高考数学考题复习之数形结合思想

1、新课标高三数学（人教版）第二轮复习专题讲座第一讲数形结合思想一.知识探究：数形结合作为一种重要的数学思想方法历年来一直是高考考察的重点之一。数形结 合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法 简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决 数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它 是数学的规律性与灵活性的有机结合。这种思想方法体现在解题中，就是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与 直观的几何图象有机结合起来思索，

2、促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范 图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决。.数形结合的途径（1）通过坐标系形题数解借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化。这一方法在解析几何中体 现的相当充分（在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考察的）；值得强调的是，形题数解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧（这是因为三角公式的使用， 可以大大缩短代数推理）实现数形结合，常与以下内容有关：实数与数轴上的点的对应关系；函数与图 象的对应关系；曲线与方程的对应关系；以几何元素和几何条件为背景，建立起来 的概念，如复数、三角函数等；所给的等式

3、或代数式的结构含有明显的几何意义。如等式（x-2）2 （y -1）2 = 4（2）通过转化构造数题形解许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化.例如，将 a 0 与距离互化，将 a2与面积互化，将 a2+b2+ab=a2+b2 2 a|b cos8（8 =60域日=120）与余弦定理沟通，将 abc 0且b+ca中的a、b、 c与三角形的三边沟通，将有序实数对（或复数）和点沟通，将二元一次方程与直线、将 二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等.这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形（平面的或立体的）。另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一， 正是基于

4、此，函数思想和数形结合思想经常借助于相伴而充分地发挥作用。.数形结合的原则（1）等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞 有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直 观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导。(2)双向性原则在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅 相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难 行得通的。例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时 候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题

5、简单化。(3)简单性原则就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法、或者兼用两种方法来叙 述解题过程，则取决于那种方法更为简单.而不是去刻意追求一种流性的模式一一代数问 题运用几何方法，几何问题寻找代数方法。二.命题趋势纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题， 可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。三.例题点评题型1:利用数轴、韦恩图解决集合与函数问题例 1. （ 1） （2003 上海春，5）已知集合 A=x|冈 W2, xCR, B=x|xa,且 A,B,则实数a的取值范围是 (2) (1999全国，1)如图所示，I是全集，M、P、

6、S是个子集，则阴影部分所表示的集合是()A. (MAP) A SB. (MAP) USC. (Mn P) n U|SD. (MAP) U b IS解析：（1） aw 2;. A=x|-2xa,又 AC B,利用数轴上覆盖关系，因此有a 2.(2) C;由图知阴影部分表示的集合是 MAP的子集且是C|S的子集，故答案为C。点评：本题主要利用数轴、韦恩图考查集合的概念和集合的关系。例2. (1) (06重庆卷)如图所示，单位圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y=f(x)的图象是()(2) ( 06 浙江卷)对 a,bw R,记 max|a,b|= :a,a

7、 芝 b ., 、_函数 f(x) = max|x+1|,|x 2|(x R)b,a b的最小值是解析：(1)如图所示，单位圆中 AB的长为x, f(x)表示弧 AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，当AB的长小于半圆时，函数y = f(x)的值增加的越来越快， 当AB的长大于半圆时，函数 y = f (x)的值增加的越来越慢，所以函数y = f (x)的图像是Do(2)由 x+1 之 x2 = (x+1 f 之(x2nx 之1 , 2x +1 故f x =x-2其图象如右,x2.1 1 13则 fmin &)=f 一 | = 一 十1 =-o“22点评：数学中考查创新思维，要求必须要有良 好的

8、数学素养，考查新定义函数的理解、解绝对值 不等式，中档题，借形言数。题型2:解决方程、不等式问题例3.若方程lg(x2 +3x m )= lg(3 x )在x10, 3)内有唯一解，求实数 m的取值范围。2解析：(1)原方程可化为 -(x2) +1 = m(0 x3)2设 y1 = (x 2 ) +1 (0 x 3), y2 = m在同一坐标系中画出它们的图象(如图)。由原方程在(0, 3)内有唯一解，知丫1与丫2的图象只有一个公共点，可见m的取值范围是-11), 求loga(uv )的最大值和最小值。解析：令 x =loga u, y =loga v ,则已知式可化为x -1 2 y _1

