新高考数学模拟卷分类汇编四期专题13《平面解析几何》解答题(解析版)

1、专题13 平面解析几何解答题1（2021江苏如皋一中高三月考）已知双曲线，点的坐标为，过的直线交双曲线于点.（1）若直线又过的左焦点，求的值；（2）若点的坐标为，求证：为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由双曲线可得，所以，所以，设，所以直线的方程为，由联立得：，所以，.（2）由题意知直线的斜率存在，不妨设直线，由可得：，所以，.所以为定值.2（2021江苏海安高级中学高三月考）如图，已知直线与椭圆：交于A，B两点（点A在第一象限），点在椭圆E内部，射线AP，BP与椭圆E的另一交点分别为C，D（1）求点A到椭圆左准线的距离；（2）求证：直线CD的斜率为定值【答案】（1）（2

2、）证明见解析【解析】（1）因为椭圆中，所以，故左准线为由得，因为点A在第一象限，所以故所求距离为（2）设，则，又设，其中，则代入椭圆并整理得，从而有，同理可得，结合，两点均在直线上，得，因为，所以，从而，故故直线的斜率为定值.3（2021广东福田一中高三月考）已知抛物线：上的点到其焦点的距离为2（1）求点P的坐标及抛物线C的方程；（2）若点M、N在抛物线C上，且，求证：直线MN过定点【答案】（1），（2）证明见解析【解析】（1）抛物线的焦点，准线为，因为点到其焦点的距离为2，所以，解得，所以抛物线的方程为，因为点在抛物线上，所以，解得，所以，综上，P点坐标为，抛物线的方程为（2）证明：设直线M

3、N的方程为，联立，得，所以，所以，同理可得，因，所以，所以，所以，即（满足），直线MN的方程为，所以直线MN过定点4（2021广东龙岗中学高三期中）已知圆：和定点，动点在圆上.（1）过点作圆的切线，求切线方程；（2）若满足，设直线与直线相交于点.求证：直线过定点；试探究和的定量关系.【答案】（1）或（2）证明见解析；【解析】（1）当过点的直线方程为时，直线与圆不相切，故可设切线方程为，即圆心到直线的距离，整理得解得或，切线方程为或.（2）由题意可知，直线斜率不为零，可设直线的方程为，其中，将直线和圆的方程联立，整理得，由韦达定理得：，由题意知，得代入韦达定理并化简得：所以，的方程为，经过定点.

4、设的方程为，得，即则5（2021广东中山中学模拟）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上，是椭圆上的两个不同点（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线的斜率之积为，点满足（为坐标原点），直线与椭圆的另一个交点为（与不重合），若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）由题知，所以，所以椭圆方程为，代入点得，解得，所以椭圆方程为；（2）设，由得，由得，所以，又点在椭圆上，所以 ，即，由是椭圆上得-又因为直线的斜率之积为，所以，即-把代入得，解得或(舍去，因为不重合).6（2021广东惠州一中高三月考）已知椭圆的左右焦点分别为，过点且不与轴重合的直线与椭圆相交于，两点.当直线垂直轴时，.（1）求椭圆的标准

5、方程；（2）求内切圆半径的最大值.【答案】（1）；（2）最大值为1.【解析】（1）由已知条件可设，由，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）设，由题意，直线的斜率不为0，设直线的方程为，联立，消去并化简得，由韦达定理得，那么，所以，而，当且仅当，即时等号成立.又因为，所以内切圆半径的最大值为1.7（2021广东湛江一中高三月考）已知椭圆：的离心率，且经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线交于另一点，若，求直线的斜率.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为椭圆的离心率，所以，即，因为经过点，所以有，即，所以，因此椭圆的标准方程为：；（2）因为是椭圆的左顶点，所以由过点的直线交于另一点可

6、知，该直线存在斜率，设为，即直线的方程为：，与椭圆方程联立为：，设所以有，因为，所以或（舍去），即.8（2021湖南永州一中高三月考）已知离心率为的椭圆：的左顶点及右焦点分别为点、，且.（1）求的方程；（2）过点的直线与交于，两点，是直线上异于的点，且，证明：点在定直线上.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为椭圆的离心率为，左顶点及右焦点分别为点、，且所以，解得，所以椭圆的方程是；（2）易知过点的直线的斜率存在，设直线方程为，与椭圆方程联立，消去y得：，设，则，因为，所以，整理得，所以，解得，所以点在定直线上.9（2021湖南郴州一中高三月考）已知椭圆：的左右焦点分别为，点分别是椭圆的上右

7、左顶点，且，点是的中点，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆相交于点，若的面积是，求直线的方程.【答案】（1）证明见解析；（2）或.【解析】（1）由题意知，则，点是的中点，且，故椭圆方程为.（2）设，直线：，联立方程组，得，.直线的方程为或，即直线的方程为或.10（2021湖南长沙一中高三月考）如图，已知F是椭圆C1：的左焦点，A是C1的上顶点，直线AF与C1的另一个交点为B，点C与B关于y轴对称，|FB|FC|2，C1的离心率为.（1）求椭圆C1的方程；（2）二次曲线C2：ytx2经过P(1，2)，直线l/AB与C2相交于M，N不同两点，Pl，直线PM，PN的斜率分别为k1，k

