相似三角形压轴经典大题含问题详解

1、实用文档相似三角形压轴经典大题解析1.如图，已知一个三角形纸片 ABC, BC边的长为8, BC边上的高为6,/B和/C都为锐角，M为AB 一动点(点M与点A B不重合)，过点M作MN / BC ,交AC于点N ,在4AMN中，设MN的长 为x , MN上的高为h .(1)请你用含x的代数式表示h .(2)将4AMN沿MN折叠，使 4AMN落在四边形 BCNM所在平面，设点 A落在平面的点为 A1, AMN与四边形BCNM重叠部分的面积为 y ,当x为何值时，y最大，最大值为多少?【答案】解：(1) ；MN / BC.AMN ABCh x _ 6 8卜3xh 4； AMNAiMN.A1MN的边

2、MN上的高为h,当点A落在四边形BCNM内或BC边上时， TOC o 1-5 h z 一 1一.1332y =$ amn = _ MN h =-x x =-x (0 x04)22 48当A落在四边形BCNM外时，如下图(4 cx8),设 AEF的边EF上的高为h ,3则 = 2h - 6 = x -62?EF / MN二AEFsjMN； A1MN s ABC 二EF s& ABC标准文案实用文档SEF _ 也 jSa ABC6一一 1f Sa abc = - 6 8 = 242Sz A1EF3公-x -626c 32- c24=x - 12242* y =SzAiMN - SA AiEF33

3、2-x -12x+2412)9 2-x 12x -248所以 y = 9x2 12x -248(4 ： x :二 8)综上所述：当0 x0 4时,3 2y = -x ，取 x = 4 , y 最大=6 8当 4cx8 时，y = 9x28+12x24,y最大，y最大=82.如图，抛物线经过 A(4,0),B(1,0), C(0,2)三点.(1)求出抛物线的解析式；(2) P是抛物线上一动点，过P作PM _Lx轴，垂足为M,是否存在P点，使得以A, P, M为顶点的三角形与AOAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由;标准文案实用文档【答案】解:(1) 丫该抛物线过点C

4、(0,2),二可设该抛物线的解析式为2y = ax + bx 2 .将 A(4,0), B(1,0)代入,16a 4b -2 =0, a b -2 =0.解得1252 1 25J.此抛物线的解析式为 y = x2 +-X-2.22(2)存在.如图，设P点的横坐标为m,1 c 5则P点的纵坐标为一一m +m-2, 22当1 cm 4时，125-AM =4m, PM = m +-m2. 22又；/COA=/PMA =90 ,二当AM AO 2 2PM OC 1 APM s/XACO,|m-2解得门=2, m2 =4 (舍去)，- P(21).AM OC 11 o 5当=一时， APM s CAO

5、,即 2(4 m) = 一 m 十 一 m 2 .PM OA 222解得m1 =4 , m2 =5 (均不合题意，舍去) ,二当 1 m 4时，P(5,2).当 m1 时，P( -3, -14).标准文案实用文档综上所述，符合条件的点 P为（2,1）或（5,2）或（3,14） .83.如图，已知直线i1：y = x+8与直线12: y = 2x+16相交于点C, 11、12分别父x轴于A、B两点.矩 33形DEFG的顶点D、E分别在直线11、12上，顶点F、G都在x轴上，且点G与点B重合.（1）求4ABC的面积；求矩形DEFG的边DE与EF的长；（3）若矩形 DEFG从原点出发，沿 x轴的反方

6、向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t（0wtw 12）秒，矩形DEFG与 ABC重叠部分的面积为 S,求S关于t的函数关系式，并写出相应的8【答案】（1）解：由一x+=0/l1x = yL； A点坐标为（4,0）.3由2x+16 = 0,得 x=8 ; B 点坐标为（8,0 ）.AB =8-1-4 =12.由 y=2x由7 3y =2x 16.8+ -，丘/口 仅=5,3解得iy =6C点的坐标为(5,6). TOC o 1-5 h z 1Sa ABC = AB,C =- 12 6 =36. HYPERLINK l bookmark34 o Current Document 22八8

7、八(2)解：,一点 D 在 1i 上且 Xd = Xb =8,，yD = 父 8 +- = 8.33D点坐标为(8,8 )又,一点 E 在 12上且 yE = yD =8,，- 2xE +16 =8.二 xE = 4.E点坐标为（4,8 ）. OE -8-4 =4, EF =8.（3）解法一：当00t 223即s-M .0丝 333当 3Et 3).动点乂，N同时从B点出发，分别沿Bt A, Bt C运动，速度是1厘米/秒.过M作直线垂直于 AB ,分别交AN , CD于P, Q,当点N到达终点C时，点M也随之停止运动.设运动时间为 t秒.(1)若a =4厘米，t=1秒，则PM=厘米；(2)若

8、a =5厘米，求时间t,使APNBAPAD ,并求出它们的相似比；(3)若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围；(4)是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN ,梯形PQDA ,梯形PQCN的面积都相等？若存在，求 a的值；若不存在，请说明理由.【答案】解:4t =2,使PNBspad ,相似比为 3: 2标准文案实用文档：PM，AB, CBAB, /AMP =/ABC , AMP ABC，二 PMBN随即四AB t& t(a-1)=3 当梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，即(QP AD)DQ (MP BN)BM3-t(a 一”

