杆拉伸与压缩

1、2 杆件的拉伸(l shn)与压缩1共七十八页2 杆件的拉伸(l shn)与压缩2.1 轴向拉伸(l shn)和压缩的概念2.2 用截面法计算拉压杆的内力2.3 横截面及斜截面上的应力2.4 虎克定律目录2.5 拉压杆的应变能2.6 材料在拉伸与压缩时的力学性质2.7 强度条件与截面设计的基本概念2.8 拉、压超静定问题2共七十八页2.1 轴向拉伸和压缩(y su)的概念FAFBABFFFF 在一对方向相反、作用线与杆轴重合(chngh)的外力作用下，杆件将发生长度的改变。轴向拉伸或轴向压缩（Axial Tension） 3共七十八页2.2 用截面(jimin)法计算拉（压）杆的内力1. 拉压

2、杆内力(nil)的概念内力由于物体受外力作用而引起的其内部各点发生相互移动，从而引起相邻部分间力图恢复原有形状而产生的相互作用力。杆件在受到轴向拉力作用时，杆件内任何截面处截面两侧相连部分之间产生相互作用力，这就是杆件的拉伸内力，它保证截面两侧部分不被分开。杆件在受到轴向压力作用时，杆件内部产生压缩内力。4共七十八页2.2 用截面法计算(j sun)拉（压）杆的内力2. 用截面(jimin)法求轴力（1）截（3）代（4）平步骤：F F mm(d) FN(a) F F mm(c) mmFNx（2）取(b) mmF x5共七十八页可看出(kn ch)：杆件任一横截面上的内力，其作用线均与杆件的轴线

3、重合，因而称之为轴力，用记号FN表示。 引起伸长(shn chn)变形的轴力为正拉力（背离截面）； 引起压缩变形的轴力为负压力（指向截面）。轴力的符号规定 (同一位置处左、右侧截面上内力分量必须具有相同的正负号) :2.2 用截面法计算拉（压）杆的内力6共七十八页2.2 用截面法计算(j sun)拉（压）杆的内力3. 轴力图(lt) 若用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值，所绘出的图线可以表明轴力与截面位置的关系，称为轴力图。 注意： 1.用截面法求内力的过程中，在截面取分离体前，作用于物体上的外力（荷载）不能任意移动或用静力等效的相当力系替代。 2

4、.截面不能刚好截在外力作用点处，因为在外力作用点处轴力发生突变，其值是一个不定值。7共七十八页例1 求图示杆的轴力，并画轴(huzhu)力图。CBAlba2PnnmmPP解：（1）分段(fn dun)求轴力nN2nPPPNx-+N1mmP（2）画轴力图2.2 用截面法计算拉（压）杆的内力8共七十八页1.应力(yngl)的概念2.3 横截面(jimin)及斜截面(jimin)上的应力在外力作用下，杆件内力在截面上某点分布内力的集度，称为该点的应力。(a) M DADFM (b) p 平均应力总应力M点9共七十八页2.3 横截面(jimin)及斜截面(jimin)上的应力应力(yngl)的特征：（

5、1）应力与指定点的位置有关。（4）应力的量纲为ML-1T-2，应力的单位为N/m2或Pa。 即单位面积上的力。（3）应力p是一个矢量，有大小、方向。(2) 应力与过该点的截面的方位有关。10共七十八页2.横截面上的应力(yngl)2.3 横截面(jimin)及斜截面(jimin)上的应力 等直杆相邻两条横向线在杆受拉(压)后仍为直线，仍相互平行，且仍垂直于杆的轴线。 原为平面的横截面在杆变形后仍为平面。观察现象：平面假设F F acbdacbd11共七十八页2.3 横截面(jimin)及斜截面(jimin)上的应力亦即横截面上各点处的正应力 都相等。推论(tuln)：1.等直拉（压）杆受力时没

6、有发生剪切变形，因而横截面上没有切应力。2.拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段的伸长(缩短)变形是均匀的。F F acbdacbd12共七十八页2.3 横截面(jimin)及斜截面(jimin)上的应力等截面(jimin)拉(压)杆横截面(jimin)上正应力的计算公式 即mmF F mmF sFNmmF FN s拉应力为正，压应力为负。 13共七十八页2.3 横截面(jimin)及斜截面(jimin)上的应力3.斜截面(jimin)上的应力由静力平衡得斜截面上的内力： F F kkaFa F kkF Fa pakk14共七十八页2.3 横截面(jimin)及斜截面(jimin)上的应

