2022年ls绝对值重难知识点

1、萧然书院教学讲义老师姓名李老师同学姓名上课时间检查签名教学目标确定值的概念及相关应用；重点,难点|a| ,|a b| 的几何意义；确定值的相关应用；考点及考试|a| ,|a b| 的几何意义；确定值的相关应用；要求学问要点解析 一. 确定值的实质：正实数与零的确定值是其自身,负实数的确定值是它的相反数,即也就是说,|x| 表示数轴上坐标为x 的点与原点的距离；总之,任何实数的确定值是一个非负数,即 |x| 0,请牢牢记住这一点；【案例1】化简 1-a +2a+1+aa-2. 解：a0,2a+10. 1-a +2a+1+a=1-a+-2a-1+-a=-4a 二. 确定值的几何意义：一个数的确定值

2、就是数轴上表示这个数的点到原点的距离；【案例2】有理数a,b,c 在数轴上的位置如以下图,就式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c| 化简结果为 A2a+3b-c B 3b-c Cb+c Dc-b 其次届“期望杯”数学邀请赛初一试题 解：由图形可知a0,cb0,且|c| |b| |a| ,就a+b0,b-c 0所以原式-a+b+a+b-b+c b+c,故应选C 三. 1. 2. 3. 4. 确定值的性质：有理数的确定值是一个非负数,即|x| 0,确定值最小的数是零；任何有理数都有唯独的确定值,并且任何一个有理数都不大于它的确定值,即x|x| ；已知一个数的确定值,那么它所对应的是两个互为相反

3、数的数；如两个数的确定值相等,就这两个数不愿定相等 明显如|6| |-6| ,但6-6 ,只有这两个数同号,且这两个数的确定值相等时,这两个数才相等；【案例3】已知 a-3 +-b+5 +c-2 =0, 运算2a+b+c 的值；第 1 页,共 10 页解：a-3 +-b+5 +c-.2 =0, 又 a-3 0, -b+5 0, c-2 0. a-3=0,-b+5=0,c-2=0, 即a=3,b=.5,c=2, 2a+b+c=13 【案例4】已知 x=2022, y=2022, 且x0,y0,求x+y 的值；【案例5】已知 x+y+3 =0, 求 x+y的值；四. 用确定值的几何意义解题：a 的

4、点到原点的距离；|a b| 的几何意义是：数轴上表示数a,b |a| 的几何意义是：数轴上表示的两点的距离对于某些问题用确定值的几何意义来解,直观简捷,事半功倍求字母的取值范畴【案例6】如|x+1|+|2 x| 3,就x 的取值范畴是解：由确定值的几何意义知,|x+1|+|x 2| 的最小值为3,此时x 在12 之间（包括两端点）取 值（如图4 所示）,故x 的取值范畴是1x 2【案例7】对于任意数x,如不等式|x 2|+|x 4| a 恒成立,就a 的取值范畴是解：由确定值的几何意义知,|x 2|+|x 4| 的最小值为6,而对于任意数 x,|x 2|+|x 4| a 恒成立,所以a 的最值

5、范畴是a6求代数式的最值【案例8】已知a 是有理数,| a 2022|+| a 2022| 的最小值是. 解：由确定值的几何意义知,| a 2022|+| a 2022| 表示数轴上的一点到表示数2022 和2022 两点的距离的和,要使和最小,就这点必在20222022 之间（包括这两个端点）取值（如图1 所示）,故| a 2022|+| a 2022| 的最小值为1. 【案例9】|x 2| | x 5| 的最大值是,最小值是解：把数轴上表示x 的点记为P由确定值的几何意义知,|x 2| | x 5| 表示数轴上的一点到 表示数2 和5 两点的距离的差,当P 点在2 的左边时,其差恒为3；当

