过程控制：第四讲 过程数学模型及其建立方法

1、1 过程数学模型的表达形式与对模型的要求2 建立数学模型的两个基本方法 机理建模法 测试建模法3 如何通过阶跃响应确定传递函数第四讲 过程数学模型及其建立方法主要讲解内容1 过程数学模型的表达形式与对模型的要求1.1 建立数学模型的目的 （1）制定工业过程优化操作方案； （2）制订控制系统的设计方案，提供仿真基础； （3）进行控制系统的调试和调节器参数的整定； （4）设计工业过程的故障检测与诊断系统； （5）制定大型设备启动和停车的操作方案； （6）设计工业过程运行人员培训系统等等。1.2 被控对象数学模型的表达形式 按模型结构划分：输入输出模型状态空间模型连续系统模型离散系统模型按系统的连续

2、性划分：实域表达:阶跃响应频域表达：传递函数例如：一般的PID控制要求过程模型用传递函数；二次型最优控制要求用状态空间表达式；基于参数估计的自适应要求用脉冲传递函数；预测控制要求用阶跃响应或脉冲响应来表达。1.3 被控对象数学模型的利用形式 离线方式：模型在进行控制系统设计或调试整定阶段中发挥作用。在线方式：模型嵌入控制系统中，具有实时性。1.4 对被控对象数学模型的要求不要求非常准确，闭环控制具有一定的鲁棒性。 由于动态特性的复杂性，在建模过程中要权衡多种因素，突出主要的，忽略次要的因素。往往要做很多近视化处理，例如线性化、分布参数系统集总化和模型降阶处理等。2 建立数学模型两个基本方法2.

3、1 机理建模的方法 根据过程的内在机理，应用物料平衡、能量平衡和有关的化学、物理规律建立过程模型的方法是机理建模方法，又称为过程动态学方法。建立的模型称为白箱模型。物质平衡方程能量平衡方程动量平衡方程 输入输出微分方程 传递函数 在工作点附近线性化处理机理模型的缺点 对于复杂的过程，对基本方程的某些参数不完全掌握，如换热器的K值，由传热学知识提供的公式可能有1030的误差等。 如不经过输入输出数据的验证，则近乎纸上谈兵，难以判断其正确性。机理模型的优点 充分利用已知的过程知识，从事物的本质上去认识外部特性； 可验前得出，在流程和设备设计阶段即能求取 有较大的适用范围，操作条件变化时可以类推。例

4、1：二阶双容水箱对象/机理建模k阀门系数R1,R2阻力系数F1、F2截面积Q2负荷(t)输入h2被调量则根据梅逊公式可得对象的等效传递函数为2.2 测试法建模/实验建模 实验测试法建模是根据被控过程输入、输出的实测数据进行数学处理后得到数学模型。与机理法建模相比，测试法建模的主要特点是在预先设计一个合理的测试方案下，无需深入了解被控过程机理，通过试验数据以获得被控过程的数学模型。 利用输入输出数据提供的信息建立过程对象的数学模型，也叫辨识 实质：从一组模型类中选择一个模型，按照某种准则，使之能最好地拟合所关心的实际过程的动态特性。实验测试法建模是把被研究的被控过程视为一个黑匣子，完全从外特性上

5、测试和描述它的动态性质。对于一些复杂的工业过程，测试方案设计显得尤为重要。 经典辨识法现代辨识法 用阶跃响应曲线建模(开环) 用脉冲响应曲线建模(开环) 用频率响应建模(闭环) 相关分析(corelation)等 最小二乘类参数辨识方法 极大似然法 预报误差法等(梯度校正法)(非参数模型辨识方法)(参数模型辨识方法)假定一种模型结构，通过极小化模型与被控过程之间的误差准则函数来确定模型的参数。测试的动态特性是以时间或频率为自变量的实验曲线，称为非参数模型测试建模/实验法分为：3.1 阶跃响应法(也称飞升曲线) 阶跃响应曲线法是对处于开环、稳态的被控过程，使其控制输入量产生一阶跃变化，测得被控过

6、程的阶跃响应曲线， 然后再根据阶跃响应曲线，求取被控过程输入与输出之间的动态数学关系传递函数。3 阶跃响应曲线法建立被控对象的数学模型3.2 阶跃响应(飞升曲线)的特点非常简单，只要有遥控阀和被控变量纪录仪表就可以进行。先使工况保持平稳一段时间，然后使阀门作阶跃式的变化(在10%20%以内),同时把被控变量的变化过程记录下来,得到广义对象的阶跃响应曲线。手操器无纸记录仪3.3 阶跃响应获取应注意的问题（1）合理选择阶跃扰动的幅度太大，对生产的正常进行造成影响；太小，其它干扰影响的比重相对较大；一般取额定负荷的5%15%,常取10%（2）试验前确保被控对象处于稳定工况；以免其它动态变化与试验时的