9、2 =4 x _0, y _0 ,再设t = loga (uv )= x + y (x至0, y至0),由图 3可见，则当线段 y = x +t22(x 0, y之0)与圆弧(x -1) +(y -1) =4 (x 0, y之0 )相切时，截距t取最大值 tmax =2 +2(如图3中CD位置)；当线段端点是圆弧端点时，t取最小值tmin = 1 + 0)的图象按向量a = !,0平移,6平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（A . y =sin(x + ) 6C. y =sin(2 x)3(2) (06江苏卷)3TB . y =sin（x -）6jiD . y =sin（

10、2x -） 3 TOC o 1-5 h z 为了得到函数y =2sin（-+-） xwR的图像，只需把函数 36 y =2sinx, xWR的图像上所有的点（）（A）向左平移 三个单位长度，再把所得各点白横坐标缩短到原来的1倍（纵坐标不63变）（B）向右平移E个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1倍（纵坐标不63变）（C）向左平移 三个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不6变）（D）向右平移 三个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不6变） TOC o 1-5 h z ，一、叱彳 r n -解析：（1）将函数y =sin cox（ A0）的图象按向

11、重a = l ,0 I平移，平移后的图 ,67三，三3 二一象所对应的解析式为 y=sin（x+）,由图象知，8（十）= 所以8=2,因 61262此选C;（2）解析：本题主要考三角函数的图象变换，这是一道平时训练的比较多的一种类 型。n先将y = 2six,xWR的图象向左平移一个单位长度，得到函数6ny =2 s i ncx）弓R图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数 y = 2sin（二+ 土）, x w R的图像，选择 C。36点评：由函数y =sin x, xw R的图象经过变换得到函数 y = Asin（6 x十e）,x R （1） y=Asinx

12、, x三R（A0且A为）的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长（A1）或缩短（0A0且3#1）的图象，可 看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短（31）或伸长（030时）或向右（当呼v 0时=平行移动|中|个单位长度而得到（用平移法注意 讲清方向：“加左” “减右”），可以先平移变换后伸缩变换，也可以先伸缩变换后平移变换，但注意：先伸缩时，平移的单位把x前面的系数提取出来。例6. （06湖南卷）如图，OM/ AR点P 在由射线 OM线段OB及AB的延长线围成的 阴影区域内（不含边界）运动，且 K M K - OP=xOA + yOB ,则x的取值氾围是；当x = -1时，y的取值范围 2是

13、。解析：如图，OM / AB ,点P在由射 线OM，线段OB及AB的延长线围成的区域内 （不含边界）运动，且OP = xOA+yOB ,由向量加法的平行四边形法则，OP为平行四边形的对角线，该四边形应是以OB和OA的反向延长线为两邻边，x的取值范围是（00, 0）； TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark16 o Current Document 113当* =时，要使P点落在指定区域内，即P点应落在DE上，CD= OB,CE=OB, HYPERLINK l bookmark18 o Current Document 222y的取值范围是（1, -）o HYPER

14、LINK l bookmark14 o Current Document 22点评：平面向量经常和平面图形结合到一块，利用平面图形的几何意义以及具有几何性质的平面向量基本定理处理实际问题。题型4:解析几何问题x-1,例7. （1） （06湖南卷）已知x y+1W0,贝Ux2+y2的最小值是 ；2x - y - 2 M 0（2） （06全国II）过点（1,小）的直线l将圆（x2）2+y2 = 4分成两段弧，当劣弧 所对的圆心角最小时，直线 l的斜率k =。x -1解析：（1）由0) a2 b2的右焦点为F(c,0),过点F的一动直线 m绕点F转动，并且交椭圆于 A B两点，P为线段AB的中点.(

15、1)求点P的轨迹H的方程； TOC o 1-5 h z (元、(2)若在 Q 的方程中，令 a2 =1 +cos9 +sin e , b2 = sin I 0 b0)上的点A (x1，y1)、B (x2, a b一I b2x2+ a2yj= a2b2 (1)又设P点坐标为P (x, y),则42 2 , 2 22, 2、b x2+ a y2= a b (2)15AB不垂直x轴时，xi在2,由(1) ( 2)得 b2 (x1一 x2)2x+ a2 (y1一 y2) 2y =0,2.y - y2 b x _ yP ,2)x1 x2a y x c.b2x2+a2y2-b2cx=0 (3),2当AB垂

