第讲时间序列分析数学中国

1、第3讲 时间序列(xli)分析（1）华中农业大学 汪晓银 教授(jioshu)共九十八页教材(jioci)说明 以下内容均在数学建模与数学实验（第二版）（汪晓银 ，周保平主编，科学出版社）第2章。 由于时间关系，PPT做得较为简洁(jinji)，详细解释请看教材共九十八页概率分布的意义随机变量族的统计特性完全由它们的联合分布函数或联合密度函数决定 时间序列概率分布族的定义几个重要(zhngyo)数字特征：均值 、方差、自协方差、自相关系数3.1 时间序列(xli)数据的预处理共九十八页特征(tzhng)统计量均值(jn zh) 方差自协方差自相关系数3.1 时间序列数据的预处理共九十八页平稳时

2、间序列(xli)的定义 宽平稳是使用序列的特征统计量来定义的一种平稳性。它认为序列的统计性质主要由它的低阶矩决定，所以只要保证(bozhng)序列低阶矩平稳（二阶），就能保证(bozhng)序列的主要性质近似稳定。 满足如下条件的序列称为宽平稳序列3.1 时间序列数据的预处理共九十八页常数均值和方差 自协方差函数和自相关函数只依赖于时间(shjin)的平移长度，而与时间(shjin)的起止点无关 延迟k自协方差函数 延迟k自相关系数平稳时间(shjin)序列的统计性质 3.1 时间序列数据的预处理共九十八页平稳(pngwn)时间序列的意义 时间序列数据结构的特殊性可列多个随机变量，而每个变量只

3、有一个样本观察值平稳性的重大意义极大地减少了随机变量的个数，并增加了待估变量的样本容量极大地简化(jinhu)了时序分析的难度，同时也提高了对特征统计量的估计精度3.1 时间序列数据的预处理共九十八页平稳性的检验(jinyn)（图检验(jinyn)方法） 时序图检验 根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质，平稳序列的时序图应该显示出该序列始终在一个常数值附近随机波动，而且波动的范围有界、无明显(mngxin)趋势及周期特征。自相关图检验 平稳序列通常具有短期相关性。该性质用自相关系数来描述就是随着延迟期数的增加，平稳序列的自相关系数会很快地衰减向零。3.1 时间序列数据的预处理共九十八页例1检

4、验1964年1999年中国(zhn u)纱年产量序列的平稳性例2检验1962年1月1975年12月平均每头奶牛月产奶量序列的平稳性例3检验1949年1998年北京市每年最高气温序列的平稳性平稳性检验(jinyn)3.1 时间序列数据的预处理共九十八页data a;input sha;year=_n_;dif=dif(sha);cards;97 130 156.5 135.2 137.7 180.5 205.2 190 188.6 196.7180.3 210.8 196 223 238.2 263.5 292.6 317 335.4 327321.9 353.5 397.8 436.8 465

5、.7 476.7 462.6 460.8501.8 501.5 489.5 542.3 512.2 559.8 542 567;proc gplot;plot sha*year=1 dif*year=2;symbol1 v=circle i=join c=black;symbol2 v=star i=join c=red;proc arima data=a;identify var=sha nlag=22;run;3.1 时间(shjin)序列数据的预处理共九十八页例1 平稳性检验(jinyn)3.1 时间序列(xli)数据的预处理共九十八页平稳性检验(jinyn)3.1 时间序列(xli)数

6、据的预处理共九十八页平稳性检验(jinyn)3.1 时间序列(xli)数据的预处理共九十八页例2 自相关(xinggun)图3.1 时间序列(xli)数据的预处理共九十八页例3 时序(sh x)图3.1 时间序列(xli)数据的预处理共九十八页例3 自相关(xinggun)图3.1 时间(shjin)序列数据的预处理共九十八页纯随机性检验(jinyn) 纯随机序列的定义(dngy)纯随机性的性质纯随机性检验3.1 时间序列数据的预处理共九十八页纯随机(su j)序列的定义纯随机序列(xli)也称为白噪声序列，它满足如下两条性质 3.1 时间序列数据的预处理共九十八页标准正态白噪声(zoshng

7、)序列时序图 3.1 时间序列(xli)数据的预处理共九十八页白噪声(zoshng)序列的性质 纯随机性 各序列值之间没有任何相关关系，即为 “没有记忆”的序列 方差齐性 根据马尔可夫定理，只有方差齐性假定成立时，用最小二乘法得到的未知参数估计值才是准确的、有效的线性无偏(w pin)估计3.1 时间序列数据的预处理共九十八页纯随机性检验(jinyn) 检验原理假设条件(tiojin)检验统计量 判别原则3.1 时间序列数据的预处理共九十八页Barlett定理(dngl) 如果一个时间序列是纯随机的，得到一个观察期数为 的观察序列，那么该序列的延迟非零期的样本自相关系数将近似服从(fcng)均