7、阶跃响应混淆在一起，影响辨识结果；（3）实际阀门以有限速度移动，因此认为阶跃信号是在t1/2时加入(如图示)。（4）减少随机干扰因素的影响在相同条件下应重复多做几次试验，在测试结果中选择两次以上比较接近的响应曲线作为分析依据；完成一次试验测试后，应使被控过程恢复原来工况并稳定一段时间，再做第二次试验测试；（5）反映非线性对被控过程的影响实验时分别施加正方向和反方向扰动，以求真实掌握对象的动态特性；（6）注意记录响应曲线的起始部分；（7）若不允许同一方向扰动加入，则可采用矩形脉冲扰动，再从脉冲响应曲线求出所需的阶跃响应(方法后述)。首先要根据被控过程阶跃响应曲线的形状，选定模型传递函数的形式；然

8、后再确定具体参数；在工业生产中，大多数过程的过渡过程都是有自平衡能力的非振荡衰减过程，其传递函数可以用一阶惯性环节加滞后、二阶惯性环节加滞后或n阶惯性环节加滞后几种形式来近似(如前述)。3.4 阶跃响应曲线法求取阶跃响应 对于无自平衡特性的被控对象，可以选用以下传递函数近似(如前述)。后面还将讨论具体方法。无滞后有滞后传递函数的选用一般从以下方面考虑：根据被控过程的先验知识，选用相应合适的传递函数形式；根据建立数学模型的目的及对模型的准确性要求，选用合适的传递函数形式。在满足精度要求的情况下，尽量选用低阶传递函数的形式。一般都采用一、二阶传递函数的形式来描述。确定了传递函数形式之后，由阶跃响应

9、曲线来求取被控对象动态特性的特征参数(包括放大系数K、时间常数T、迟延时间等)。 将矩形脉冲u(t)分解成两个阶跃信号的叠加，幅值相同，方向相反，且相差时间t u(t)u(t)u2(t)tt0+tt0u1(t)t 用矩形脉冲替代阶跃输入线性范围内脉冲响应为两个阶跃响应之和(迭加原理)：则单位阶跃响应为矩形输入脉冲表示为将响应曲线按间隔t 等分，用作图法得到阶跃响应曲线 tt3.5 确定自衡对象传递函数 一阶惯性环节 用有理分式表示的传递函数选择哪种传递函数的形式，可依据以下两点：对被控对象的验前知识、对数学模型准确性的要求 二阶或n阶惯性环节例2：由阶跃响应曲线确定一阶惯性环节的特性参数 设过

10、程的阶跃响应曲线如图，即t=0时曲线斜率最大，响应逐渐上升到稳态值y()，则该响应曲线可用一阶惯性环节来近似。此时需要确定的参数只有T和K。确定参数K和T的方法如下：由阶跃响应曲线定出y()；然后确定 K= y()/x0 值；再在阶跃响应曲线的起点处做切线，该切线与y()的交点所对应的时间即为T。 根据测试数据直接计算 T ：令 则 在阶跃响应曲线上找到上述几个数据所对应的时间t1、t2、t3，则可计算出T。如果由t1、t2 和t3分别取的数值T有差异，可以用求平均值的方法对T加以修正。 如果被控过程的阶跃响应曲线是一条如图所示的S形单调曲线，可以选用有纯滞后的一阶惯性环节作为该过程的传递函数

11、。例3：由阶跃响应曲线确定有纯滞后的一阶惯性环节的特性参数(1) 确定 参数 的作图法 t1/2处为扰动起点；找响应曲线拐点(斜率最大),并作切线;该切线与时间轴交点a,与y(t)的稳态值y()交于b, 并投影在时间轴上于点c; 起点到a的距离为;a点到c点的距离为T;增益为K:注意图中起点位置！ abc问题：由于阶跃响应曲线的最大斜率处不易找准，因而切线的方向会有较大的随意性，通过作图求得的时间常数T与滞后时间值会有较大误差。可以采用如下计算方法求取T与值。（2）利用阶跃响应y(t)上两个点的数据计算T和。为了计算方便，首先将y(t)转换成无量纲形式 ，如图所示。 确定参数的两点法 将响应曲

