+1 an = 2d(n = 1, 2, 3)是同一个常数，所以 2a1, 2a2 , 2a3, 2a4挨次n组成等比数列.(2)不存在，原因以下：令 a1 + d = a ,则 a1, a2 , a3, a4 分别为 a d, a, a+d, a

34、+ 2d(a d, a 2d , d 中 0).,、.，234假je存在a1，d,使得a1，a2, a3, a4挨次组成等比数列，则 a4= (a d)(a + d)3,且(a+ d)6= a2 (a+ 2d)4 .令 t=,则 1 = (1 - t)(1 +t)3,且(1 + t)6= (1 + 2t)4 - 1 t 0,则 a + a 0 HYPERLINK l bookmark35 o Current Document 1223B.若 a1 + a3V 0,贝U a1 + a20C.若 0 a a a ”1221 3D .若 aK 0,则(a2 a1 )(a2 a3) 0【分析】若 an

35、是递减的等差数列，则选项 A、B都不必定正确.若 an为公差为0的等差数列，则选项D不正确.关于 C选项，由条件可知 an为公差不为0的正项数列，由等差中项的性质得a2= a1+ a3,J2 由基本不等式得a1 a3a1a3,所以C正确.22. (2015武汉模拟)已知等差数列 an的前n项和为Sn , a5 =5, S5= 15,则数列100A.10199C.100【分析】= a5= 5101D. _100设等差数列S5 =15,a1 + 4d = 5,5a +二 an = a1 +d=1， 1n n 1 a a100=1n (n+ 1)3-(2紫5列需言限等差数列B.99101 an的首项

36、为a1，公差为d.(n 1)d = an中,n.厂数列a2= 4+ 的前100n 1项和为()11 的前100项和为11+1 n n 1223a aa4+ a7= 15.1 一 1 =1001011 1 =101【答案】 Cn设 bn= 2an- 2 + n,求 b+ b2+ b3+ + b10 的值.m (1)设等差数列 an的公差为d.a1 + d= 4,由已知得(a1 + 3d) + ( a1 +6d) = 15,ai = 3,解得d = 1.所以 an = ai + ( n 1)d = n + 2.由(1)可得bn= 2n+ n,所以 bl + b2+b3+ bi0= (2+ 1) +

37、 (22+ 2)+ (2 3+ 3) + + (210+ 10)=(2+ 22+ 23+ 210)+ (1 +2+ 3+ + 10): 2X (1 210) + ( 1+ 10) X 10221= 211+ 53=2 101.1.当 n = 1 时，S1 = a1 = 1,所以 S11 口所以 一 是以一2.时,当n2时,一得:r 1即1 n11.一 二1.因为a十n 1 = Sn1为首项，1为公差的等差数列,13a1= 3X1+ 1 ,所以D：a1= 121a1 + - 2a2+-nnan3nan =3na = 3,所以 a所以1 + nan =3(3n+ 1)- 3( n - 1)+1nn

38、+1,综上可得：an=3数列的通项公式（自主研究型）111 - Sn= SnSn 1,所以 Sn1,1即1S = ( 1)+ (n- 1) - (-1)=- n,n3n +1,二-2a2+ +3所以Sn =1 =Sn11n Tan_1= 3(n-1) + 1.31,12, n= 1,3nI n 2.12, 3n+ 13.此题主要考察利用递推数列求数列的某一项，经过研究数列的函数特征来解决.=1.因为a1 = 3,求a2= 1 , as= 2, a4= 3,所以数列 an是周期为3的周期数列,所以 a2 015 = a671 X3 +2= a2数列的前n项和（多维研究型）命题角度一基本数列乞降、

39、分组乞降22in+S = 10 .【典例11 （1）设数列 an的公差为d,数列 bn的公比为q,则由5 - 2b2= a 3q+ 6+ d= 10,得3+ 4d-2q= 3 +2d,d = 得q=2,2,所以an = 3 +2(n- 1)= 2n+ 1, bn= 2n- 1n为奇数,由a1=3,nna = 2n + 1 得 S =n(n + 2),则 cnn (n+ 2)2 1, n为偶数,1- 1- , n为奇数, 即 cn = n + 22n I n为偶数，T2n= (C1 + C3+ C2n-二十1) + (C2+ C4+ C2n)1-33 52(1 4n)=1-r+1 12n- 1

40、2n + 12n+ (2+ 23 + 22n-12,、+ ( 4n 1) .2n+ 11 - 4 2n+ 13命题角度二裂项相消法乞降【典例2 (1)由题设知a1 a4= a2 a3= 8,a1 = 1.a1 = 8又a1+ a4= 9,可解得或(舍去).a48a4 = 1设等比数列 an 的公比为q,由a4= a1q3得q = 2,故an= a1qn1= 2n- 1Sn =a1 (1 qn) = 2n 1,又 man+1所以 Tn= b1 + b2+ bn =Sn1一 SnS4n1:11+1 n 1Sn 1211命题角度三错位相减法乞降典例3】(1)设数列 an的公比为q,数列 bn的公差为

