人教A版高中数学选择性必修二《5.1.2导数的概念及其几何意义》教案

1、5.1.2导数的概念及其几何意义 本节课选自2019人教A版高中数学选择性必修二第四章数列，本节课主要学习导数的概念及其几何意义本节内容通过分析上节中，高台跳水问题、曲线上某点处切线斜率的问题，总结归纳出导数的概念，并引出导数的几何意义。导数及其几何意义是本章中的核心概念，它是研究函数的基础。在学习过程中，注意特殊到一般、数形结合、极限等数学思想方法的渗透。课程目标学科素养A.经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数的概念的实际背景B.了解导函数的概念，理解导数的几何意义1.数学抽象：导数的概念2.逻辑推理：导数及导数的几何意义 3.数学运算：求曲线在某点处切线的斜率 4.直观想象：导数的

2、几何意义 重点：导数的概念及其几何意义 难点：导数中蕴含的极限思想和以直代曲的思想方法的理解多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标新知探究前面我们研究了两类变化率问题：一类是物理学中的问题，涉及平均速度和瞬时速度；另一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率。这两类问题来自不同的学科领域，但在解决问题时，都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法；问题的答案也是一样的表示形式。下面我们用上述思想方法研究更一般的问题。 探究1： 对于函数y=f(x)，设自变量x从x0变化到x0+ x，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x+x0)。这时， x的变化量为x，y的变化量为y=fx0+

3、x-f(x0)我们把比值yx，即yx=fx0+x-f(x0)x叫做函数从x0到x0+x的平均变化率。1导数的概念如果当x0时，平均变化率eq f(y,x)无限趋近于一个确定的值，即eq f(y,x)有极限，则称yf (x)在xx0处_，并把这个_叫做yf (x)在xx0处的导数(也称为_)，记作f (x0)或_，即f (x0) .可导； 确定的值； 瞬时变化率； y|eq sdo18(xx0)；eq o(lim,sdo14(x0) eq f(y,x)；eq o(lim,sdo14(x0) eq f(fx0 xfx0,x) 由导数的定义可知，问题1中运动员在t =1时的瞬时速度v(1)，就是函数

4、h(t)4.9t24.8t11.在t =1处的导数h(1) ；问题2中抛物fx=x2线在点P0(1,1)处的切线P0T的斜率k0，就是函数fx=x2在x =1处的导数f(1) ，实际上，导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率，如效率、国内生产总值（GDP）的增长率等。例1 设fx=1x, 求f1. 解：f1=x0limf1+x-f(1)x=x0lim11+x-1x=x0lim-11+x=-1利用导数定义求导数1取极限前，要注意化简eq f(y,x)，保证使x0时分母不为0.2函数在x0处的导数f x0只与x0有关，与x无关.3导数可以描述事物的瞬时变化率，应用非常广泛.跟踪训练1.(1)若函

5、数yf (x)在xx0处可导，则eq o(lim,sdo14(h0) eq f(fx0hfx0h,h)等于()Af (x0) B2f (x0) C2f (x0) D0(2)求函数y3x2在x1处的导数(1)Bx(x0h)(x0h)2h.eq o(lim,sdo14(h0) eq f(fx0hfx0h,h)2eq o(lim,sdo14(h0) eq f(fx0hfx0h,2h)2f (x0)故选B.(2)解：yf (1x)f (1)3(1x)236x3(x)2，eq f(y,x)63x，f (1)eq o(lim,sdo14(x0) eq f(y,x)eq o(lim,sdo14(x0) (6

6、3x)6.跟踪训练2建造一栋面积为x m2的房屋需要成本y万元，y是x的函数，yf (x)eq f(x,10)eq f(r(x),10)0.3，求f (100)，并解释它的实际意义 解根据导数的定义，得f (100)eq o(lim,sdo14(x0) eq f(y,x)eq o(lim,sdo14(x0) eq f(f100 xf100,x)eq o(lim,sdo14(x0) eq f(100 xr(100 x)3100r(100)3,10 x)eq o(lim,sdo14(x0) eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,10)f(r(100 x)10,10 x)eq o(lim

7、,sdo14(x0) eq blcrc(avs4alco1(f(1,10)f(1,10r(100 x)10)eq f(1,10)eq f(1,101010)0.105.f (100)0.105表示当建筑面积为100 m2时，成本增加的速度为1 050元/m2. 探究2：我们知道，导数fx0表示函数y=fx在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=fx在x=x0附近的变化情况，那么导数fx0的几何意义是什么？观察函数y=fx的图像，平均变化率yx=fx0+x-f(x0)x表示什么?瞬时变化率fx0=x0limyx=x0limfx0+x-f(x0)x表示什么？2导数的几何意义(1)导数的几何意义如图

