高考数列专题复习精典版知识点+大题分类+选择题+答案详解

1、学习必备欢迎下载文科数列专题复习一、等差数列与等比数列.基本量的思想：常设首项、（公差）比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。转化为“基本量”是解决问题的基本方法。.等差数列与等比数列的联系1）若数列an是等差数列，则数列aan是等比数列，公比为ad,其中a是常数，d是an的公差。60且2金1）；2）若数列an是等比数列， 且an0,则数列loga an是等差数列，公差为logaq , 其中a是常数且a 0,a =1 , q是an的公比。3）若an既是等差数列又是等比数列，则是非零常数数列。.等差与等比数列的比较等差数列等比数列定义an为A Fu an书-an =d(常数)an为G -P

2、uq(常数)an通项 公式an = a1+ (n-1) d=ak + (n-k) d=dn+a1-dn 二nkan =a1q= akq求和 公式n(a1 +an), n(n -1),Sn = na1 +d22d 2d=2 n(a1 )nSn = 1na1(q = 1)a1(1qn)a 一 anq /d1(q/01. 1 -q1 -q中项 公式a +bA=2推广：2an=an+an_ 2.G = ab 八一2推广：an = an-m an -性 质1若 m+n=p+q 贝U am +an =ap +aq若 m+n=p+q ,则 am an =apHq。2若（成A.P（其中心WN ）akn也为 A

3、.P。若0且aw1）.【题型2】与“前n项和Sn与通项an”、常用求通项公式的结合例2 已知数列an的前三项与数列bn的前三项对应相同，且ad 2a2+2&+ 2n1an=8n对任意的nCN*都成立，数列bn+1 bn是等差数列.求数列an与bn的通项 公式。解：ad 2a2 + 2、3+ 2n 1an=8n（nCN ）当 n2 时，2a2+22as+ 2n 2an 1=8（n -1）（n C N *）一得 2n 1an = 8,求得 an = 24 n,在中令 n=1,可得a1=8=24 1,a n= 2 n（n C N ）.由题意知 b1=8, 3 = 4, bs=2,，b2b1=4, b

4、s b2= 2,.数列bn+1bn的公差为一2（4） = 2,，bn+1 bn=4+（n1）X2= 2n 6,法一（迭代法）bn= b1 + （b2一） + （b 3一 bz） + （bn一 bn1） =8+（ -4） + （一2） + （2n - 8）=n2 7n+ 14（n C N ）.学习必备欢迎下载法二(累加法)即 bn bn i = 2n 8,bn- 1 bn-2 = 2n 10 bs- b2= 1 2,b2- bi = - 4, bi= 8,相加得 bn = 8+( -4) + ( - 2)+ - + (2n -8)(n 一 1)( 一4+2n 8)=n 7n+ 14(n C N

5、).小结与拓展：1）在数列an中，前n项和S与通项an的关系为：包=& （n=1）-an = J 11.是重要考点；2）韦达定理应引起重视；3）迭代法、nSn -SnA （n2,n-N）累加法及累乘法是求数列通项公式的常用方法。【题型3】中项公式与最值（数列具有函数的性质）例 3 （文）在等比数列 an中，an 0 （n WN*）,公比 qW （0,1）,且 a1a5+2a3a5+a 2a8= 25, as与as的等比中项为2。（1）求数列 an的通项公式；（2）设bn = log 2 a n, 数列bn的前n项和为S当&+由+ ”,+S最大时，求n的值。 TOC o 1-5 h z HYPE

6、RLINK l bookmark8 o Current Document 12n解：（1）因为 a1a5 + 2a 3a5 +a 2a8= 25,所以，a2 + 2a 3a5 + a2 = 25又ano,a3 + a5=5又a3与a5的等比中项为 2,所以，a3a5= 4一而 q= （0,1）,所以，a3a5,所以，a3= 4, a5= 1, q = a1 = 16,所以， HYPERLINK l bookmark61 o Current Document n45.an =16： -=25（2） bn= log 2 a n= 5 n,所以，bn+1bn=1,所以，bn是以4为首项，一1为公差的

7、等差数列。所以，Sn =迪二1,区=912 n 2所以，当 nW8 时，Sn 0,当 n=9 时，& = 0, n9 时，Sn 0,nnn学习必备欢迎下载当n=8或9时，S1 十运十十员最大。12n2)等差中项与等比中项。小结与拓展：1)利用配方法、单调性法求数列的最值;、数列的前n项和.前n项和公式Sn的定义：Sn=ai+a2+ - an。.数列求和白勺方法(1)(1)公式法：1)等差数列求和公式；2)等比数列求和公式；3)可转化为等差、等比数列的数列；4)常用公式： TOC o 1-5 h z .1工 k =1 +2 +3 +川 +n =n(n +1)；k 12.n o o o o . o