7、力变形假设：两平行的斜截面在杆件发生(fshng)拉（压）变形后仍相互平行。推论：两平行的斜截面之间所有纵向线段伸长变形相同。即斜截面上各点处总应力相等。F F 15共七十八页2.3 横截面(jimin)及斜截面(jimin)上的应力s0 为拉(压)杆横截面上( )的正应力。 F Fa pakkF F kkaAaA16共七十八页2.3 横截面(jimin)及斜截面(jimin)上的应力总应力(yngl)又可分解为斜截面上的正应力(yngl)和切应力(yngl)： apasata17共七十八页2.3 横截面(jimin)及斜截面(jimin)上的应力通过一点的所有不同方位截面上应力的全部情况，称

8、为(chn wi)该点处的应力状态。对于拉（压）杆，一点处的应力状态由其横截面上一点处正应力即可完全确定，这样的应力状态称为单向应力状态。 apa18共七十八页2.3 横截面(jimin)及斜截面(jimin)上的应力讨论(toln)：（1）（2）（横截面）（纵截面）（纵截面）（横截面）apasata（3）轴向拉压杆件的最大正应力发生在横截面上。轴向拉压杆件的最大切应力发生在与杆轴线成450截面上。在平行于杆轴线的截面上、均为零。19共七十八页2.3 横截面(jimin)及斜截面(jimin)上的应力4. 应力集中(jzhng)的概念应力集中：由于杆件横截面突然变化而引起的应力局部骤然增大的现

9、象。理论应力集中系数：s0 截面突变的横截面上smax作用点处的名义应力；轴向拉压时为横截面上的平均应力。20共七十八页2.4 虎克定律(dngl)1.拉(压)杆的变形(bin xng)与应变杆件在轴向拉压时： 沿轴线方向产生伸长或缩短纵向变形 横向尺寸也相应地发生改变横向变形F F dll1d121共七十八页2.4 虎克定律(dngl)（1）纵向(zn xin)变形线应变:单位长度的伸长（或缩短）线应变以伸长时为正，缩短时为负。 F F dll1d122共七十八页2.4 虎克定律(dngl)（2）横向(hn xin)变形F F dll1d1横向线应变泊松比23共七十八页2.4 虎克定律(dn

10、gl)2. 虎克定律(dngl) 实验表明：在材料的线弹性范围内，l与外力F和杆长l成正比，与横截面面积A成反比。虎克定律在材料的线弹性范围内，正应力与线应变呈正比关系。 ：抗拉（压）刚度 当拉（压）杆有两个以上的外力作用时，需要先画出轴力图，然后分段计算各段的变形，各段变形的代数和即为杆的总伸长量。在计算l的l长度内，FN，E，A均为常数。24共七十八页2.4 虎克定律(dngl)例2 一阶梯状钢杆受力如图，已知AB段的横截面面积A1=400mm2， BC段的横截面面积A2=250mm2,材料(cilio)的弹性模量E=210GPa。试求：AB、BC段的伸长量和杆的总伸长量。F=40kN C

11、 BA BC解：由静力平衡知，AB、BC两段的轴力均为l1 =300l2=20025共七十八页2.4 虎克定律(dngl)故F=40kNC BA BCl1 =300l2=200AC杆的总伸长(shn chn)26共七十八页2.4 虎克定律(dngl)思考(sko)：1. 上题中哪些量是变形，哪些量是位移？二者是否相等？2. 若上题中B截面处也有一个轴向力作用如图，还有什么方法可以计算各截面处的位移？l1 =300l2=200F=40kNC BA BCF=40kN27共七十八页2.4 虎克定律(dngl)例3 图示杆系，荷载(hzi) F=100kN, 求结点A的位移A。已知两杆均为长度l =2