8、2.求k1k2的值.【答案】（1）；（2）0【解析】（1）设椭圆的右焦点为，由于，关于轴对称，.， 椭圆离心率为， 所以，椭圆的方程为 （2）由（1）得，直线的斜率为，可设直线的方程为二次曲线：经过，即二次曲线的方程为 设，由方程组得，又，所以11（2021湖北武汉二中高三期中）如图所示，已知抛物线的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点，A在y轴左侧且AB的斜率大于0.（1）当直线AB的斜率为1时，求弦长的长；（2）已知为x轴上一点，弦AB过抛物线的焦点F，且斜率，若直线PA，PB分别交抛物线于C、D两点，问是否存在实数使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）存在，

9、【解析】（1）设，.由题意知，点F坐标为，直线AB方程为，联立，得，所以，则.（2）设，其中，显然，由知，且，于是，即，同理，显然，则.设，代入得，则.若，则，此时，于是，舍去.若，则，此时，即，.由得，即，.由，得，由知，.故.12（2021湖北武汉二中高三期中）已知双曲线的左焦点为，右顶点为，点是其渐近线上的一点，且以为直径的圆过点，点为坐标原点.（1）求双曲线的标准方程；（2）当点在轴上方时，过点作轴的垂线与轴相交于点，设直线与双曲线相交于不同的两点、，若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）或【解析】（1），双曲线的渐近线方程为，以为直径的圆过点，所以，不妨取点在上，设点，因为，则，

10、可得，则点,，则，则，所以，双曲线的标准方程为.（2）由题意可知，设、，线段中点，联立得，依题意，即，由韦达定理可得，则，所以，又，由得：或.13（2021山东昌乐二中高三月考）已知椭圆：的长轴长为4，且点在椭圆上，其中是椭圆的离心率.（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆交于两点，且点在第一象限，点分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】（1）椭圆：的长轴长为4，且点在椭圆上，设椭圆的焦距为，解得，椭圆的方程为：.（2）由题意可设：，点在第一象限，设，点，到直线的距离分别为，由，消可得，直线的一般式方程：，当时，有最大值为.14（2021福建泉州

11、科技中学高三月考）已知点，点是圆上的动点，线段的垂直平分线与相交于点，点的轨迹为曲线.（1）求的方程；（2）为曲线上不同两点，为坐标原点，线段的中点为，当面积取最大值时，是否存在两定点，使为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，定值为.【解析】（1）在线段的垂直平分线上，又在上，则的轨迹是以为焦点的椭圆，即，故的方程为；（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立直线和椭圆的方程消去得，化简得，当时，取得最大值，此时，又，则，令，则，因此平面内存在两点，使得.当直线的斜率不存在时，设，则，即当取得最大值.此时中点的坐标为，满足方程，即.15（2021福

12、建福州三中高三月考）已知点，设动点P满足直线PA与PB的斜率之积为，记动点P的轨迹为曲线E（1）求曲线E的方程；（2）若动直线l经过点，且与曲线E交于C，D（不同于A，B）两点，问：直线AC与BD的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由【答案】（1）；（2）直线AC和BD的斜率之比为定值【解析】（1）设，依题意可得，所以，所以曲线E的方程为（2）依题意，可设直线l：，由，可得，则，因为直线AC的斜率，直线BD的斜率，因为，所以，所以直线AC和BD的斜率之比为定值16（2021重庆八中高三月考）椭圆具有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线

13、会交于椭圆的另焦点上.已知焦距为2的椭圆的左右焦点分别为，从发出的一条不与x轴重合的光线，在椭圆上依次经M，N两点反射后，又回到点，这个过程中光线所经过的总路程为8.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线，且满足，若，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）由椭圆的光学性质知过椭圆左焦点，由椭圆定义知，即，所以，所以椭圆方程为；（2）由已知，设，则直线方程为，联立方程组可得，则，因为，所以，所以，则，消去可得，即，解得，.17（2021重庆一中高三月考）已知抛物线上有两点，是坐标原点，是正三角形且边长为.（1）求抛物线的方程；（2）若正方形的三个顶点，都在抛物线上（如图），求正方形面积的最小值.【答案】（1）（2）【解析】（1）由对称性知，轴，故点在抛物线上，其方程为.（2）设，直线的斜率为，不妨，则显然有，且.因，所以.由得，即，即，将，代入得.因为，所以，故正方形面积为.因，所以（当且仅当时取等），又因，所以，即（当且仅当时取等）.从而，当且仅当时取得最小值8.18（2021重庆市第十一中学校高三月考）椭圆：右焦