8、 1、k = 123 川 n =_n(n 1)(2n 1)；k 16其中 an是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含 anan 1I I 1一；，阶乘的数列等。如：1) W3和一1= (其中 Qn等差)可裂项为：an an 1 I卜Janan 111111 、，一 、一=(- )；2) -;= = (JO； _ J0J。(根式在分母上时可 an an 1 d an an 1, an - . an 1 d考虑利用分母有理化，因式相消求和)常见裂项公式：111n(n 1) n n - 1学习必备欢迎下载 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark6 o Cur

9、rent Document 11 11 、二();n(n，k)k n n，k1111=_；n(n -1)(n 1)2 n(n 1) (n 1)(n 2)n 11(n - 1)! n! (n 1)! 212常见放缩公式：2( n V _ .n) = _：: _：;: _=2(.n n_1).n -1 . . n ./n ； n- Jn _13.典型例题分析【题型1】 公式法例1等比数列an的前n项和s;n = 2n-p,则a12 +a； +a； +a； =.解：1)当 n=1 时，a1 =2-p ；2)当 n *2时，an =Sn -Su =(2n-p)-(2n-1-p) = 2n-1。因为数列

10、an为等比数列，所以 a1 =2-p = 21-1=13 p=1从而等比数列a为首项为1,公比为2的等比数列。故等比数列：为首项为1,公比为q2=4的等比数列。222.2 _1(1-4 ) _ 1 n 八a1 a2 a3an= - (4 - 1)1-43小结与拓展：1)等差数列求和公式；2)等比数列求和公式；3)可转化为等差、等比 数列的数列；4)常用公式：(见知识点部分)。5)等比数列的性质： 若数列aj为等比数歹U,则数列。:及;也为等比数列，首项分别为a；、,，公比分别ana121为 q、一。 q【题型2】分组求和法例 2 (文 18)数列a。中，a1 =1 ,且点(an, an由)(n

11、 e N*)在函数 f (x) =x +2的图象上.求数列an的通项公式学习必备欢迎下载解：丁点(an, an中)在函数f (x) = x + 2的图象上，an41 = an+2。an + -an =2 ,即数列an是以ai =1为首项，2为公差的等差数列，1- an =1 +(n -1)x2 =2n -1。【题型3】裂项相消法例3 (文19改编)已知数列 匕的前n项和为Sn , a=1, Sn/ = 4an+1,设bn =442an . ( I )证明数列bn 是等比数列；(n)数列g满足 Cn =1 (nW N *)，求 Tn XC12 g3咐4 + cCM 1 nn +。10g2 bn

12、3证明：(I)由于Sn书=4an+1,当 n2时，Sn=4an+1.得an + = 4an -4an j. 所以 an+-2an 2(an -2an).又 bn=an 由2an,所以 bn=2bn.因为 a1 =1,且 a +a2 =4a1 +1 ,所以 a2 =3a +1 = 4 .所以bi =a2-2a1=2.故数列。是首项为2,公比为2的等比数列. TOC o 1-5 h z 11解：(n)由(I)可知 bn =2n,则 cn =1= (nw N ).log 2 bn 3 n 311(n 3)( n 4)Tn =GC2c2c3C3C4 - III - CnCn .1二 -二4 5 5 6

13、11 n= -=.4 n 44(n 4)小结与拓展：裂项相消法是 把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项,an an 1可求和。它适用于C 其中 an是各项不为0的等差数列，C为常数；部分无学习必备欢迎下载理数列、含阶乘的数列等。4.数列求和的方法(2)(5)错位相减法：适用于差比数列(如果 an等差，bn等比，那么anbn叫做差比数列)即把每一项都乘以bn的公比q ,向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。如：等比数列的前 n项和就是用此法推导的.(6)累加(乘)法(7)并项求和法： 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an=(- 1)nf(n)

14、类型，可采用两项合并求。.典型例题分析【题型4】错位相减法例4求数列2,冬,与，、勺，前n项的和.2 22 232n解：由题可知2n2设Sn”)的通项是等差数列2n的通项与等比数列 的通项之积2n1s 24222232n一得【题型5】八2八3八42222n 12222+一 + + . + D(设制错位)2nSn并项求和法234n n 1222221 2n二2 -J _ n 4n 1 HYPERLINK l bookmark18 o Current Document 22n 2(错位相减)例 5求S1OO = 1002 992+ 982 972+ 2212222222解：S100 = 100 -

