人教B版（2019）必修第四册第十一章 立体几何初步 本章小结 学案（Word版无答案）

1、第十一章 小结一、教材内容分析本节课主要复习平面的基本事实与推论、直线与平面、平面与平面的平行及垂直关系的判定、性质定理及其简单应用。线、面的垂直关系是空间位置关系中的核心内容之一，是线面关系中特殊而且重要的一种位置关系，是平面内平行、垂直关系的拓展，是学生进一步研究空间距离和夹角的基础，在教材中起到了承上启下的作用。同时，线、面关系中特殊而且重要的一种位置关系，是平面内平行、垂直关系的拓展，是学生进一步研究空间距离和夹角的基础，在教材中起到了承上启下的作用。同时，线、面垂直关系的转化，能较好的培养和提高学生的转化意识和能力，对学生的空间想象能力的提高有举足轻重的作用。二、教学目标通过实例进一

2、步掌握平面的基本事实与推论，用平面的基本事实正面点共线、线共点、点线共面三个典型问题通过实例进一步掌握空间中线线、线面、面面平行关系的相互转化和综合应用，掌握空间问题和平面问题的转化通过实例进一步掌握空间中线线、线面、面面垂直关系的相互转化和综合应用，掌握空间问题和平面问题的转化三、教学重点、难点重点：空间中线线、线面、面面平行关系的相互转化和综合应用、线线、线面、面面垂直关系的相互转化和综合应用难点：空间问题和平面问题的转化四、教学方法讲练结合考点1：截面、共点、共线、共面问题如图，在空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且.（1）求证：四点共面；（2）设与交于点，求证：三点共线.【变式练习

3、】如图所示的几何体中，且，.求证:直线，相交于同一点.例2如图，在正方体中，是的中点，画出过点，的平面与平面的交线，并说明理由.【变式练习】在棱长为4的正方体中，点分别为的中点，则过三点的平面与正方体各个面的交线组成的平面多边形的面积为（ ）ABCD【解题方法】1.平面的基本性质的应用公理1是判断一条直线是否在某个平面内的依据，公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据，公理3是证明三线共点或三点共线的依据.2.证明点共线问题的常用方法（1）公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在交线上；（2）同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在

4、该直线上.3.证明线共点问题的方法,先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点.4.证明点、直线共面问题的常用方法（1）纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；（2）辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面，重合.考点2：空间中的位置关系例3. 设m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题中，正确的是（ ）A若m，n与所成的角相等，则m/n B若，m/，则mC若m，m/，则 D若m/，n/，则m/n【变式练习】设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则考点3：空间中的平行关

5、系例4.如图，在三棱台DEFABC中，AB2DE，点G，H分别为AC，BC的中点求证：BD平面FGH.例5. 如图，四棱锥PABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2eq r(17).点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH平面ABCD，BC平面GEFH.(1)证明：GHEF；(2)若EB2，求四边形GEFH的面积例6. 如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形(1)证明：平面A1BD平面CD1B1；(2)若平面ABCD平面B1D1C直线l，证明：B1D1l.【解题方法】1线线、线面、面面平行间的转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，

6、要注意它们之间的灵活转化2直线与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)面面平行的性质3平面与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a，a.考点4：空间中的垂直关系例7.如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点证明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.例8.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1.求证：(1)直线DE平面A1C1F；(2)平面B1DE平面A1C1F.例9. 如图，在三棱锥ABCD中

7、，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EFAD.求证：(1)EF平面ABC；(2)ADAC.【解题方法】1证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义：a与内任何直线都垂直a；(2)判定定理1：eq blc rc(avs4alco1(m、n，mnA,lm，ln)l；(3)判定定理2：ab，ab；(4)面面平行的性质：，aa；(5)面面垂直的性质：，l，a，ala.2证明线线垂直的方法(1)定义：两条直线所成的角为90；(2)平面几何中证明线线垂直的方法；(3)线面垂直的性质：a，bab；(4)线面垂直的性质：a，bab.3证明面面垂直的方法(

8、1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a，a.4转化思想：垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决考点5：空间角的计算例10.如图，二面角的大小是60，线段.，与所成的角为30.则与平面所成的角的正弦值是 .例11. 已知三棱柱的所有棱长均相等，侧棱平面，过作平面与平行，设平面与平面的交线为，记直线与直线所成锐角分别为，则这三个角的大小关系为( )ABCD例12.已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）设SE与BC所成的角为，SE与平面ABCD所成的角为，二面角

