抛物型方程差分方法

1、关于抛物型方程的差分方法第一张，PPT共三十三页，创作于2022年6月 其中, 为 平面上某一区域。众所周知，一维线性抛物型方程的一般形式为第二张，PPT共三十三页，创作于2022年6月通常考虑的定解问题有：(1) 初值问题 在区域 上求函 数，使满足 为给定的初始函数。第三张，PPT共三十三页，创作于2022年6月 (2) 初边值问题(或称混合问题) 在区域上 求函数 ，使满足第四张，PPT共三十三页，创作于2022年6月 为了构造微分方程的有限差分逼近，首先将求解区域 用二组平行于 轴和 轴的直线构成的网格覆盖，网格边长在方向 为 ，在 方向为 。 分别称为空间方向和时间方向的步长，网格线

2、的交点称为网格的结点。差分格式的建立第五张，PPT共三十三页，创作于2022年6月由Taylor展开，有 则 在 处对 的一阶偏导数有三个可能的近似:向后差商向前差商中心差商第六张，PPT共三十三页，创作于2022年6月 显然，用差商近似导数存在误差，令则截断误差第七张，PPT共三十三页，创作于2022年6月现记前差算子:,后差算子:,中心差算子:,为 方向偏导数算子为 方向位移算子，为 方向平均算子，其中:,第八张，PPT共三十三页，创作于2022年6月 建立差分算子和导数算子之间的关系由得或者同理有第九张，PPT共三十三页，创作于2022年6月因为故同理因为 则第十张，PPT共三十三页，创

3、作于2022年6月 利用这些关系式就可给出偏导数的差分表达式第十一张，PPT共三十三页，创作于2022年6月又由可得二阶偏导数的差分表达式第十二张，PPT共三十三页，创作于2022年6月 从以上这些偏导数的差分表达式，我们可以得到偏导数的各种精度的近似表达式。且 又由二阶导数的前差表达式，得因此 在 的前差表达式中取第一项，则有即截断误差阶 为。第十三张，PPT共三十三页，创作于2022年6月 现在研究构造微分方程的差分方程的方法，为此记微分方程为 L 是关于 的线性算子， 。包括二个相邻时间层的网格结点的差分方程可以从Talor 展开式推出第十四张，PPT共三十三页，创作于2022年6月 现

4、在，对抛物型方程的几种特殊情况，从方程出发，构造微分方程的有限差分近似。 首先考虑一维热传导方程的差分近似。显式格式第十五张，PPT共三十三页，创作于2022年6月由 ，方程为代入则其中 为步长比。第十六张，PPT共三十三页，创作于2022年6月在上式中，如果仅仅保留二阶中心差分，且设 为相应差分方程解在结点(mh,nk) 上的值，则代入 的表达式，则得差分方程将格式应用于解初值问题第十七张，PPT共三十三页，创作于2022年6月此差分格式也可简单地由导数的差商近似表达式得到代入微分方程，并令差分方程解为 即可。虽然在边界结点上，差分方程和微分方程具有相同的初值或者初边值条件，但是，一般而言，

5、结点 上微分方程的精确解 和古典显式差分格式的精确解 不相等。记第十八张，PPT共三十三页，创作于2022年6月 假定 具有下面推导中所需要的有界偏导数，则由 展开，有 截断误差42第十九张，PPT共三十三页，创作于2022年6月则那么得从而有第二十张，PPT共三十三页，创作于2022年6月或第二十一张，PPT共三十三页，创作于2022年6月从而，上式右边量描写了古典显式差分格式在 点对微分方程的近似程度，将其定义为差分格式在点 的截断误差，记为 ，即 假定 在所考虑的区域保持有界，则古典显式差分格式的截断误差阶为 。第二十二张，PPT共三十三页，创作于2022年6月或者相应的截断误差阶为 。

6、通常，格式可用下图表示。 为了提高截断误差的阶，我们也可用在式中保留四阶中心差分项的办法达到，这时有差分格式第二十三张，PPT共三十三页，创作于2022年6月m,n+1m-2,nm-1,nm,nm+1,nm+2,nm,n+1m-1,nm,nm+1,n第二十四张，PPT共三十三页，创作于2022年6月隐式格式隐式差分格式特点： 1. 具有二个或二个以上结点处的值未知； 2. 计算工作量较大； 3. 稳定性较好。第二十五张，PPT共三十三页，创作于2022年6月得 由推导其最简单的隐式差分逼近古典隐式格式。 现在对热传导方程第二十六张，PPT共三十三页，创作于2022年6月格式用下图表示，其截断误差阶为 ，与古典显式差分格式相同。 或者保留二阶导数项，且以 替代 ，则得差分格式 我们也可通过直接用差分算子代替 的方法，即代入微分方程，得到此格式。第二十七张，PPT共三十三页，创作于2022年6月m,n+1m-1,n+1m+1,n+1m,n第二十八张，PPT共三十三页，创作于2022年6月图方法第二十九张，PPT共三十三页，创作于2022年6月-4-3-2-10123401234第