15、99 +98 -97 + 2 - 1 =(100 + 99) +(98 +97)+ (2 + 1)=5050.归纳与总结以上一个8种方法虽然各有其特点，但总的原则是要善于改变原数列的形式结构，使其能进行消项处理或能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式来解决，只要很好地把握这一规律，就能使数列求和化难为易，迎刃学习必备欢迎下载而解。三、数列的通项公式.数列的通项公式一个数列an的 与 之间的函数关系， 如果可用一个公式 an= f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式.通项公式的求法(1)(1)定义法与观察法(合情推理：不完全归纳法)：直接利用等差数列或等比数

16、列的 定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目；有的数列可以根据前几项观察出通项公式。(2)公式法：在数列an中，前n项和Sn与通项an的关系为：& =（n=1）an =nSn -Sni （n 之2,nWN）(数列an的前 n 项的和为Sn =a1 a2 - in an).(3)周期数列由递推式计算出前几项，寻找周期。(4)由递推式求数列通项类型1递推公式为an=an + f (n)解法：把原递推公式转化为 an书-an = f (n),利用累加法(逐差相加法)求解。类型2(1)递推公式为an = f(n)an解法：把原递推公式转化为 包土 = f (n),利用累乘法(逐商相

17、乘法)求解。an(2)由an噂 = f (n)an和a1确定的递推数列an的通项可如下求得：由已知递推式有 an = f (n1)anq，an=f (n -2)anq ,a2 = f(1)a1 依次向前代入，得an = f (n 1)f (n 2)f (1)a1,这就是 叠(迭)代法 的基本模式。类型3递推公式为an4t=pan+q (其中p, q均为常数，(pq( p-1) = 0)。解法：把原递推公式转化为：an+-t = p(an -t),其中t =q一,再利用 换元法转1 - p学习必备欢迎下载化为等比数列求解。3.典型例题分析【题型11周期数列二小1、2an , (0 W an W

18、)若数列an 满足an书=，若a112an -1,(- On 0 , an0,an +an0. an -anI=nan =ai （a2 a1）（a3 a2 （an an4） =1 2 3 n =2【题型7】构造法：3）构造商式与积式构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法例7 数列% J中，a1 =L,前n项的和Sn =n2an ,求an4r.2解：an 二Sn -Sn4, n2an -（n -1）产（n2 -1电=（n -1）2an7学习必备欢迎下载 TOC o 1-5 h z ann -1=,amn 1an an J . a2 n -1 n -2111一 an 二

19、a1二二二二-anaa1n 1 n 3 2 n（n 1）. 一1. , an 1 （n 1）（n 2）【题型8构造法：4）构造对数式或倒数式有些数列若通过取对数， 取倒数代数变形方法， 可由复杂变为简单， 使问题得以解 决.例8设正项数列 1荫足a1 =1, an =2a2/（n2）.求数列Qn的通项公式.解：两边取对数得：10g2n =1+2log2n10g2n+1 =2（log ；1+1）,设 bn=logan+1, 贝U bn =2bn也是以2为公比的等比数列,b1 =1og2+1 =1. TOC o 1-5 h z n 1 n 1 n J.ann 1an on 12 一bn =1 父2

20、=2 , log 2 +1 =2 , log 2 =2 1, . . an = 2数列选填题（高考题）1、（2014年高考重庆卷 文2）在等差数列an中，a1=2, a3+a5 =10 ,则a7 =（）A. 5B. 8C . 10D. 141、解：:数列an是等差，a3 +a5 =10 , ： a4 = 5 , a7 = 2a4 -a1 =8 ,二选 b.2、（2014年高考天津卷 文5）设an是首项为a1,公差为1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1, S2, S4成等比数列，则a1=（）A. 2B. -2C. 1 D .-222、解：;古n是首项为a1,公差为一1的等差数列，Sn为其前n项和,又丁 S1, S2, S4成等比数列,、22(a1 +a2) = a1 (a1+a2+a3+a4),即(2a1 一1)=a1（4a1 6） ,-1、，解得a1 =,：选d 23、（2014年高考新课标2卷 文5）等差数列an的公差为2,若a2, a4, a8成等比数列，则（an学习必备欢迎下载的前n项Sn =（n n 1 n n -1a . n n 1 b. n n -1c. d.223、解：;等差数列an的公差为2,且a2, a4, %成等比数列，：a/=a2a8,2即（a1 +6） = （a1 +2） （a1 +1