2021全国3卷第21题的命题背景及改编

1、2021全国3卷第21题的命题背景及改编例.(2018 全国 3 卷第 21 题)已知函数 /(a) =( 2 + x +2 )ln(x + 1)- 2x(1)若 “ =0E明：当一 1VXV 0 时，/(%) 0 时，/(x)0;(2) 若x = 0是/(Q的极大值点，求a一、背景分析表中戏试题背景指命题时选取素材中含有的知识、模型、问题、文化、思想和方法等.试题背景凸心 显试题立意，引领试题编拟方向.研究试题背景，可以准确把握试题本质、理解试题设 问方式、拓 (n(x+i)宽试题解法、加强试题变式.常见试题背景有教材背景、现实背景、高考数学背景、高等数学背 景、竞赛数学背景、数学史背景等等

2、？下而重点分析高等数学背景.函数f(x) = (2+x + ax2) ln(l+x) 2x中ln(x +1)系数2 + x +是怎么设苣出来的 呢？答案t/ =-，是怎么设卷出来的呢？这些均源于帕德逼近，下面是函数/(x) = ln(x+l)6在(0.0)处到(3,3)阶的帕德逼近表.1230X2x - x26x- 3x2 + 2x 612x2+x6.v +x24x +624x + 6x2 - f24+18x212x26a + 3x30 x + x2+x312 + 6.v )C6 + x + 6 ”30 + 36x + 9x2324.v90 x + 57V60 x + 60.r+ll?24 +

3、12x 2x +90+102.V + 21X2-?60 + 90 x + 36 + 3x32+x12ry = 、，而 y =12 + 6人一厂in(x + l)的系数，命题时将-设宜为字1 O v r 12+6x-f6这正是解答中放缩不等式 ln(x+l) 一 (-lx=_(x0) ; (2) x+2 x+2y = ln(x +1)在(0,0)处的(1,2)阶的帕德逼近函数,=中的分母2 + x-JE刚好是试题中:厂三2+x-_x特别指出，由马克劳林公式得ln(x+l)+*-+ (-1)二+ .r),2JI?这恰好是帕德逼近第一行，由此可见马克劳林展开式可以视为帕德逼近的特例.二、试题变式变式

4、是指相对于某种范式，不断变更问题情境或改变思维角度，使事物的非本质属性时隐 时现，而事物的本质属性保持不变的变化方式.陈景润先生指出：题有千变，贵在有根.基 于帕德 逼近和马克 劳林展式这一“根”可以演变出无穷无尽的试题，如下： 变式1:已知函数/(Q =言丁一 1 一 X J JE_ a v3-2(I )若 a = 0, 证明：/(x) 0 :(II)若x = 0是/(力的极小值点，求a变式2:已知函数/(x) = ln(.v +)-x土)x 2 + ax 2(1)若 a = 0,证明：当一 lvxv 0 时，f(x) 0 时，fx) 0 :(II)若x = 0是/(x)的极大值点，求a评注

5、：马克劳林展式为多项式函数，从导数运算角度看较为简单？变式1、2中设卷的函数1牙.G和X + F正好源于马克劳林级数：丁 = +兀+二士 TOC o 1-5 h z IIIIIIJ(1)和x + 3+ .+(泉嫉 ！ ln(x +3 2x HYPERLINK l bookmark25 o Current Document _1)心I)二变式3:已知函数/( ? Q = K 2 _ 2 + 2!若。二一 1,证明：当一 oox 一引也 f(x) -3 时，f(x) 0 :(II)若x = 0是f(x)的极大值点，求a的范围.瞬析】：(I )略：下面仿照考试中心的参考答案给出相应第 (II)问的解

6、法。二 in遇(II )设函数 h(x) =( 3-2x +)f(x) =(3-2.v +)ex -x-3.取& I ，贝 j 当时，八3-2x + ax 2 3-2 +a-故/?(. )与f(X)的符号相同.又/,(0) =/(0) = 0,故*0是/的极大值点当且仅当*0是加兀)的极大值点.h(x)=e xax2 + ( 2a_2) x + l_l, h9x)=e x ax2 +(4a-2)x + 2a I当时，若x0,则ir(x) 0，则N(x)在(o,+s)单增,与人=0是/(劝的极大值2点矛盾。当J时，可以取充分小的正数使得对任意的xu (-50)，都有2ax2+(4a-2)x +

7、2a-0 ,即 /?(x) 0,贝 ij (兀)在(一 5,5)单减,从而当(一汉 o)时，h,(x)/r(o)=o,所以/心在(-P 0)单增，在(00)单减，故戈=0是/的极大值点。综上：a 1 2令 /(x) =ex-是/3=评注：y = K在(0,0)处的(1,2)阶的帕德逼近函数为y=(见下表2),2x +6 由广(0) = 0,广(0) = 0, f 3)(0) = 0 和/ 4)(0) 0),x + a(【)若a = 0,当x w(0,力时，证明：f(x) 0:(II)若x = 0是/(X)的极大值点，求。的范围.【解析】(【)略；下而仿照考试中心的参考答案给出相应第 (II)问

8、的解法(II )设函数 h(x) = (x 2 + o，所以h(x)与f(x)的符号相同.又/?(0) =/(0) = 0,故x = 0是/(x)的极大值点当且仅当x = 0是加x)的极大值点.h(x)= 2xcosx-(,v2 +o)sinx, /?M(x)=(2-a-x 2)cosx-4xsinx 当a sin x 0，贝U/?”(x) (2-a-x 2 )cos x - 4x cos x=(2-a-x 2 - 4x)cos x(2- a - x- 4x)cos x =(2-a - 5x)cos x 0则丹(x)在(0,6单增，从而对任意的(0,切，有/心丹(0)=0,故/?(x)在(0单增，则与a=0是/(x)的极大值点矛盾。 当 a2 时，当 x w -兀 N 时，有 x sin x 0，贝 ij h(x)(2-a -x 1 )cos x 0一 一 II 2 2 J从而(Q在(兀於单减，/7，（0）=0;当时，/?（%）2一2评注：y = cosx曰(0,2)阶的帕德逼近函数为y=一(见下表3), i+2令 /(x) = cos 兀一一一，由广(0) = 0,厂(0) = 0 , f 0)(0) = 0 和 / 4)(0) 0,贝|J x = 0 JT +22是/(X) =cosx ; 的极大值.JE+2在（0。）处的到口4.4）阶的帕谯逼近表（表3）函数 / Cv)