8、值为零，方差为序列观察期数倒数的正态分布3.1 时间序列数据的预处理共九十八页假设(jish)条件原假设：延迟(ynch)期数小于或等于 期的序列值之间相互独立备择假设：延迟期数小于或等于 期的序列值之间有相关性 3.1 时间序列数据的预处理共九十八页检验(jinyn)统计量Q统计(tngj)量 LB统计量 3.1 时间序列数据的预处理共九十八页判别(pnbi)原则拒绝原假设当检验统计量大于 分位点，或该统计量的P值小于 时，则可以以 的置信水平拒绝原假设，认为该序列为非白噪声序列接受原假设当检验统计量小于 分位点，或该统计量的P值大于 时，则认为在 的置信水平下无法拒绝原假设，即不能显著(x

9、inzh)拒绝序列为纯随机序列的假定 3.1 时间序列数据的预处理共九十八页样本(yngbn)自相关图例4 随机生成的100个服从标准正态的白噪声序列(xli)纯随机性检验3.1 时间序列数据的预处理共九十八页检验(jinyn)结果延迟统计量检验统计量值P值延迟6期2.360.8838延迟12期5.350.9454由于(yuy)P值显著大于显著性水平 ，所以该序列不能拒绝纯随机的原假设。3.1 时间序列数据的预处理共九十八页方法(fngf)性工具 差分运算延迟算子(sun z)线性差分方程一阶差分 阶差分 步差分3.2 平稳时间序列分析共九十八页延迟(ynch)算子延迟算子类似于一个时间指针，

10、当前(dngqin)序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前(dngqin)序列值的时间向过去拨了一个时刻 记 B为延迟算子，有 3.2 平稳时间序列分析共九十八页延迟(ynch)算子的性质3.2 平稳时间序列(xli)分析共九十八页AR模型(mxng)的定义具有如下(rxi)结构的模型称为 阶自回归模型，简记为特别当 时，称为中心化 模型3.2 平稳时间序列分析共九十八页 AR(P)序列(xli)中心化变换称 为 的中心化序列(xli) ，令3.2 平稳时间序列分析共九十八页自回归系数多项式引进延迟算子(sun z)，中心化 模型又可以简记为 自回归系数多项式3.2 平稳时间(shjin)序列

11、分析共九十八页均 值 如果AR(p)模型满足(mnz)平稳性条件，则有根据平稳序列均值为常数，且 为白噪声序列，有推导出3.2 平稳时间序列(xli)分析共九十八页AR模型(mxng)自相关系数的性质拖尾性呈负指数(zhsh)衰减3.2 平稳时间序列分析共九十八页例5 考察(koch)如下AR模型的自相关图3.2 平稳时间序列(xli)分析共九十八页自相关系数按复指数单调(dndio)收敛到零3.2 平稳(pngwn)时间序列分析共九十八页自相关系数正负(zhn f)相间的衰减3.2 平稳时间(shjin)序列分析共九十八页自相关系数呈现出“伪周期(zhuq)”性3.2 平稳时间(shjin)

12、序列分析共九十八页自相关系数不规则衰减(shui jin)3.2 平稳时间(shjin)序列分析共九十八页偏自相关系数定义 对于平稳AR(p)序列，所谓滞后k偏自相关系数就是指在给定中间k-1个随机变量 的条件下，或者说，在剔除(tch)了中间k-1个随机变量的干扰之后， 对 影响的相关度量。用数学语言描述就是3.2 平稳(pngwn)时间序列分析共九十八页偏自相关系数的截尾(ji wi)性AR(p)模型(mxng)偏自相关系数P阶截尾3.2 平稳时间序列分析共九十八页例5续 考察(koch)如下AR模型的偏自相关图3.2 平稳(pngwn)时间序列分析共九十八页理论(lln)偏自相关系数样本

13、(yngbn)偏自相关图3.2 平稳时间序列分析共九十八页理论(lln)偏自相关系数样本(yngbn)偏自相关图3.2 平稳时间序列分析共九十八页理论(lln)偏自相关系数样本(yngbn)偏自相关图3.2 平稳时间序列分析共九十八页理论(lln)偏自相关系数样本(yngbn)偏自相关系数图3.2 平稳时间序列分析共九十八页MA模型(mxng)的定义具有如下结构的模型称为 阶移动(ydng)平均模型，简记为特别当 时，称为中心化 模型3.2 平稳时间序列分析共九十八页移动(ydng)平均系数多项式引进延迟算子(sun z)，中心化 模型又可以简记为 阶移动平均系数多项式3.2 平稳时间序列分析

