2022年新高考数学二轮提升数列专题第23讲《数列的新定义问题》（解析版）

1、第23讲 数列的新定义问题 一、单选题1（2021全国高二课时练习）南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本末中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为（ ）A99B131C139D141【答案】D【分析】根据题中所给高阶等差数列定义，找出其一般规律即可求解.【详解】设该高阶等差数列的第8项为，根据所给定义，用数列的后一项减去前一项得到一个数列，得到的数列也用后一项减

2、去前一项得到一个数列，即得到了一个等差数列，如图：由图可得，则.故选：D2（2021北京东直门中学高二月考）在一个数列中，若每一项与它的后一项的乘积都同为一个常数（有限数列最后一项除外），则称该数列为等积数列.是等积数列，且，公积为，则的值是（ ）ABCD【答案】D【分析】根据等积数列定义可推导得到数列的奇数项为，偶数项为，由此可求得结果.【详解】由等积数列定义可知：，又，由此推导可得：数列的奇数项为，偶数项为；设等差数列的首项为，由得：，共有项，.故选：D.3（2021江苏苏州高三月考）若数列中不超过的项数恰为，则称数列是数列的生成数列，称相应的函数是数列生成的控制函数.已知，且，数列的前项

3、和，若，则的值为（ ）A9B11C12D14【答案】B【分析】根据生成数列的定义，先求出，然后分为偶数和奇数讨论即可求解.【详解】解：由题意可知，当为偶数时，可得，则；当为奇数时，可得，则，所以，则当为偶数时，则，因为，所以无解；当为奇数时，所以，因为，所以，故选：B.4（2021宁夏六盘山高级中学高二月考（理）对于正项数列，定义为数列的“匀称值”.已知数列的“匀称值”为，则该数列中的等于（ ）ABCD【答案】D【分析】由已知得，由此推导出，从而能求出.【详解】解：，数列的“匀称值”为，时，得，当时，满足上式，故选：D5（2021湖北黄石高三开学考试）普林斯顿大学的康威教授发现了一类有趣的数列

4、并命名为“外观数列”，该数列的后一项由前一项的外观产生以1为首项的“外观数列”记作，其中为1，11，21，1211，111221，即第一项为1，外观上看是1个1，因此第二项为11；第二项外观上看是2个1，因此第三项为21；第三项外观上看是1个2，1个1，因此第四项为1211，按照相同的规则可得其它项，例如为3，13，1113，3113，132113，若的第n项记作，的第n项记作，其中i，若，则的前n项和为（ ）ABCD【答案】C【分析】列出、的前四项，观察规律，即得.【详解】由题得， 由递推可知，随着的增大，和每一项除了最后一位不同外，其余各位数都相同，所以，的前n项和为.故选：C.6（202

5、1贵州威宁高一期末）对于数列，定义为数列的“美值”，现在已知某数列的“美值”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【分析】由，可得进而求得，所以可得是等差数列，由可得，即可求解【详解】由可得，当时，当时，又因为，两式相减可得：，所以，显然满足时，所以，所以，可得数列是等差数列，由对任意的恒成立，可得：，即可求解，即且，解得：，所以实数的取值范围是，故选：C7（2021全国高三专题练习（文）对任一实数列，定义，若，则（ ）A1000B2000C2003D4006【答案】D【分析】根据定义，可求出的通项，从而可得，利用累加法可得，再由求出及，即可求出.【详

6、解】由题意知，所以是公差为的等差数列， 所以，所以，当时，,将以上各式两边对应相加，得，所以，由，得，解得，所以.故选：D【点睛】关键点点睛：本题的关键在于读懂题目，准确把握“”的定义.8（2021江苏高二单元测试）对于数列若存在常数，对任意的，恒有，则称数列为有界数列.记是数列的前项和，下列说法错误的是（ ）A首项为1，公比为的等比数列是有界数列B若数列是有界数列，则数列是有界数列C若数列是有界数列，则数列是有界数列D若数列、都是有界数列，则数列也是有界数列【答案】B【分析】根据有界数列的定义，利用不等式放缩，可判断A、C正确；设，可判断B错误；根据数列和数列的有界性，用和来控制，即可选项D