12、m，直径d =25mm的圆杆， =30，杆材(钢)的弹性模量E = 210GPa。解：1、求两杆的轴力。 得xyFN2FN1 FABCaa12aaAF28共七十八页2.4 虎克定律(dngl)2.由虎克定律(dngl)得两杆的伸长： 根据杆系结构及受力情况的对称性可知，结点A只有竖向位移。FABCaa123. 计算节点位移29共七十八页2.4 虎克定律(dngl)此位置既应该符合(fh)两杆间的约束条件，又满足两杆的变形量要求。关键步骤如何确定杆系变形后结点A的位置？ABCaa12A21A2A1aaAA30共七十八页2.4 虎克定律(dngl)即 由变形图即确定结点(ji din)A的位移。由

13、几何关系得21A2A1aaAA代入数值得 31共七十八页2.4 虎克定律(dngl)杆件几何尺寸的改变(gibin)，标量此例可以进一步加深对变形和位移两个概念的理解。变形位移结点位置的移动，矢量与各杆件间的约束有关，实际是变形的几何相容条件。二者间的函数关系ABCaa12A32共七十八页2.5 拉(压)杆的应变(yngbin)能应变能 : 伴随着弹性变形的增减而改变的能量拉 (压）杆在线弹性(tnxng)范围内的应变能： 外力功： 杆内应变能：P l1lDlPDlPDl33共七十八页2.5 拉(压)杆的应变(yngbin)能比能应变(yngbin)能密度单位：杆件单位体积内的应变能 两端受轴

14、向荷载的等直杆，由于其各横截面上所有点处的应力均相等，故全杆内的应变能是均匀分布的。P P ll134共七十八页2.6 材料在拉伸和压缩(y su)时的力学性质1. 材料的拉伸与压缩(y su)试验试件：国家标准规定金属拉伸试验方法LL=10d L=5d圆截面试样：试验条件：常温；静载（极其缓慢地加载）试验设备：万能试验机、变形仪35共七十八页2.6 材料(cilio)在拉伸和压缩时的力学性质2. 低碳钢在拉伸(l shn)时的力学性能拉伸图：36共七十八页2.6 材料(cilio)在拉伸和压缩时的力学性质为了消除掉试件尺寸的影响(yngxing)，将试件拉伸图转变为材料的应力应变曲线图。图中

15、：l 原始标距 线应变37共七十八页2.6 材料在拉伸(l shn)和压缩时的力学性质拉伸过程四个阶段的变形(bin xng)特征及应力特征点： (1)弹性阶段OB此阶段试件变形完全是弹性的，且与成线性关系E 线段OA的斜率比例极限p 对应点A弹性极限e 对应点B38共七十八页2.6 材料在拉伸和压缩(y su)时的力学性质(2) 屈服(qf)阶段BC此阶段应变显著增加，但应力基本不变屈服现象。产生的变形主要是塑性的。抛光的试件表面上可见大约与轴线成45 的滑移线。屈服极限 对应点D（屈服低限）39共七十八页2.6 材料在拉伸(l shn)和压缩时的力学性质(3) 强化(qinghu)阶段CG

16、 此阶段材料抵抗变形的能力有所增强。强度极限b 对应点G (拉伸强度)，最大名义应力此阶段如要增加应变，必须增大应力强化现象40共七十八页2.6 材料在拉伸和压缩(y su)时的力学性质强化(qinghu)阶段的卸载及再加载规律： 若在强化阶段卸载，则卸载过程 s-e 关系为直线。 立即再加载时，s-e关系起初基本上沿卸载直线(cb)上升直至当初卸载的荷载，然后沿卸载前的曲线断裂冷作硬化现象。ee 弹性应变ep 残余应变（塑性）O41共七十八页2.6 材料(cilio)在拉伸和压缩时的力学性质(4) 局部变形(bin xng)阶段GH试件上出现急剧局部横截面收缩颈缩，直至试件断裂。伸长率断面收