9、3 (a -1) I -(a -t) t t化简得6at 二6 a；t3, a -6a- 3,则 a6,.3a 6, 6 a；3a06时梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，梯形PQCN的面积与梯形 PMBN的面积相等即可，则 CN = PM-(a-t)=3-t,把 t =与代入，解之得 a = 2j3,所以 a = 2j3 .a6 a所以，存在a,当a=2j3时梯形PMBN与梯形PQDA的面积、梯形 PQCN的面积相等.如图，已知 ABC是边长为6cm的等边三角形，动点 P、Q同时从A、B两点出发，分别沿 AB、BC匀速运动，其中点 P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s,当点

10、Q到达点C时，P、Q两点 都停止运动，设运动时间为 t (s),解答下列问题：(1)当t=2时，判断 BPQ的形状，并说明理由；(2)设 BPQ的面积为S (cm2)，求S与t的函数关系式；(3)作QR/BA交AC于点R,连结 PR,当t为何值时， APRAPRQ?【答案】解：(1) BPQ等边三角形,当 t=2 时,AP=2X 1=2,BQ=2X 2=4,所以 BP=AB-AP=6-2=4，所以 BQ=BP.又因为/ B=600,所以 BPQ是等边三角形.(2)过 Q作 QH AB,垂足为 E,由 QB=2y,得 QE=2t sin60 0= J3t,由 AP=t,得 PB=6-t,113

11、o所以 SA BPQJxBPX QE=1 (6-t) X J3t=3t2+3v3t;(3)因为 QR/ BA,所以/ QRC= A=60, / RQC= B=60,又因为/ C=600,所以 QRB等边三角形，所以 QR=RC=QC=6-2t因为 BE=BQ cos600=- X 2t=t,2标准文案实用文档所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP/ QR,EP=Q即以四边形 EPR址平行四边形,所以 PR=EQ=3t,又因为/ PEQ=90,所以/ APRW PRQ=90.因为 APK PRQ,所以/ QPR= A=60,所以 tan60 = QR ,即二21 = J3 ,

12、所以 t= , PR 、3t .5所以当t=6时，AP4 PRQ 5.在直角梯形 OABC 中，CB/OA, /COA = 90o, CB=3, OA=6, BA=3a/5.分别以 OA、OC 边所 在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系.（1）求点B的坐标；（2）已知D、E分别为线段 OC、OB上的点，OD = 5, OE=2EB,直线DE交x轴于点F,求直线 DE的 解析式；（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在 x轴上方的平面内是否存在另一个点N.使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.（第总翦尼11（7 分）解；作用U上轴

13、点乩则四边形川协为矩形. TOC o 1-5 h z 7. OH 匕4 3. （I 步）K ,加=5 -fW6 - 3-3.住地A4A”中.BH-=. （2:* 点时的坐尿为（轧6. * （3分）作以，1工轴点心期制;/町；* OECiAHHH. （4二明明空心aGEB off t）n ifir x-血.OE 2,2 OG ECdw 3 * 于 于=不*，06 = 2. AT 7， 点一的嘴怀为（ 4）,（5分）士:.点.办的电林为（L S）.设口线灰的斛折式为F叫窜I* *2;二门线月的新机式为； 一 ：*5.标准文案实用文档(.3 BfE * illB !B * * 4* T - TDT-

14、BWWB 丁，T ! ! I W：q!. B-pflV4iq 髯吊如榭I.当FJ = M=M方一包=5时，四边形MIM为菱形一-M.h Mt F点凡 则耨巴/MPAAf叫VT P_ Mn，市 (fl) - F)r当+ =0 时，* Jt+SsO, =/的宝标为(tn, 0),/. of . io在出白川“中/、Oil + Oi-、? *ioi ； - 5.VP -2/5,户门=5 二 点V的里除为(C& 5 7句，点 的里标为(-2 6,月)* -V如图 2, ，l1- AW = f() -5 BJ.四选 开”“八为差号.城长看廿文于点/1. HJ MP 1( tfl.飞点M在已线y -第*s

15、 J:* 设H点坐标为(a. - /in * S . ft：阳川 中，i lJi -Q! 10 分)明她把u*;2j蝌得* =工=0 (舍去),二 点w的坐标为(4. 3),， 启 川的坐t|；为(4,8(2分)3如图，*蟆力=。 =； 讨.四 辿后以八为芟形.连接,交M点匕VW)丘树垂立下分、I男疆独出31点 )的坐林为(-5” /)海I所述* *辐匕方的点*471个,分别为V, ( -2 3+仔), V.(4+ R),.7.在图15-1至图15-3中，直线 MN与线段AB相交 于点 O, Z 1 = Z2 = 45 .(1)如图15-1 ,若AO = OB,请写出 AO与BD 的数量关系和

16、位置关系；(2)将图15-1中的MN绕点O顺时针旋转得到图 15-2,其中 AO = OB .求证：AC = BD, AC，BD;(3)将图15-2中的OB拉长为 AO的k倍得到A 1 B图15-3,求里的值.AC【答案】 解：(1) AO = BD, AOLBD;标准文案C图7-3实用文档(2)证明：如图 4,过点 B 作 BE/ CA 交 DO 于 E,/ ACO = / BEO.又AO = OB, Z AOC = /BOE,AOC 9 BOE. AC = BE.又/ 1 = 45 ,. ACO = / BEO = 135 . ./ DEB = 45.1. Z 2 = 45 , BE = BD, / EBD = 90 .AC = BD. 延长 AC交DB的延长线于 F,如图4. / BE/ AC, ./ AFD = 90 . AC BD .(3)如图 5,过点 B 作 BE/CA 交 DO 于 E,/ BEO = / ACO.又. / BOE = / AO