线性方程组解的结构课件

1、第五节 线性方程组解的结构5设有齐次线性方程组若记（1）一、齐次线性方程组解的性质则上述方程组（1）可写成向量方程、基础解系的定义二、基础解系及其求法基础解系，则方程组的通解可表示为：方程组 解空间V的一组基称为齐次线性方程组的一组基础解系,即解空间的某一个部分组线性无关； 为齐次线性方程组的一组基础解系.满足：如果为齐次线性方程组的其中为任意实数.线性方程组基础解系的求法设齐次线性方程组的系数矩阵为 ，并不妨设 的前 个列向量线性无关于是 可化为现对 取下列 组数：依次得从而求得原方程组的 个解：（）则方程组的通解如果为齐次线性方程组的一个基础解系.、证明线性无关.由于-个-维列向量线性无关

2、，所以-个维向量、证明解空间的任一解都可由线性表示.设为某一解向量，再构造的一个线性组合：由于 是 的解，故也是的解.亦线性无关.下证是线性方程组的一组基础解系.易知：方程组的前个未知量可由后个未知量唯一确定.所以 是齐次线性方程组解空间的一个基.说明、解空间的基不是唯一的、解空间的基又称为方程组的基础解系、任-个线性无关的解向量构成基础解系定理元齐次线性方程组的全体解所构成的集合是一个向量空间，当系数矩阵的秩为时，解空间的维数为-.当 时，线性方程组必有含-个向量的基解系（此时解空间只含有零向量，称为维向量空间）当 时，线性方程组只有零解，故没有基础础解系，此时线性方程组的解可以表示为其中为

3、任意实数，解空间可以表示为例求下列齐次线性方程组的基础解系与通解.三、应用举例解方程组的系数矩阵所以从而基础解系为通解为解把系数矩阵用初等行变换变成为例求下列齐次线性方程组的基础解系与通解.所以基础解系为所以线性方程组的通解为例齐次线性方程组只有零解，则满足（）.、非齐次线性方程组若记（1）二、非齐次线性方程组解的性质则上述方程组（1）可写成向量方程（2）若 为 的解， 为 的解，又可记、非齐次线性方程组解的性质（1）若 为 的解，则是其导出组 的解.（）与非齐次方程组称为该非齐次方程组的导出组.也是 的解则也是 的解（3）若 都为 的解，则对应的齐次方程组其中为其导出组的通解，、非齐次线性方

4、程组的通解非齐次线性方程组的通解为为非齐次线性方程组的任意一个特解.、非齐次线性方程组有解的几个等价命题线性方程组 有解，则以下命题等价：向量可由向量组线性表示.向量组等价.与向量组设元非齐次线性方程组的系数矩阵为，增广）线性方程组 有唯一解定理矩阵为，则）线性方程组 有无穷解）线性方程组 无解推论设由向量组线性表示，但表达式不唯一； 时，向量可由向量组线性表示，且表达式唯一；时，向量不可由向量组线性表示. 时，向量可当例6求解下列非齐次线性方程组二、应用举例解方程组的增广矩阵为所以线性方程组无解.因所以线性方程组有无穷多解.例7求解下列非齐次线性方程组解方程组的增广矩阵为即其中为任意常数.例

5、8向量组试问，当满足什么条件时线性表示，且表达式唯一？（）可由线性表示，且表达式不唯一？（）可由线性表示？（）不能由解线性表示，且表达式唯一.时,可由线性表示.时，不能由当当且时,可由线性表示，但表达式不唯一；当且四、小结、对系数矩阵进行初等变换，将其化为最简形、得出，同时也可知方程组的一个基础解系含有个线性无关的解向量故为齐次线性方程组的一个基础解系.就为方程组的通解.故为齐次线性方程组的一个基础解系.就为方程组的通解.设元非齐次线性方程组的系数矩阵为，增广）线性方程组 有唯一解矩阵为，则）线性方程组 有无穷解）线性方程组 无解作业:P102, 11(1),12,16,20,24 思考题1设阶矩阵的各行元素之和为0，且秩为的通解为_.，则线性方程组分析：则的基础解系只有一个向量.设的第个方程为又矩阵的各行元素之和为0，即为它的一个解向量.的通解为思考题2设三阶矩阵，且的每一列均为方程的解，（）求.（