41、由已知，有(1+ d) + ( 1 +2q) = 2q,2q2- 3d= 2,q 0.q4- 3 (1+ d)=又因为q 0,解得q= 2,所以7, d =消去d,整理得q4- 2q2 8 = 0.所以数列由(1)有cSn= 1 Xn2S =1X2 an的通项公式为 nn= (2n 1) - 220+ 3X 21+ 5X12+ 3 x 2an= 21 ，设 Cn22 +33d= 10,2.n-1+ (2n 的前n项和为3)X 2n-n 1+ 5X 2 + (2n - 3) x 2数列 bn的通项公式为，则n2+ (2n- 1)x 2n- 1,n+ (2n - 1)X2 ,bn= 2n- 1 ,

42、 n N* .上述两式相减，得Sn= 1 +22 +23+ +3,所以，Sn=(2n 3)2n- (2n 2n+ 3,-1)x 22n+ 1 - 3- (2n - 1)x 2n=- (2n - 3) x 2n-针对训练1.【解】(1)当n= 1时,当 n 2 时，an n=S -S故数列 a n的通项公式为a 1S1 n2+ n1；(n -1) 2+ ( n- 1)n.=2an= n.由(1)知，b + 2n).2n+ (-1)nn.记数列 bn的前2n项和为T2n,贝 U T2n= (21+ 22 +2n+ 2)+ ( 1 + 2-3+ 41记 A= 2 + 2 +2 ( 1- 2A=22n

43、2nB = 1+2- 3+ 4 + 2n,则+12,1- 2B =2.(1+ 2) + ( 3 + 4) + + -(2n- 1)+ 2n = n.故数列 b 的前 2n项和T+ 1 , _2 n2n + n=A + B = 22.【解】(1)设数列 an的公差为d.令 n =1,得所以a1a2 =3.令 n= 2,得 +1 2所以解得a1 = 1,由(1)知b = 2n - 2所以Td= 2,所以 nn21 =1+2 - 42 +1 223an = 2n 1.n- 4.n = 14所以4Tn= 1- 42+ 2 - 43 + n 4n两式相减，得3Tn= 41+ 42+ + 4nTn jn

44、+ 1+4= 4 (3士十4n十 n【典例4】11 2a2a3 = 15.4 ( 1- 4n)1=1 41 3n十4n数列的综合应用(师生共研型)由 Sn2 (n2+ n1)Sn (n2 + n)= 0,得Sn (n2+ n)( Sn+1) = 0.因为 an是正项数列，所以 Sn 0, Sn =于是a11S = 2, n一时,an综上，数列 an 的通项公式为n n=S -Sa n 2n.n2+ n.2+ n -(n-1)2 (n- 1)= 2n.证明：因为an= 2n , b n =n12 2(n+ 2) an则bn 4n2所以Tn+ 1(n+2)1 1 -二F16 n二2-1(n+ 2)

45、 2 .+工321一 +52+1 1(n-1) 2(n+ 1) 21+2(n+1) 2 (n+ 2) 2 v16*1+22 = 64变式:(1)证明:= an+ 12a + 1，.二 a1 = 2an+ 1,化简得n+ 1an1a=2 +n+ 112 annF-an = 2T故数列 an 是以1为首好 a2为公差的等差数列.(2)由(1)知 1 = 2n- 1 an1+ 2n-1)Sn =n21 TS11 + +S2n1 =Sn11上+2+ +1 22k +1X2 2 x 3+ 1=(1 n ( n + 1)4) + (11) + + ( 1)=1 n n+ 11-=n+ 1 n +【稳固训练

46、】、选择题1.【分析】由a3,a与 a 8成等比数列可得:(a1+ 3d)2= (ai +2d) (a1 + 7d),即 3a 1+ 5d = 0,所以所以adv(a1 + a4) X40.又 dS4 =d= 2(2a1+ 3d)d = -2 d232.由题意知【分析】 因为2k-1 ( ka1N*)a n + 1 + 1 = 2(an+ 1), . an+ 1 = (a1 + 1). 5/-2an 1 2+ a n an,1=2，又故数列的前2 015项的和等于 S2 015 = 11, An= 2k (k N* )4.=4.【分析】设bn =nSn+ (n+ 2)an ,有 b1= 4,

47、b2 = 8,则2当 n)2 时，Sn Sn 1+ (1 + n )an (12 ( n+ 1) n+ 1所以-Sn=anan- 1,即 2 =n5.所以 n 是以2为公比,【分析】由题意可得,an 1J11 20.应选n 1- 2所以a2007 X (1 +bn= 4n,+ n -21)an 1 =0,an 1n 1B.n . an= 2 1.【答案】A1a4 = 1 ，即得 an =1为首项的等比数列，所以22a a + 1n-n1an+ 1 =1)+1: 3 021即bn =1 n- 124 an? (2an+ 1 +一 (n 一 1) = 一 n 1? a n =nSn+ (n + 2)a n= 4n ,Sn+ (1 +n)an2, an = 2n- 1.应选A.【答案】A1anan+ 1 + 1) , (2an+1