6、P 点在5 的右边时,其差恒为3；当P 点在25 之间（包括这两个端点）时,其差在33 之间（包括这两个端点）（如图第 2 页,共 10 页2 所示）,因此,|x 2| | x 5| 的最大值和最小值分别为 3 和3解确定值方程【案例10】方程|x 1|+|x 2| 4 的解为解：把数轴上表示x 的点记为P,由确定值的几何意义知,当2x1 时,|x 1|+|x 2| 恒有最小值3,所以要使|x 1|+|x 2| 4 成立,就点P 必在2 的左边或1 的右边,且到表示数2 或1 的点的距离均为1 个单位（如图3 所示）,故方程|x 1|+|x 2| 4 的解为：x1 2 1, x2 1 1 32

7、2 2 2解不等式【案例11】不等式|x 2|+|x 3| 5 的解集是解：由确定值的几何意义知,|x 2|+|x 3| 的最小值为5,此时x 在23 之间（包括两端点）取值,如|x 2|+|x 3| 5 成立,就x 必在2 的左边或3 的右边取值（如图5 所示）,故原不等式的解集为x2 或x3判定方程根的个数【案例12】方程|x+1|+|x+99|+|x 2| 1996 共有（）个解A.4；B3 ；C2 ；D1 解：当x 在991 之间（包括这两个端点）取值时,由确定值的几何意义知,|x+1|+|x+99| 98,|x 2| 98此时,|x+1|+|x+99|+|x 2| 1996,故|x+

8、1|+|x+99|+|x 2| 1996 时,x 必在991 之外取值,故方程有2个解,选（C）五. 1. 含确定值问题的有效处理方法 运用确定值概念；即依据题设条件或隐含条件,确定确定值里代数式的正负,再利用确定值定义去掉确定值的符号进行运算；【案例13】已知：|x-2|+x-2 0,求：1x+2 的最大值；26-x 的最小值；解：|x-2|+x-2 0,|x-2| -x-2 依据确定值的概念,一个数的确定值等于它的相反数时,这个数为负数或零,x-2 0,即x2,这表示x 的最大值为2 1 当x2 时,x+2 得最大值2+24；2 当x2 时,6-x 得最小值6-2 4 2. 用确定值为零时

9、的值分段争辩即对于含确定值代数式的字母没有条件限制或限制不精确的,第 3 页,共 10 页就需先求零点,再分区间定性质,最终去掉确定值符号；【案例14】已知|x-2|+x 与x-2+|x| 互为相反数,求x 的最大值解：由题意得|x-2|+x+x-2+|x| 0,整理得|x-2|+|x|+2x-2 0 令|x-2| 0,得x2,令|x| 0,得x0 以0,2 为分界点,分为三段争辩：1x 20 3x 2 时,原方程化为x-2+x+2x-2 0,解得x1,因不在x2 的范畴内,舍去；x2 时,原方程化为2-x+x+2x-2 0,解得x0 0 时,原方程化为2-x-x+2x-2 0,从而得x0 综

10、合1 ,2 ,3 知x 0,所以x 的最大值为0 3. 整体参与运算过程即整体配凑,借用已知条件确定确定值里代数式的正负,再用确定值定义 去掉确定值符号进行运算；【案例15】如|a-2| 2-a ,求a 的取值范畴；解：依据已知条件等式的结构特点,我们把a-2 看作一个整体,那么原式变形为|a-2| -a-2 ,又由确定值概念知a-2 0,故a 的取值范畴是 a 2 4. 运用确定值的几何意义即通过观看图形确定确定值里代数式的正负,再用确定值定义去掉绝对值的符号进行运算【案例16】求中意关系式|x-3|-|x+1| 解：原式可化为|x-3|-|x-1| 4 4 的x 的取值范畴它表示在数轴上点