14、共九十八页MA模型(mxng)的统计性质常数均值(jn zh)常数方差3.2 平稳时间序列分析共九十八页MA模型(mxng)的统计性质MA模型(mxng)的偏自相关系数拖尾3.2 平稳时间序列分析共九十八页例6 考察如下MA模型的相关(xinggun)性质3.2 平稳(pngwn)时间序列分析共九十八页MA模型(mxng)的自相关系数截尾3.2 平稳时间序列(xli)分析共九十八页MA模型(mxng)的自相关系数截尾3.2 平稳时间(shjin)序列分析共九十八页MA模型(mxng)的偏自相关系数拖尾3.2 平稳时间序列(xli)分析共九十八页MA模型(mxng)的偏自相关系数拖尾3.2 平稳

15、时间(shjin)序列分析共九十八页ARMA模型(mxng)的定义具有如下结构的模型称为自回归(hugu)移动平均模型，简记为特别当 时，称为中心化 模型3.2 平稳时间序列分析共九十八页系数(xsh)多项式引进延迟算子，中心化 模型又可以(ky)简记为 阶自回归系数多项式 阶移动平均系数多项式3.2 平稳时间序列分析共九十八页ARMA(p,q)模型(mxng)的统计性质均值(jn zh)协方差自相关系数3.2 平稳时间序列分析共九十八页ARMA模型(mxng)的相关性自相关系数拖尾偏自相关系数拖尾3.2 平稳(pngwn)时间序列分析共九十八页例7 考察(koch)ARMA模型的相关性 拟合

16、(n h)模型ARMA(1,1):并直观地考察该模型自相关系数和偏自相关系数的性质。 3.2 平稳时间序列分析共九十八页自相关系数和偏自相关系数拖尾性样本(yngbn)自相关图样本(yngbn)偏自相关图3.2 平稳时间序列分析共九十八页ARMA模型(mxng)相关性特征模型自相关系数偏自相关系数AR(P)拖尾P阶截尾MA(q)q阶截尾拖尾ARMA(p,q)拖尾拖尾3.2 平稳时间(shjin)序列分析共九十八页平稳(pngwn)序列建模 建模步骤模型识别(shbi)参数估计模型检验模型优化序列预测3.2 平稳时间序列分析共九十八页建模步骤(bzhu)平稳非白噪声序列计算样本相关系数模型(mx

17、ng)识别参数估计模型检验模型优化序列预测YN3.2 平稳时间序列分析共九十八页计算(j sun)样本相关系数样本(yngbn)自相关系数样本偏自相关系数3.2 平稳时间序列分析共九十八页模型(mxng)定阶的困难因为由于样本的随机性，样本的相关系数不会呈现出理论截尾的完美情况，本应截尾的 或 仍会呈现出小值振荡的情况由于平稳时间序列通常都具有短期相关性，随着延迟阶数 ， 与 都会衰减至零值附近作小值波动当 或 在延迟若干阶之后(zhhu)衰减为小值波动时，什么情况下该看作为相关系数截尾，什么情况下该看作为相关系数在延迟若干阶之后(zhhu)正常衰减到零值附近作拖尾波动呢？ 3.2 平稳时间序

18、列分析共九十八页样本相关系数的近似(jn s)分布BarlettQuenouille3.2 平稳(pngwn)时间序列分析共九十八页模型(mxng)定阶经验方法95的置信区间模型定阶的经验方法(fngf)如果样本(偏)自相关系数在最初的d阶明显大于两倍标准差范围，而后几乎95的自相关系数都落在2倍标准差的范围以内，而且通常由非零自相关系数衰减为小值波动的过程非常突然。这时，通常视为(偏)自相关系数截尾。截尾阶数为d。3.2 平稳时间序列分析共九十八页例8 选择合适的模型ARMA拟合1950年1998年北京市城乡居民定期储蓄(chx)比例序列。3.2 平稳时间(shjin)序列分析共九十八页序列