7、.【详解】解：对A:设满足题设的等比数列为，则，当时，所以，即，所以首项为1，公比为的等比数列是有界数列，故A正确；对B: 事实上，设，则，易知数列是有界数列，而此时，所以，由的任意性，知数列不是有界数列，故B错误；对C：因为数列是有界数列，所以存正数，对任意有，即，于是，所以数列是有界数列，故C正确；对D：若数列、都是有界数列，则存在正数，使得对任意，有；，又因为同理，可得，所以，所以，数列也是有界数列，故D正确.故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键在于读懂题目，准确把握“有界数列”的定义.9（2021湖南长郡中学高二期中）对任一实数序列，定义序列，它的第项为.假定序列的所有项都为1，且，

8、则（ ）A1000B2000C2003D4006【答案】D【分析】是公差为的等差数列，可先设出的首项，然后表示出的通项，再用累加法表示出序列的通项，再结合求出的首项和的首项，从而求出序列的通项公式，进而获解.【详解】依题意知是公差为的等差数列,设其首项为,通项为，则，于是由于,即,解得.故.故选：D【点睛】本小题主要考查新定义数列的性质,考查等差数列的前项和公式以及通项公式.题目定义的数列为二阶等差数列.高阶等差数列的定义是这样的：对于对于一个给定的数列，把它的连续两项与的差记为，得到一个新数列，把数列称为原数列的一阶差数列，如果常数，则为二阶等差数列，可用累加法求得数列的通项公式.10（20

9、20江苏省梁丰高级中学高二期中）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推.求满足如下条件的最小整数：且该数列的前项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（ ）A95B105C115D125【答案】A【分析】将数列按行排列，第行和为，前和为，把第N个数转化为，前N和则为，进而可得结果.【详解】将数列排成行的形式11，21，2，41，2，4，8第行为： ，第

10、行和为，前行共有行个数，前和为第行第个数共有N个数，则前N和为，若和为2的整数幂，则有，且为奇数，当时，无整数解当时，此时故选：A【点睛】关键点点睛：将数列按行排列，把第N个数转化为，前N和则为，进而问题变得简单.本题考查了运算求解和转化的数学思想，逻辑推理能力，属于难题.11（2021山东嘉祥县第一中学高三期中）在进行的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法已知数列满足，则（ ）ABCD【答案】B【分析】利用倒序相加法得到，得到答案.【详解】依题意，记，则，又，两式相加可得，则.故选：B二、多选题1

11、2（2021全国高二课时练习）在数列中，若（，p为常数），则称为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断，其中正确的为（ ）A若是等方差数列，则是等差数列B若是等方差数列，则是等方差数列C数列是等方差数列D若是等方差数列，则（，k为常数）也是等方差数列【答案】ACD【分析】利用等方差的定义和等差数列的定义依次判断即得【详解】对于A，是等方差数列，可得（，p为常数），即有是首项为，公差为p的等差数列，故A正确.对于B，例如：数列是等方差数列，但是数列不是等方差数列，所以B不正确.对于C，数列中，（，），所以数列是等方差数列，故C正确对于D，数列中的项列举出来是，数列中的项列举出来是，因为，所以

12、，即，所以数列是等方差数列，故D正确.故选：ACD.13（2021江苏苏州中学高二月考）已知数列中的前项和为，若对任意的正整数，都有，则称为“和谐数列”，下列结论，正确的有（ ）A常数数列为“和谐数列”B为“和谐数列”C为“和谐数列”D若公差为的等差数列满足：为“和谐数列”，则的最小值为-2【答案】BD【分析】根据给定“和谐数列”的定义，对各选项中的数列逐一分析计算即可判断作答.【详解】对于A，数列中，令(c为常数)，当c0时，此时的常数数列不为“和谐数列”，A不正确；对于B，数列中，令，则，即成立，B正确；对于C，数列中，令，不是“和谐数列”，C不正确；对于D，令，则，数列是首项为，公差为的

13、等差数列，其前n项和为，则，因是“和谐数列”，于是有，即有，从而得，又，即对恒成立，若，则有对恒成立，必有，即，因此，若，则对应的是开口向下的抛物线在x取正整数时的函数值，由二次函数性质知，当正整数n足够大时，的值是负数，不成立，从而只有，且，的最小值为-2，D正确.故选：BD14（2021全国高二单元测试）设数列的前项和为，若存在实数，使得对于任意的，都有，则称数列为“数列”则以下数列为“数列”的是（ ）A是等差数列，且，公差B是等比数列，且公比满足CD，【答案】BC【分析】求出数列的前项和，然后判断对，有无正实数，使得成立.【详解】A中，若是等差数列，公差，则，是关于的二次函数，当时，对于