17、缩率：A1 断口处最小横截面面积。 （平均塑性伸长率）42共七十八页2.6 材料在拉伸和压缩(y su)时的力学性质Q235钢的主要强度(qingd)指标： Q235钢的塑性指标： Q235钢的弹性指标： 通常 的材料称为塑性材料； 的材料称为脆性材料。43共七十八页思考(sko)： 1. 强度极限sb是否材料(cilio)在拉伸过程中所承受的最大应力？2. 试问在低碳钢试样的拉伸图上，试样被拉断时的应力为什么反而比强度极限低？ 2.6 材料在拉伸和压缩时的力学性质44共七十八页2.6 材料在拉伸(l shn)和压缩时的力学性质3. 其他(qt)材料在拉伸时的力学性能锰钢强铝退火球墨铸铁锰钢没

18、有屈服和局部变形阶段强铝、退火球墨铸铁没有明显屈服阶段共同点：d 5%，属塑性材料45共七十八页2.6 材料在拉伸和压缩(y su)时的力学性质b0.2%o确定(qudng)的方法是:在轴上取0.2的点,对此点作平行于曲线的直线段的直线（斜率亦为E）,与曲线相交点对应的应力即为0.2.无屈服阶段的塑性材料，以s0.2作为其名义屈服极限。 s0.2对应于ep=0.2%时的应力值46共七十八页2.6 材料(cilio)在拉伸和压缩时的力学性质铸铁(zhti)在拉伸时的s -e 曲线特点：1. s -e 曲线从很低应力水平开始就是曲线；采用割线弹性模量；2.没有屈服、强化、局部变形阶段，只有唯一拉伸

19、强度指标sb；3.伸长率非常小，拉伸强度sb基本上就是试件拉断时横截面上的真实应力。 典型的脆性材料47共七十八页2.6 材料在拉伸和压缩(y su)时的力学性质4. 材料(cilio)在压缩时的力学性能dLbbLL/d(b): 13国家标准规定金属压缩试验方法（GB 731487)48共七十八页2.6 材料在拉伸和压缩时的力学(l xu)性质低碳钢压缩(y su)特点：1.低碳钢拉、压时的ss以及弹性模量E基本相同。 2.材料延展性很好，不会被压坏。49共七十八页2.6 材料在拉伸和压缩时的力学(l xu)性质铸铁(zhti)压缩特点： 1. 压缩时的sb和d 均比拉伸时大得多，宜做受压构件

20、；2. 即使在较低应力下其s -e 也只近似符合虎克定律;3.试件最终沿着与横截面大致成 50 55 的斜截面发生错动而破坏。50共七十八页2.6 材料(cilio)在拉伸和压缩时的力学性质塑性材料和脆性(cuxng)材料的主要区别：塑性材料的主要特点：塑性指标较高，抗拉断和承受冲击能力较好，其强度指标主要是s，且拉压时具有同值。脆性材料的主要特点：塑性指标较低，抗拉能力远远低于抗压能力，其强度指标只有b。51共七十八页2.7 强度条件与截面(jimin)设计的基本概念材料(cilio)的许用应力：塑性材料:脆性材料:对应于拉、压强度的安全因数极限应力suss 或sp0.2sb许用应力n 15

21、2共七十八页2.7 强度条件(tiojin)与截面设计的基本概念关于(guny)安全因数的考虑：（1）极限应力的差异； （2）构件横截面尺寸的变异； （3）荷载的变异； （4）计算简图与实际结构的差异； （5）考虑强度储备。53共七十八页2.7 强度条件与截面(jimin)设计的基本概念拉（压）杆的强度(qingd)条件保证拉（压）杆不因强度不足发生破坏的条件对于等直杆：强度计算的三种类型：（1）强度校核（2）截面选择（3）计算许用荷载54共七十八页2.7 强度条件(tiojin)与截面设计的基本概念例4 图示三铰屋架中，均布荷载的集度 q =4.2kN/m，钢拉杆直径 d =16mm，许用应

22、力 s = 170MPa 。试校核(xio h)拉杆的强度。ACB1.42m8.5m9.3m0.4m q55共七十八页2.7 强度条件(tiojin)与截面设计的基本概念解：1.求支反力考虑结构的整体(zhngt)平衡并利用其对称性FBy FAx FAy ACB1.42m8.5m9.3m0.4m q56共七十八页2.7 强度条件与截面(jimin)设计的基本概念取分离(fnl)体如图并考虑其平衡2.求钢拉杆的轴力。FAy qCA1.42m4.65m4.25mFN FCy FCx 57共七十八页3.求钢拉杆(lgn)的应力并校核强度。故钢拉杆(lgn)的强度是满足要求的。FCy FCx FAy