19、(xli)偏自相关图3.2 平稳时间序列(xli)分析共九十八页拟合(n h)模型识别自相关图显示(xinsh)延迟3阶之后，自相关系数全部衰减到2倍标准差范围内波动，这表明序列明显地短期相关。但序列由显著非零的相关系数衰减为小值波动的过程相当连续，相当缓慢，该自相关系数可视为不截尾 偏自相关图显示除了延迟1阶的偏自相关系数显著大于2倍标准差之外，其它的偏自相关系数都在2倍标准差范围内作小值随机波动，而且由非零相关系数衰减为小值波动的过程非常突然，所以该偏自相关系数可视为一阶截尾 所以可以考虑拟合模型为AR(1)3.2 平稳时间序列分析共九十八页例9 美国(mi u)科罗拉多州某一加油站连续5

20、7天的OVERSHORT序列 3.2 平稳时间(shjin)序列分析共九十八页序列(xli)自相关图3.2 平稳(pngwn)时间序列分析共九十八页序列(xli)偏自相关图3.2 平稳时间序列(xli)分析共九十八页拟合模型(mxng)识别自相关图显示除了延迟1阶的自相关系数在2倍标准差范围之外，其它阶数的自相关系数都在2倍标准差范围内波动。根据这个特点可以判断该序列具有短期相关性，进一步确定序列平稳。同时，可以认为该序列自相关系数1阶截尾(ji wi)偏自相关系数显示出典型非截尾的性质。综合该序列自相关系数和偏自相关系数的性质，为拟合模型定阶为MA(1) 3.2 平稳时间序列分析共九十八页例

21、10 1880-1985年全球气表平均温度改变值差分(ch fn)序列 3.2 平稳(pngwn)时间序列分析共九十八页序列(xli)自相关图3.2 平稳时间序列(xli)分析共九十八页序列(xli)偏自相关图3.2 平稳(pngwn)时间序列分析共九十八页拟合模型(mxng)识别自相关系数显示出不截尾的性质(xngzh)偏自相关系数也显示出不截尾的性质综合该序列自相关系数和偏自相关系数的性质，可以尝试使用ARMA(1,1)模型拟合该序列3.2 平稳时间序列分析共九十八页参数估计待估参数 个未知参数常用估计方法(fngf)矩估计极大似然估计最小二乘估计3.2 平稳时间(shjin)序列分析共九

22、十八页例8续 确定1950年1998年北京市城乡居民定期储蓄比例序列拟合(n h)模型的口径 拟合模型：AR(1)估计方法：极大似然估计模型口径3.2 平稳时间序列(xli)分析共九十八页例9续 确定美国科罗拉多州某一加油站连续57天的OVERSHORTS序列拟合模型的口径 拟合模型：MA(1)估计(gj)方法：条件最小二乘估计(gj)模型口径3.2 平稳时间(shjin)序列分析共九十八页例10续 确定1880-1985全球气表平均温度改变值差分序列(xli)拟合模型的口径 拟合模型：ARMA(1,1)估计方法：条件最小二乘估计模型口径3.2 平稳(pngwn)时间序列分析共九十八页模型(m

23、xng)检验模型的显著性检验整个(zhngg)模型对信息的提取是否充分参数的显著性检验模型结构是否最简3.2 平稳时间序列分析共九十八页模型(mxng)的显著性检验目的检验模型的有效性（对信息的提取是否充分）检验对象残差序列判定原则一个好的拟合模型应该能够提取观察值序列中几乎所有的样本相关信息，即残差序列应该为白噪声序列 反之，如果残差序列为非白噪声序列，那就意味着残差序列中还残留着相关信息未被提取，这就说明拟合模型不够(bgu)有效.3.2 平稳时间序列分析共九十八页假设(jish)条件原假设：残差序列(xli)为白噪声序列(xli)备择假设：残差序列为非白噪声序列3.2 平稳时间序列分析共

24、九十八页检验(jinyn)统计量LB统计(tngj)量3.2 平稳时间序列分析共九十八页例8续 检验1950年1998年北京市城乡居民定期储蓄比例序列拟合(n h)模型的显著性 残差白噪声序列检验结果延迟阶数LB统计量P值检验结论65.830.3229拟合模型显著有效1210.280.50501811.380.83613.2 平稳时间序列(xli)分析共九十八页参数(cnsh)显著性检验目的(md)检验每一个未知参数是否显著非零。删除不显著参数使模型结构最精简 假设条件检验统计量3.2 平稳时间序列分析共九十八页例8续 检验1950年1998年北京市城乡居民定期储蓄比例序列极大似然估计模型的参数是否(sh fu)显著 参数检验结果检验参数t统计量P值结论均值46.120.0001显著6.720.0001显著3.2 平稳时间序列(xli)分析共九十八页模型(mxng)优化问题提出当一个拟合模型通过了检验，说明(shumng)在一定的置信水平下，该模型能有效地拟合观察值序列的波动，但这种有效模型并不是