12、线化为无因次形式/“归一化”： 增益为K: 则输出响应的无量纲形式为：无因次化有两个辨识参数，则取两点数据就可拟和。图中取 ，代入得：由上面二方程解得选取 y*(t1)=0.39；y*(t2)=0.632代入！Why?计算出T和后，还应该把计算的结果与实测曲线进行比较，以检验所得模型的准确性。若计算结果与实测值的差距可以接受，表明所求得的一阶惯性加滞后环节传递函数满足要求。否则，表明用一阶惯性加滞后环节近似被控过程的传递函数不合适，应选用高阶传递函数。为了方便计算，可选取y*(t1)=0.39，y*(t2)=0.63代入上两式可得 (记录t1和t2）：取验证（3）确定二阶环节特性参数的两点方法

13、 先考虑无纯迟延情形，将响应曲线“无因次化” ，得到y*(t)：增益直接计算：相应的阶跃响应为：Y(t)Y(t) 在满足0.32t1/t20.46 条件下近似解为：有两个辨识参数则取两个点就可拟合，取y*(t1)=0.4，y*(t2)=0.8两点，确定t1和t2得到方程组：Y(t)Y(t)31 七月 2022 *No. 33当t1/t20.46时，被控过程数学模型应用高于二阶的环节近似，即G(s)=K/(Ts+1)n ，其时间常数为T (t1+t2)/2.16 n。式中的n可根据t1/t2可由表查出，下述。 讨论 高阶对象中n与比值t1/t2的关系若t1/t20.46 ，则为高阶对象 其中n可

14、查表求得 T由下式确定nt1/t2nt1/t210.31780.68420.46090.69930.534100.71240.584110.72450.618120.73460.640130.74870.666140.751此表参见相关文献P28,表1.1静态放大系数K 仍直接计算。纯滞后时间可根据阶跃响应曲线开始出现变化的时刻来确定，如图示；然后在时间轴上截去纯滞后，化为无量纲形式的阶跃响应y*(t)，利用前述方法计算出T1和T2。考虑二阶惯性加滞后环节y*（4）确定有理分式参数的方法（面积方法）设由终值定理可知:又定义则有：其中y(t)是单位阶跃响应。P28-29即：则又可得有同样定义=0

15、依次类推，可得到一个线性方程组： 求解该方程组就可得到a1 、 an和b0、bm的值则又有则可得： 一阶积分环节的多容过程非自衡过程传递函数为： 一阶积分环节的纯迟延过程*当对象的阶数n6时，一般多容过程传递函数描述无自平衡被控过程的阶跃响应随时间t将无限增大，但其变化速度会逐渐趋于稳定。3.6 由阶跃响应确定非自衡过程近似传递函数（1）一阶积分的多容过程阶跃响应为稳态部分的切线与时间轴交于ta 当y*(t)0时 ，记tta 有：tanT Tta /n 渐近线方程： 当t0时，y*(t)0h不能直接得到结果可以直接得到结果即稳态部分的切线与时间轴交于ta当ttanT时，y(ta)=y1(ta)

16、,值为 ：由渐近线方程有：*故y(ta )/oh与n为单值关系n123456y(ta)/0h036802710224019501750161稳态部分的切线与时间轴交于tan 、 T 、 Ta 参数的确定：n由y(ta)/0h的值经查表确定；Tta /n；非自衡过程阶跃响应图从图可看出，在 0 t1 之间，可取纯滞后= t1。在阶跃响应达到稳态后，主要是以积分作用为主，则有在t1A时间段，惯性环节起主要作用，可取T=t2-t1，则被控过程的传递函数为 如果对时间段t1A有更高的精度要求，则可选高阶环节作为被控过程的传递函数。 n=1时，需要确定两个参数(T和)在y(t)上作渐进线，取ta= 渐近线方程：令t =,则 ，于是得（2）有迟延的一阶积分对象稳态部分的切线与时间轴交于ta 阶跃响应法是辨识过程特性最常用的方法。如前所述，阶跃响应曲线的获得是在过程正常输入的基础上再叠加一个阶跃变化而成。如果实际生产不允许由较长时间和较大幅值的输入变化，可以考虑采用矩形脉冲实验法来进行。即在正常基础上，给过程施加一个理想脉冲输入，测取输出量的变化曲线，并据此估计过程参数。至于矩形脉冲的高低宽窄，可根据生产实际情况而定。由于阶跃响