16、直于x轴时，点P即为点F,满足方程(3),故所求点P的轨迹方程为：b2x2 + a2y2-b2cx=0,（2）因为轨迹H的方程可化为:/C、2(x一)22ac)2,2a,M (-, bc), N ( c ,一竺)，F (c, 0),使 MNF 为2 2a2 2abc个正三角形时,则 tan = 2a =,即 a2 = 3b2,由于 a2 = 1 + cosQ + sin 日, 6 c a4b2 =sin 8 0 c 8 0 - I,则 1 + cos0+ sin0= 3 sin0,彳# tan9=。二3点评：对于直线与圆锥曲线的相交及相关问题, 斜率处理垂直、夹角等问题，等等。题型5:导数问题

17、例9. （06天津卷）函数f （x）的定义域为开区间（a,b）,导函数f（x）在（a,b）内的图象如图所示，则函数f （x）在开区间（a, b）内有极小值点（）A. 1个B. 2个借数言形是常用的方法，可以通过C. 3个D. 4个解析：函数f（x）的定义域为开区间（a,b）,导函数f（x）在（a,b）内的图象如图所示,函数f（x）在开区间（a,b）内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有 1个，选A。点评：通过函数图像分解导函数的正负，对应好原函数的单调递增、单调递减。y例10. （06浙江卷）已知函数f（x）=x 3+ x3,数列I xn |（x n 0）的第

18、一项xn = 1,以后各项按如下方式取定：曲线x=f（x）在（xn+, f （xn 书）处的切线与经过（0,0）和 Jn ,f （x n）0/ 上 m+1 x两点的直线平行（如图），、一 、一 * .求证：当nw N时,22,1、,1. n 2（I ）x n +Xn = 3xn + +2xn +;1）（万）Xn 02）证明：（I）因为f（x） =3x2十2x,所以曲线y=f（x）在（4书，f（xn书）处的切线斜率2kn 1 = 3xn 1 2xn 1 -因为过（0,0）和（xn, f （xn）两点的直线斜率是x2 +xn,所以x2 + xn =3*门书2+2*门书.（II）因为函数h（x）=x

19、2+x当x 0时单调递增，而 x2 +xn =3xn:+2xn 由 M 4%/+ 2% *=（2 2书）2 + 2*0 书，所以xn W24-即三之二因此人=旦-上科工尸. TOC o 1-5 h z xn2xn J xn _2x 2又因为x +xn之2(x2 +xn书)，令yn =x2 + 4,则丛也W1.yn2因为 y1 =x； +x1 =2，所以 yn (1)nJL Y =(；)n/因此xn Ex；+xn (3故(1尸Exn纪)修 HYPERLINK l bookmark58 o Current Document 222点评：切线方程的斜率与函数的导数对应，建立了几何图形与函数值的对应。

20、题型6:平面几何问题例11.已知AABC三顶点是A(4,1), B(7,5), C(Y,7),求/A的平分线 AD的长。解析：第一步，简单数形结合，在直角坐标系下，描出已知点 A,B,C ,画出AABC的边及其NA的平分线 AD。(如图)第二步，观察图形，挖掘图形的特性(一般性或特殊性)，通过数量关系证明(肯定或否定)观察、挖掘出来的特性。特性有：(1) AB1AC； (2) /BAD =/CAD =45(3) Cd =2DB , (4) /ABC =2/ACB =60等等。证明：. A(4,1), B(7,5), C(4,7) . AB = (3,4), AC = (8,6), AB =5,

21、 AC =10Ab Ac = 一3 8 4 6 =0. (1) aB_LAC, . AD 是/A 的平分线;. . (2) /BAD =/CAD =45) .CDACDBAB10 c 4一 =2(角5平分线定理)CD -2DB , . tan ABC -tan 60，(4)第三步,.ABC =2. ACB =60 不正确，充分利用图形的属性，创造性地数形结合,交AB于点E ,则有ABDE s1ABCA 或 DE =- AC 3完成解题。10二一等等。3过点D作DE _L AB ,又在RtMDE中，(可以口答出)ad|=J2|de10、.2o3点评：数形结合的基础是作图要基本准确，切忌随手作图！数形结合的关键是挖掘图形的几何属性，切忌只重数量关系忽视位置关系！如果把本题的图形随手作成如下一般平面图形，则失去了数形结合的基础，很难挖掘出图形