14、任意的，不存在实数，使得恒成立，所以数列不是“数列” B中，若是等比数列，且公比满足，则，所以数列是“数列”C中，所以，则数列是“数列”D中，在数列中，当是奇数时，数列中奇数项构成常数列，且各项均为1；当是偶数时，即任意两个连续偶数项和为0，则对于任意的，不存在实数，使得恒成立所以数列不是“数列”故选：BC15（2021全国高二课时练习）记数列的前项和为，若存在实数，使得对任意的，都有，则称数列为“和有界数列”下列说法正确的是（ ）A若数列是等差数列，且公差，则数列是“和有界数列”B若数列是等差数列，且数列是“和有界数列”，则公差C若数列是等比数列，且公比满足，则数列是“和有界数列”D若数列是

15、等比数列，且数列是“和有界数列”，则公比满足【答案】BC【分析】利用给定定义结合等差数列前n项和对选项A，B并借助一次、二次函数性质分析判断；结合等比数列前n项和对选项C并借助即可推理判断，举特例判断选项D作答.【详解】若数列是公差为d的等差数列，则，当时，若，则，是的一次函数，不存在符合题意的，A错误；数列是“和有界数列”，当时，是的二次函数，不存在符合题意的，当，时，存在符合题意的，B正确；若数列是公比为的等比数列，则，因满足，则，即，则存在符合题意的实数，即数列是“和有界数列”，C正确；若等比数列是“和有界数列”，当时，若为偶数，则，若为奇数，则，即，从而存在符合题意的实数，D错误.故选

16、：BC16（2021广东天河高三月考）在数列中，若（，为常数），则称数列为“开方差数列”，则下列判断正确的是（ ）A是开方差数列B若是开方差数列，则是等差数列C若是开方差数列，则也是开方差数列（，为常数）D若既是开方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列【答案】CD【分析】根据开方差数列、等差数列的定义判断、是否为常数即可判断A、B正误；C由，应用累加法求得，即可知正误；D令，m为常数，易得，结合开方差数列定义求证是否为常数列.【详解】A：，故不是开方差数列，错误；B：不一定为常数，错误；C：，所以为常数，即为开方差数列，正确；D：由题意，且，m为常数，则，所以时为常数，则为常数列，当时，则也

17、为常数列，正确.故选：CD17（2021江苏高二专题练习）在数列中，对任意，都有（为常数），则称为“等差比数列”下面对“等差比数列”的判断正确的是（ ）A不可能为0；B等差数列一定是等差比数列；C等比数列一定是等差比数列；D通项公式为的数列一定是等差比数列【答案】AD【分析】A选项利用反正法即可判断，B、C选项举出反例即可判断，D选项按照新定义证明即可判断.【详解】A选项：若，则数列是常数列，所以分母为0，因为不可能为0，故A正确；B选项：当等差数列是常数列时，分母等于0，不成立，故B错误；C选项：当等比数列是常数列时，分母等于0，不成立，故C错误；D选项：因为，所以，为常数，是等差比数列，故

18、D正确，故选：AD.18（2021江苏高三专题练习）在数列an中，若为常数），则an称为“等方差数列”，下列对“等方差数列”的判断，其中正确的为（ ）A若an是等方差数列，则an2是等差数列B若an是等方差数列，则an2是等方差数列C（1）n是等方差数列D若an是等方差数列，则akn（kN*，k为常数）也是等方差数列【答案】ACD【分析】利用等方差的定义和等差数列的定义逐个进行演算，能够推出B不正确，其余的都正确【详解】对于A中，数列an是等方差数列，可得为常数），即有是首项为，公差为d的等差数列，故A正确；对于B中，例如：数列是等方差数列，但是数列不是等方差数列，所以B不正确；对于C中，数列

19、中，所以数列是等方差数列，故C正确；对于D中，数列an中的项列举出来是：，数列中的项列举出来是，因为（ak+12ak2）（ak+22ak+12）a2k2a2k12p所以（ak+12ak2）+（ak+22ak+12）+（a2k2a2k12）kp所以akn+12akn2kp，所以，数列akn是等方差数列，故D正确故选：ACD【点睛】与数列的新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的