11、x 到点3 的距离与到点-1 的距离的差为4 由图可知,小于等于-1 的范畴内的x 的全部值都中意这一要求；所以原式的解为x-1 六. 有关确定值学问的应用1. 假如依据已知条件或题目中的隐含条件可以确定确定值符号内的数2 或代数式 为“负”值或“非负”值,就由确定值的定义可直接写出其结果. ,试求x y a 2 1 的值等于【案例17】设x,y,a 是实数,并且|x| 1-a, y 1a a 1a解：明显|x| 0,|y| 0,由|x| 0 得1-a 0,由|y| 0 得1-a 0,1-a 0,从而x0,y0,a1 原式|0|+0+12+1 2 第 4 页,共 10 页2. 假如依据已知或题

12、目自身不能确定确定值符号内的代数式为“负”或“非负” 情形进行争辩；争辩的方法有：,就应分别对各种1 直接利用确定值的性质,去掉确定值符号,把式子转化为不含确定值的式子进行争辩；【案例18】已知|a| 3,|b| 2,求a+b 的值；解：|a| 3,|b| 2,a 3 或-3 ,b2 或-2 因此a,b 的取值应分四种情形：a3,b2 或a3,b-2 或a-3 ,b2 或a-3 ,b-2 ,从而易求a+b 的值分别为5,1,-1 ,-5解这类问题,要正确组合,全面摸索,谨防漏解；2 接受零点分区间法,求出确定值的零点,把数轴分成相应的几个区间进行争辩 所谓确定值的零点就是使确定值符号内的代数式

13、等于零的字母所取值在数轴上所对应的点 ；【案例19】化简：|1-3x|+|1+2x| 解：由1 3x 0 和 2x 0 得两个零点：x 1和,x 1 这两个点把数轴分成三部分：1 3 2（1）当x 1 时,1 3x 0 ,1 2x 0 2原式 1 3 x 1 2 x 5x; （2）当 1 x 1时,1 3x 0 ,1 2x 02 3原式 1 3x 1 2x 2 x ；1（3）当 x 时,13x 0 ,1 2x 0 ,3原式-1-3x+1+2x 5x3. 利用确定值的几何意义解含确定值的方程,这样既直观,又简便；由于|x| 的几何意义是表示数轴上点 x 到原点的距离,因此|x-a| 的几何意义是

14、表示点x 到点a 的距离由此可知,方程|x-a| k 的解是xa+k 或x a-kk 0 【案例20】|x-2|+|x-1|+|x-3| 的最小值是 的最小值,即是在数轴上求一A1 B 2 C3 D4 解：设A1 ,B2 ,C3 ,Px ,如以下图,求|x-1|+|x-2|+|x-3| 点P,使AP+BP+PC为最小,明显,当P 与B 重合,即x2 时,其和有最小值2,故应选B 4. 利用“一个实数的确定值是一个非负数”这一性质解题,可使问题化难为易；在运用这一性质时,常与非负数的性质： “有限个非负数的和为零时,就每一个非负数必为零”联用；第 5 页,共 10 页【案例21】如|m+1|+|

15、2n+1| 0,那么m 2022 n 4 七,确定值化简与求值的基本方法【案例22】如a,b 互为相反数,cd 互为负倒数就|a+b+cd| 中数学竞赛 96 年泰州市初解：由题设知a+b0,cd-1 ,就|a+b+cd| |0-1| 1 【案例23】如|x-y+2| 与|x+y-1| 互为相反数,就xy 的负倒数是95 年期望杯邀请赛初一培训题 解：由题设知|x-y+2| 0,|x+y-1| 0,但二者互为相反数,故只能x-y+2 0,x+y-1 0 2 倍,解得x 1y 3xy 32 ,2 ,4其负倒数是4 3【案例24】已知a,b 是互为相反数,c,d 是互为负倒数,x 的确定值等于它的