8、，割线P0P的斜率k_.记xxx0，当点P沿着曲线yf (x)无限趋近于点P0时，即当x0时，k无限趋近于函数yf (x)在xx0处的导数，因此，函数yf (x)在xx0处的导数f (x0)就是_的斜率k0，即k0eq o(lim,sdo14(x0) eq f(fx0 xfx0,x)f (x0)eq f(fxfx0,xx0)；切线P0T3导函数对于函数yf (x)，当xx0时，f (x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，f (x)便是x的一个函数，我们称它为yf (x)的导函数(简称为导数)，即f (x)y .eq o(lim,sdo14(x0) eq f(fxxfx,x)例4. 如图是高台跳

9、水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h(t)4.9t24.8t11的图像，根据图像，请描述、比较曲线h(t)在t=t0,t1,t2附近的变化情况。解：我们用曲线h(t)在t=t0,t1,t2处的切线斜率，刻画曲线h(t) 在上述三个时刻附近的变化情况（1）当t=t0时，曲线h(t)在t=t0处的切线l0平行于t轴，ht0=0,这时，在t=t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降；（2）当t=t1时，曲线h(t)在t=t1处的切线l1的斜率ht10,这时,在t=t1附近曲线下降，即函数h(t)在t=t1附近单调递减；（3）当t=t2时，曲线h(t)在t=t2处的切线l2的斜率ht20,

10、这时,在t=t2附近曲线下降，即函数h(t)在t=t2附近单调递减；从图可以看出，直线l1倾斜程度小于直线l2倾斜程度，这说明曲线h(t)在t=t1附近比在t=t2附近下降得缓慢。导数几何意义理解中的两个关键关键点一：yf x在点xx0处的切线斜率为k，则k0f x00；k0f x00；k0f x00.关键点二：|f x0|越大在x0处瞬时变化越快；|f x0|越小在x0处瞬时变化越慢.跟踪训练3(1)已知函数yf (x)的图象如图所示，则其导函数yf (x)的图象可能是() A B CD(2)某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输

11、任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如下所示在这四种方案中，运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的是()A B C D思路探究(1)切线斜率大于零，则f (x)0；切线斜率小于零，则f (x)0；(2)要明确运输效率的含义，题设中已经给出运输效率即单位时间内的运输量，因此，运输效率逐步提高就是指Q(t)不断增大(1)B(2)B(1)由yf (x)的图象及导数的几何意义可知，当x0时，f (x)0；当x0时，f (x)0；当x0时，f (x)0，故B符合(2)从函数图象上看，要求图象在0，T上越来越陡峭，在各选项中，只有B项中图象的切线斜率在不断增大，即运输效率(单位时间内的运输量

12、)逐步提高故选B.通过对上节两个基本问题的回顾，引导学生归纳、抽象出导数的概念。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。 通过具体问题的思考和分析，进一步理解导数的意义。发展学生数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养。通过典型例题的分析，帮助学生掌握求解函数导数的基本步骤。发展学生数学抽象、逻辑推理、数学运算和数学建模的核心素养。 通过回顾曲线上某点出割线与切线斜率的问题，归纳出导数的几何意义，并能简单应用。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素通过典型例题的分析和解决，帮助学生理解导数的几何意义，及求曲线上某点处切线斜率的基本方法，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象

13、和数学运算的核心素养。三、达标检测1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yf (x)在xx0处的导数即为在该点处的斜率，也就是kf (x0)()(2)f (x1)f (x2)反映了曲线在xx1处比在xx2处瞬时变化率较大()(3)f (x0)就是导函数yf (x)在x0处的函数值()(4)若f (x0)0，则曲线在xx0处切线不存在()解析： (1)根据导数的几何意义知正确(2)若|f (x0)|越大，瞬时变化率越大，故错误(3)根据导函数的定义知正确(4)若f (x0)0说明曲线在xx0处切线平行于x轴，不能说不存在答案(1)(2)(3)(4)2已知函数yf (x)是可导函数，且

14、f (1)2，则eq o(lim,sdo14(x0) eq f(f1xf1,2x)()Aeq f(1,2) B2C1D1C由题意可得：eq o(lim,sdo14(x0) eq f(f1xf1,2x)eq f(1,2)eq o(lim,sdo14(x0) eq f(f1xf1,x)eq f(1,2)f (1)，即：eq o(lim,sdo14(x0) eq f(f1xf1,2x)eq f(1,2)21.故应选C.3已知yf (x)的图象如图所示，则f (xA)与f (xB)的大小关系是()Af (xA)f (xB) Bf (xA)f (xB)Cf (xA)f (xB) D不能确定B解析：由导数

15、的几何意义，f (xA)，f (xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率，由图象可知f (xA)f (xB)4.若曲线yx2axb在点(0，b)处的切线方程是xy10，则()Aa1，b1 Ba1，b1Ca1，b1 Da1，b1A解析：由题意，知ky|x0eq o(lim,sdo14(x0) eq f(0 x2a0 xbb,x)1，a1.又点(0，b)在切线上，b1，故选A.5已知曲线y2x27在点P处的切线方程为8xy150，求切点P的坐标解设切点P(m，n)，切线斜率为k，由yeq o(lim,sdo14(x0) eq f(y,x)eq o(lim,sdo14(x0) eq f(2xx272x27,x)eq o(lim,sdo14(x0) (4x2x)4x，得ky|xm4m.由