20、特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.三、双空题19（2021全国模拟预测）定义：记满足下列两个条件的有穷数列为n阶“期待数列”.；.试写出一个3阶“期待数列”_；若2021阶“期待数列”是递增的等差数列，则_.【答案】，0，（答案不唯一） 【分析】（1）根据新定义直接写出答案即可；（2）设出等差数列的公差，结合新定义得到数列的通项公式，然后求解即可.【详解】（1）写出一个满足条件的数列即可，如，0，或，（答案不唯一）；（2）解法一：设等差数列为阶“期待数列”，公差为d（），即，（等差数列通项公式的应用）， ，（根据数列递增及而得）， ，

21、即，由得，即，令，解得，故.解法二：设等差数列的公差为d，则，即，即.由等差数列的性质，得.因为数列为递增数列，所以，即，将代入，解得，所以.故答案为：，0，（答案不唯一）；20（2021全国高二课时练习）对于数列，若任意，都有（为常数）成立，则称数列具有性质（1）若数列的通项公式为，且具有性质，则的最大值为_；（2）若数列的通项公式为，且具有性质，则实数的取值范围是_【答案】6 【分析】（1）设，可得对任意 恒成立，即是单调递增数列，由恒成立可求；（2）由题得恒成立，即可求出.【详解】（1）由题可得对任意恒成立不妨令，则，即对任意恒成立令，则对任意恒成立，即的最大值为6（2）由题得对任意恒成

22、立，即，故的取值范围为故答案为：6；.21（2021湖北汉阳一中模拟预测）牛顿选代法又称牛顿拉夫逊方法，它是牛顿在世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值；过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，称为的次近似值一般的，过点作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值设的零点为，取，则的次近似值为_；设，数列的前项积为若任意恒成立，则整数的最小值为_【答案】 【分析】（1）对函数求导，依次求出切点、斜率、斜线方程，即可得出结果.（2）由（1）可得，进而可得，即可得出

23、结果.【详解】（1），所以当，所以当（2）因为所以，为整数， 故答案为：；2【点睛】关键点点睛：由和，观察得出是本题的关键.本题考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.22（2021全国高二课时练习）数列的前项和为，定义的“优值”为，现已知的“优值”，则_，_【答案】 【分析】根据列出等式，以代得到另一个等式，两式作差可求得时的，再验证即可；利用等差数列的前项和公式求解出即可.【详解】因为，所以，所以，当时，两式作差可得：，所以，当时，所以，符合的情况，所以；因为，所以是首项为，公差为的等差数列，所以，故答案为：；.四、填空题23（2020江苏江阴市成化高级中学高二月考）对于数列，规定

24、为数列的一阶差分数列，其中，对自然数，规定为数列的阶差分数列，其中.若，且，则数列的通项公式为_.【答案】【分析】根据阶差分数列的定义，结合已知条件等式可得，写出的通项，进而可得的通项公式.【详解】由题设，知：，即为首项为1，公差为1的等差数列，即.故答案为：.24（2021河南三门峡高三月考（理）在数列中，如果对任意，都有（为常数），则称数列为比等差数列，称为比公差.则下列结论：等比数列一定是比等差数列；等差数列一定不是比等差数列；若，则是比等差数列，且比公差为；若数列是公差不为零的等差数列，是等比数列，则数列一定不是比等差数列.其中正确的有_.（填序号）【答案】【分析】根据数列的新定义，由

25、比等差数列的定义：对任意，都有（为常数），对各个命题逐一分析判断即可得出答案.【详解】解：对于，设等比数列的公比为，则，所以，所以等比数列一定是比等差数列，故正确；对于，若，则数列是等差数列，则，则此等差数列为比等差数列，故错误；对于，则，所以，所以是比等差数列，且比公差为，故正确；对于，设数列的公差为，数列的公比为，则，则因为不是定值，所以数列一定不是比等差数列，故正确.故答案为：.25（2021江苏高二单元测试）取出数列的任意连续四项，若其中奇数项之和，偶数项之和均为同一个常数（如连续四项，满足），则称数列为错位等和数列，其中常数是公和.若表示的前项和，有如下命题：（1）若一个等差数列是错

26、位等和数列，则；（2）若一个等比数列是错位等和数列，则；（3）若，则错位等和数列一定是最小正周期为4的周期数列；（4）在错位等和数列中，且，若是偶数，则；其中，真命题的序号是_【答案】（1）（2）（3）（4）【分析】在（1）（2）中根据等差、等比数列的性质即可知为常数数列，即可判断正误；由有，结合已知即可判断正误；由（3）的结论及已知得、即可得，进而可知正误.【详解】（1）由得，即为常数数列，所以正确；（2）由得，所以为常数数列，所以，正确；（3）任取四项，则，且，即有，同理，又，所以错位等和数列一定是最小正周期为4的周期数列，正确；（4）由（3）及，得，又，即，所以，且，而错位等和数列一定是