23、qCA1.42m4.65m4.25mFN 2.7 强度条件与截面设计的基本概念58共七十八页例5 图示三角架中，杆AB由两根10号工字钢组成，杆AC由两根 80mm 80mm7mm 的等边角(bin jio)钢组成。两杆的材料均为Q235钢，s =170MPa 。试求此结构的许可荷载 F 。F1m30ACB2.7 强度(qingd)条件与截面设计的基本概念59共七十八页（1）节点(ji din) A 的受力如图，其平衡方程为：解：得F1m30ACBAFxyFN2 FN1 302.7 强度条件与截面(jimin)设计的基本概念60共七十八页（2）查型钢(xnggng)表得两杆的面积（3）由强度(

24、qingd)条件得两杆的许用轴力：杆AC杆AB杆AC杆AB2.7 强度条件与截面设计的基本概念61共七十八页(4) 按每根杆的许可轴力求相应(xingyng)的许可荷载：F1m30ACB2.7 强度(qingd)条件与截面设计的基本概念62共七十八页2.8 拉、压超静定问题(a)如图所示结构(jigu)，支反力和轴力均可由平衡方程确定，这样的结构(jigu)称为静定结构。概念(ginin)：63共七十八页2.8 拉、压超静定问题(b)为减小图a所示静定杆系杆1 ,2中的内力或节点(ji din)A的位移而增加了杆3 (如图b) 。此时有三个未知内力，但只有二个独立的平衡方程，仅有两个条件尚不能

25、确定上述三个轴力。仅仅(jnjn)根据平衡方程尚不能完全确定全部未知力的结构称为超静定结构。64共七十八页2.8 拉、压超静定问题解题(ji t)思路：超静定(jn dn)结构解除“多余”约束基本静定系(例如杆3与接点A的连接)65共七十八页2.8 拉、压超静定问题在基本静定(jn dn)系上加上原有荷载及“多余”未知力并使“多余”约束处满足(mnz)变形(位移)相容条件相当系统12BCAFFN3FN3AD66共七十八页2.8 拉、压超静定问题于是(ysh)可求出多余未知力FN3 。 由位移相容条件 ，利用物理关系(位移或变形计算公式)可得补充方程：12BCAFFN3FN3AD67共七十八页2

26、.8 拉、压超静定问题注意事项： (1) 超静定次数=“多余”约束数=“多余”未知力=位移(wiy)相容条件数=补充方程数，因而任何超静定问题都是可以求解的。 (2) 求出“多余”未知力后，超静定结构的内力和位移等均可利用相当系统进行(jnxng)计算。 (3) 无论怎样选择“多余”约束，只要相当系统的受力情况和约束条件确实与原超静定系统相同，则所得最终结果是一样的。 (4) “多余”约束的选择虽然是任意的，但应以计算方便为原则。68共七十八页2.8 拉、压超静定问题 例6 求图a所示等直杆AB上,下端的(dund)约束力，并求C截面的位移。杆的拉压刚度为EA。 解: 1. 有两个未知约束力F

27、A , FB【见图（a)】，但只有(zhyu)一个独立的平衡方程 FA+FB-F=0故为一次超静定问题。69共七十八页2.8 拉、压超静定问题 2. 取固定端B为“多余(duy)”约束。相应的相当系统如图b，它应满足相容条件BF+BB=0，参见图c，d。 3. 补充方程为 由此求得所得FB为正值(zhn zh)，表示FB的指向与假设的指向相符，即向上。70共七十八页2.8 拉、压超静定问题得 FA=F-Fa/l=Fb/l。5. 利用相当(xingdng)系统(如图)求得 4. 由平衡(pnghng)方程 FA+FB-F=071共七十八页 例7 求图（a）所示结构中杆1, 2, 3的内力(nil)FN1 , FN2 , FN3。杆AB为刚性杆，杆1, 2 , 3的拉压刚度均为EA。aaaACDB132EFF(a)a2.8 拉、压超静定问题72共七十八页 解：1. 共有五个未知力，如图b所