9、S-AB-C的平面角为，则（ ）BCD【解题方法】1.求异面直线所成的角的一般步骤(1)找出(或作出)适合题设的角用平移法,遇题设中有中点,常考虑中位线;若异面直线依附于某几何体,且直线对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,使异面直线转化为相交直线.(2)求转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角.(3)结论设由(2)所求得的角的大小为.若090,则为所求;若90180,则180-为所求.2. 求直线和平面所成角的步骤:寻找过斜线上一点与平面垂直的直线;连接垂足和斜足间得到斜线在平面上的射影,斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角;把该角归结在某个三角形中,通过解三角形

10、,求出该角.3. 方法一(定义法):在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图所示,AOB为二面角-a-的平面角.方法二(垂线法):过二面角的一个面内的一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的垂线,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.如图所示,AFE为二面角A-BC-D的平面角.方法三(垂面法):过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即二面角的平面角.如图所示,AOB为二面角-l-的平面角. 第十一章测试题一、单选题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知空间中不

11、过同一点的三条直线m,n,l,则“m,n,l在同一平面”是“m,n,l两两相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.下列说法不正确的是()A.空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B.同一平面的两条垂线一定共面C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一平面内D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直3.已知圆锥的底面半径为1,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的体积为()A.B.C.D.4.如图所示,有一个圆柱,在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁,它想吃到上底面的点B处的食物.当圆柱的高等于12 cm,底面

12、半径为3 cm时,蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程是(=3)()A.12 cmB.13 cmC.15 cmD.18 cm5.设,为两个平面,则的充要条件是()A.内有无数条直线与平行B.内有两条相交直线与平行C.,平行于同一条直线D.,垂直于同一平面6.如图,在矩形ABCD中,EFAD,GHBC,BC=2,AF=FG=BG=1,现分别沿EF,GH将矩形折叠,使得AD与BC重合,则折叠后的几何体的外接球的表面积为() A.B.C.6D.247.如图,点N为正方形ABCD的中心,ECD为正三角形,平面ECD平面ABCD,M是线段ED的中点,则()A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BMEN,

13、且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BMEN,且直线BM,EN是异面直线8.设三棱锥V-ABC的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱VA上的点(不含端点),记直线PB与直线AC所成角为,直线PB与平面ABC所成角为,二面角P-AC-B的平面角为,则()A.,B.,C.,D.,二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.设l为直线,是两个不同的平面,下列命题中错误的是()A.若l,l,则B.若l,l,则C.若l,l,则D.若,l,则l10.如图,在

14、三棱锥P-ABC中,已知PCBC,PCAC,点E,F,G分别是所在棱的中点,则下面结论正确的有()A.平面EFG平面PBCB.平面EFG平面ABCC.BPC是直线EF与直线PC所成的角D.FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角11.如图,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,点P在面对角线AC上运动,则下列结论正确的为()A.D1P平面A1BC1B.D1PBDC.平面PDB1平面A1BC1D.三棱锥A1 -BPC1的体积不变12.如图,在四棱锥S -ABCD 中,底面ABCD 为正方形,且SA=SB=SC=SD ,其中E,M ,N分别是 BC,CD,SC 的中点,动点P在线段MN上

15、运动时,下列结论正确的是()A.EPACB.EPBDC.EP平面SBDD.EP平面SAC三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.湖面上漂着一个小球,湖水结冰后将球取出,冰面上留下一个直径为12 cm、深2 cm的空穴,则该球的半径是cm,表面积是cm2.14.在正方体ABCD-ABCD中,过对角线BD的一个平面交AA于点E,交CC于点F,则:四边形BFDE一定是平行四边形;四边形BFDE有可能是正方形;四边形BFDE在底面ABCD内的投影一定是正方形;平面BFDE有可能垂直于平面BBD.以上结论正确的为.(写出所有正确结论的编号)15.如图所示,以等腰直角三角形ABC斜边BC上

16、的高AD为折痕.使ABD和ACD折成互相垂直的两个平面,则:(1)BD与CD的关系为;(2)BAC=.16.已知ACB=90,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到ACB两边AC,BC的距离均为,那么P到平面ABC的距离为.四、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)如图,已知点E,F,G,H分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,BC,CC1,C1D1的中点,求证:EF,HG,DC三线共点.18.(12分)如图,直四棱柱ABCD -A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,BAD=60,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.(1)证明:MN平面C1DE.(2)求点C到平面C1DE的距离.19.(12分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BEEC1.(1)证明:BE平面EB1C1.(2)若AE=A1E,AB=3,求四棱锥E-BB1C1C的体积.20.(12分)如图,已知正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为3,M,N分别为A1B和A