27、最小正周期为4的周期数列，所以.故答案为：（1）（2）（3）（4）【点睛】本题考查了数列新定义，综合应用了等差、等比数列的性质，以及数列的周期性，属于中档题.26（2021广东东莞市光明中学高三开学考试）若有穷数列，（m为正整数）满足条件：，则称其为“对称”数列例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，4，8都是“对称”数列已知在21项的“对称”数列中，是以1为首项，2为公差的等差数列，则_【答案】19【分析】根据“对称”数列可知，再利用等差数列的通项公式即可求解.【详解】根据题意可得，是以1为首项，2为公差的等差数列，所以.故答案为：19【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、数列的新定义

28、，考查了基本运算求解能力，属于基础题.五、解答题27（2021江苏高二单元测试）对于数列，定义为数列的差分数列，其中如果对任意的，都有，则称数列为差分增数列（1）已知数列为差分增数列，求实数的取值范围；（2）已知数列为差分增数列，且，若，求非零自然数k的最大值；（3）已知项数为2k的数列（）是差分增数列，且所有项的和等于k，证明：【答案】（1）；（2）65；（3）证明见解析【分析】（1）利用差分增数列的定义可得关于的不等式组，即可求解；（2）根据，可得，从而可得，即可求解；（3）利用反证法推出矛盾，即可得证【详解】（1）数列1，2，4，16，24的差分数列为1，2，8，由题意可得，解得，故实数

29、的取值范围是（2）由题意，因为数列为差分增数列，所以对任意的，都有，所以，同理，所以当时，所以，解得，所以非零自然数的最大值为65（3）证明：假设，由题意知，2，3，因为项数为的数列所有项的和等于，所以，即，所以，因为数列，2，3，是差分增数列，所以，所以，因此，所以对任意的，都有，即，所以，所以与矛盾，故假设不成立，所以【点睛】关键点睛：对于数列的新定义的题，解题的关键是理解清楚题意，熟练掌握数列中常见的解题方法.28（2020江苏模拟预测）对数列an，规定an为数列an的一阶差分数列，其中anan+1an（nN*），规定2an为an的二阶差分数列，其中2anan+1an（nN*）.（1）数

30、列an的通项公式（nN*），试判断an，2an是否为等差数列，请说明理由？（2）数列bn是公比为q的正项等比数列，且q2，对于任意的nN*，都存在mN*，使得2bnbm，求q所有可能的取值构成的集合；（3）各项均为正数的数列cn的前n项和为Sn，且2cn0，对满足m+n2k，mn的任意正整数m、n、k，都有cmcn，且不等式Sm+SntSk恒成立，求实数t的最大值.【答案】（1）是，是；理由见解析；（2），；（3）2.【分析】（1）推导出，从而，由此得到是首项为3，公差为2的等差数列，由，得到是首项为2，公差为0的等差数列（2）推导出，根据，进行分类讨论，能求出所有可能的取值构成的集合（3）推

31、导出，从而是等差数列，设的公差为，则，由等差数列前项和公式可得，从而，推导出，则当时，不等式都成立；当时，令，则，进而得到，由此推导出的最大值为2【详解】（1），是首项为3，公差为2的等差数列，是首项为2，公差为0的等差数列（2）数列是公比为的正项等比数列，且对任意的，都存在，使得，若，则，解得（舍，或，即当时，对任意的，都有若，则，解得（舍，或，即当时，对任意的，都有若，则，对任意的，不存在，使得综上所述，所有可能的取值构成的集合为，（3），是等差数列，设的公差为，则，当时，与数列的各项均为正数矛盾，故，由等差数列前项和公式可得，则当时，不等式都成立，另一方面，当时，令，则，则，当时，即，综上，的最大值为2【点睛】本题考查等差数列的判断，考查实数的取值范围、实数的最大值求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题29（2020黑龙江哈师大附中高二开学考试（理）若数列满足，则称数列为“平方递推数列”已知数列中，点在函数的图象上，其中为正整数（1）证明数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；（2）设（1）中“平方递推数列”的前项积为，即，求；（3）在（2）的条件下，记，求数列的前项和，并求使 的的最小值【答案】