16、相反数的就x3+abcdx+a-bcd 的值是94 年期望杯邀请赛初一试题解：由题设知a+b0,cd-1 又x 的确定值等于它的相反数的2 倍,x0,原式03+0+a-b-1 a+b0 【案例25】化简|x+1|+|x-2|; 解：令x +1 0,x-2 0,得x-1 与x2,故可分段定正负再去符号1 当x-1 时,-2x+1 ；3；原式-x+1-x-2 2 当-1 x2 时,原式x+1-x-2 3 当x2 时,原式x+1+x-2 2x-1 说明：例14 中没有给定字母任何条件,这种问题应先求零点,然后分区间定正负再去确定值符号,这种方法可归纳为：“求零点,分区间,定性质,去符号” ；第 6

17、页,共 10 页八,确定值与非负数我们称不是负数的有理数为非负有理数,简称非负数；当我们说x 是一个非负数时,用数学符号表示就是x0. 留意：有的同学们往往用x0 表示任意一个非负数,而忘掉等号！这是由于他们错将非负数懂得为负数的相反数了！尽管只是丢掉一个零,在数轴上只差一个点,但就全体有理数而言,却是丢掉了三类有理数中的一类；也就是说,|x| 表示数轴上坐标为x 的点与原点的距离；我们看到,任何有理数的确定值都是一个非负数,而任何一个非负数都可表示为某数的确定值；即对任意有理数 x 有|x| 0,这一点至关重要；【案例26】如a 为任意实数,就以下式子中确定成立的是 A|a| 0 B |a|

18、 a C. a 1D. a10a解：对这个问题的分析第一要留意到确定值都是非负数,而非负数包括零；如此就很简洁剔除掉A,1B,而C 需从a 的取值范畴来争辩,a ,就C 不对,至于D 有非负数的性质：“一个非负数加如 2上一个正数,得正数” ,即可知其正确；【案例27】已知a0c,ab0,|b| |c| |a| ,化简|a+c|+|b+c|-|a-b| 解：分析这个题目的关键是确定 a+c,b+c,a-b 的符号,依据已知可在数轴上标出 a,b,c 的大致位置,如以下图：很简洁确定a+c0,b+c0,a-b 0,由确定值的概念,原式a+c-b+c-a-b a+c-b-c-a+b 0 用数轴上的

19、点来表示有理数,用这样的点与原点的距离来表示有理数的确定值,这里运用了数形结合的思想；巩固练习1. 已知m0,就化简m+|m-|m| 2. 已知实数a,b 在数轴上的对应位置如以下图,化简|a|-|b|+|a-b|-|b-a| 3. 已知|m| 1,|n| 2求m+n4. x 为何值时,-4|1-x|-5 有最大值,最大值是多少？第 7 页,共 10 页5. 已知a-2 0b2,去掉以下三式的确定值符号：6. 试去掉|x2-x-2| 的确定值符号7. 化简|3x+1|-|x|+|1-x| 8. 化简|x+3|+|x-2|+|x-5| 9. 五个有理数a,b,c,d,e 中意|abcde| -a

20、bcde ,试求S abc de的最大值；abc de第 8 页,共 10 页答案：1. 解原式m+|m-m| m+|2m|m-2m-m“看图形,定性质,去符号” ；2. 解由图可知a0,b0,故a-b 0,b-a 0 原式a-b+a-b-b-a a+b+a-b+b-a a+b 说明：此题是依据图形定正负去符号,这种方法可归纳为：3. 解m 1,n 2,当m1,n2 时,m+n3；当m1,n-2 时,m+n-1 ；当m-1 ,n2 时,m+n1；当m-1 ,n -2 时,m+n-3 4. 解当x1 时,|1-x| 取最小值0,-4|1-x|-5 有最大值-5 2b0 , a b a b 5. 解：a20 ,（1）20 , 2aaa（2）a2 0b2 , a （3）a20b2b1b0 , 21a 2b0abb2b2abab6. 解：由于x2-x-2 是变量,可以是非负数也可以是负数,所以应当分两种情形去掉确定值符号：由 由7. x2-x-2 0,得x2 或x-1 ,x2-x-2 0,得-1 x2 当x 2 或x-1 时,|x2-x-2|=x2-x-2 ,