三次Bezier曲线原理及实现代码

1、Bezierc+一、原理：贝塞尔曲线于1962年，由法国工程师皮埃尔贝塞尔(PierreBezier)所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。贝塞尔曲线最初由PauldeCasteljau于1959年运用deCasteljau算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。线性贝塞尔曲线给定点P0、珂，线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。这条线由下式给出：B(f)=P0+(Pi-PoK=(l-f)Po+fPi,庄07l且其等同于线性插值。二次方贝塞尔曲线的路径由给定点P0、P1、P2的函数B(t)追踪：B=(l-02Po+2f(l-f)Pi+说G0,1oTrueType字型就运用了以贝

2、塞尔样条组成的二次贝塞尔曲线。p。、P、p2、P3四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。曲线起始于P0走向P1,并从P2的方向来到P3o般不会经过P1或P2；这两个点只是在那里提供方向资讯。P。和P1之间的间距，决定了曲线在转而趋进P3之前，走向P2方向的长度有多长。曲线的参数形式为：B(f)=Po(l-t：f+3P(1-02+3P2f2(l-0+PgF?fG0?1o现代的成象系统，女口PostScript、Asymptote和Metafont，运用了以贝塞尔样条组成的三次贝塞尔曲线，用来描绘曲线轮廓。一般化p。、P、Pn,其贝塞尔曲线即p。、P、Pn,其贝塞尔曲线即p。、P、Pn

3、,其贝塞尔曲线即p。、P、Pn,其贝塞尔曲线即B(f)=f(；)匕(1-堺-甲=P0(l-ff+i=0(；)P1(1学如+Pf,企0p。、P、Pn,其贝塞尔曲线即p。、P、Pn,其贝塞尔曲线即p。、P、Pn,其贝塞尔曲线即p。、P、Pn,其贝塞尔曲线即例如：B二Po(l厅+5卩遠1厅+lOP护(1ff+10PgF(lF+5P4产(1f)+P护?t如上公式可如下递归表达：用BpgPip”表示由点p。、P、pn所决定的贝塞尔曲线。则B=BPoP1P)1(f)=(1BPoP1_+fBpip?p”()用平常话来说，阶贝塞尔曲线之间的插值。一些关于参数曲线的术语，有nB(f)=；P,b(f)7tG0?1

4、i=O即多项式p。、P、Pn,其贝塞尔曲线即p。、P、Pn,其贝塞尔曲线即p。、P、Pn,其贝塞尔曲线即p。、P、Pn,其贝塞尔曲线即又称作n阶的伯恩斯坦基底多项式，定义。=。点Pi称作贝塞尔曲线的控制点。多边形以带有线的贝塞尔点连接而成，起始于P。并以P终止，称作贝塞尔多边形(或控制多边形)。贝塞尔多边形的凸包(convexhull)n包含有贝塞尔曲线。p。、P、Pn,其贝塞尔曲线即p。、P、Pn,其贝塞尔曲线即p。、P、Pn,其贝塞尔曲线即p。、P、Pn,其贝塞尔曲线即其中，线性贝塞尔曲线函数中的t会经过由P0至P1的B(t)所描述的曲线。例如当t=025时，B(t)即一条由点P0至P1路

5、径的四分之一处。就像由0至1的连续tB(t)描述一条由P0至P1的直线。0为建构二次贝塞尔曲线，可以中介点FQ0和Q1作为由0至1的t由P0至P1的连续点Q0,描述一条线性贝塞尔曲线。由P1至P2的连续点Q,描述一条线性贝塞尔曲线。由q0至Q1的连续点B(t)，描述一条二次贝塞尔曲线。对于四次曲线，可由线性贝塞尔曲线描述的中介点Q0、QfQ2、Q3，由二次贝塞尔曲线描述的点R0、R2,和由三次贝塞尔曲线描述的点S0、S1所建构：矩阵表示为：，P(t)=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t2P2,矩阵表示为：JoP(t)=(1-t)3P0+3t(1-t)2P1+3t2(1-t)P2+t3P3

6、矩阵表示为：632)在(6-3-2)式中，Mn+1是一个n+1阶矩阵，称为n次Bezier矩阵。(633)利用（6-3-3）式，我们可以得到任意次Bezier矩阵的显式表示，例如4次和5次Bezier矩阵为：可以证明，n次Bezier矩阵还可以表示为递推的形式:（6-3-4）二、算法（c+）工程目录是:Win32Appvc6.0#include#include#include#defineNUM10LRESULTCALLBACKWinproc(HWND,UINT,WPARAM,LPARAM);intWINAPIWinMain(HINSTANCEhInstance,HINSTANCEhPrevI

7、nstanc,LPSTRlpCmdLine,intnShowCmd)MSGmsg;staticTCHARszClassName=TEXT(:Bezier样条计算公式由法国雷诺汽车公司的工程师PiermBezier于六十年代提出);HWNDhwnd;WNDCLASSwc;wc.cbClsExtra=0;wc.cbWndExtra=0;wc.hbrBackground=(HBRUSH)GetStockObject(WHITE_BRUSH);wc.hCursor=LoadCursor(NULL,IDC_ARROW);wc.hIcon=LoadIcon(NULL,IDI_APPLICATION);wc

8、.hInstance=hInstance;wc.lpfnWndProc=Winproc;wc.lpszClassName=szClassName;wc.lpszMenuName=NULL;wc.style=CS_HREDRAW|CS_VREDRAW;if(!RegisterClass(&wc)MessageBox(NULL,TEXT(注册失败),TEXT(警告框),MB_ICONERROR);return0;hwnd=CreateWindow(szClassName,szClassName,WS_OVERLAPPEDWINDOW,CW_USEDEFAULT,CW_USEDEFAULT,CW_U

9、SEDEFAULT,CW_USEDEFAULT,NULL,NULL,hInstance,NULL);ShowWindow(hwnd,SW_SHOWMAXIMIZED);UpdateWindow(hwnd);while(GetMessage(&msg,NULL,0,0)TranslateMessage(&msg);DispatchMessage(&msg);returnmsg.wParam;LRESULTCALLBACKWinproc(HWNDhwnd,UINTmessage,WPARAMwparam,LPARAMlparam)HDChdc;staticPOINTptNUM;TEXTMETRIC

10、tm;staticintcxClient,cyClient;HPENhpen;inti,j,k,n,t;switch(message)caseWM_CREATE:staticintcxchar;hdc=GetDC(hwnd);GetTextMetrics(hdc,&tm);cxchar=tm.tmAveCharWidth;ReleaseDC(hwnd,hdc);caseWM_SIZE:cxClient=LOWORD(lparam);cyClient=HIWORD(lparam);return0;caseWM_PAINT:hdc=GetDC(hwnd);srand(time(0);Rectang

11、le(hdc,0,0,cxClient,cyClient);for(i=0;i500;i+)SelectObject(hdc,GetStockObject(WHITE_PEN);PolyBezier(hdc,pt,NUM);for(j=0;jNUM;j+)ptj.x=rand()%cxClient;ptj.y=rand()%cyClient;hpen=CreatePen(PS_INSIDEFRAME,3,RGB(rand()%256,rand()%256,rand()%256);DeleteObject(SelectObject(hdc,hpen);PolyBezier(hdc,pt,NUM);for(k=0;k50000000;k+);for(i=0;icxchar*20)n=cxchar*20;SetTextColor(hdc,RGB(rand()%256,rand()%256,rand()%256);TextOut(hdc,n/2,(t+k)/2,TEXT(瑾以此向PiermBezier致敬!),lstrlen(TEXT