新高考数学模拟卷分类汇编一期专题02《函数与导数》（解析版）

1、专题02 函数与导数1（2021山东高三二模）已知集合 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 （ ）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【答案】C【分析】由对数复合函数的定义域求集合B，应用集合的交运算求 SKIPIF 1 0 即可.【解析】由题设知： SKIPIF 1 0 ，而 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 .故选：C.2（2021山东高三三模）集合 SKIPIF 1 0 ，集合 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 （ ）A SKIPIF 1 0 B SK

2、IPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【答案】D【分析】根据对数函数与指数函数的性质确定集合 SKIPIF 1 0 中的元素，再由集合的运算法则计算【解析】 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为实数集中去掉除1和2以外的所有正整数的实数组成的集合 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 故选：D3（2021山东高三三模）已知 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 的大小关系正确的为（ ）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【答案】B【分

3、析】根据指数函数与幂函数的单调性即可求解.【解析】 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 指数函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递减， SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，又幂函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递增， SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，故选：B.4（2021湖北高三模拟）地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准震级M用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示里氏震级的计算公式为： SK

4、IPIF 1 0 （其中常数 SKIPIF 1 0 是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅； SKIPIF 1 0 是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）地震的能量E是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量 SKIPIF 1 0 （单位：焦耳），其中M为地震震级已知甲地地震产生的能量是乙地地震产生的能量的 SKIPIF 1 0 倍，若乙地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为A，则甲地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为（ ）A2AB10AC100AD1000A【答案】C【分析】设甲地地震震级为 SKIPIF 1 0 ，

5、乙地地震震级为 SKIPIF 1 0 ，首先根据题意求得 SKIPIF 1 0 ，代入里氏震级的计算公式为： SKIPIF 1 0 求出 SKIPIF 1 0 即可.【解析】设甲地地震震级为 SKIPIF 1 0 ，乙地地震震级为 SKIPIF 1 0 ，因为甲地地震产生的能量是乙地地震产生的能量的 SKIPIF 1 0 倍，所以 SKIPIF 1 0 ,故 SKIPIF 1 0 ，又乙地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为A因为 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，解得： SKIPIF 1 0 ，甲地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为 SKIP

6、IF 1 0 .故选：C.5（2021湖南长沙市高三模拟）镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（ ）A甲同学和乙同学B丙同学和乙同学C乙同学和甲同学D丙同学和甲同学【答案】C【分析】判断出 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的大小关系即可得出答案.【解析】 SKIPIF 1 0 ， S

7、KIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 又 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 有 SKIPIF 1 0 又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄故选：C.6（2021浙江温州市高三模拟）已知函数 SKIPIF 1 0 ，若方程 SKIPIF 1 0 有且仅有3个不等实根，则实数k的取值范围是（ ）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【答案】B【分析】先画出函数的图象，再根据数形结合就可以得到答案.【解析

8、】已知 SKIPIF 1 0 ，作出函数图象，通过函数图象可以看出，当直线 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 相切时，设切点为 SKIPIF 1 0 ，所以有 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，当直线 SKIPIF 1 0 过点 SKIPIF 1 0 时 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 有且仅有3个不等实根，可以得到， SKIPIF 1 0 .由上图可知，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 最多只有2个不等实根.所以 SKIPIF 1 0 .故选：B7（2021江苏扬州市高三模拟）已知定义在 SKIPIF 1 0 上的奇函

9、数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递减，且满足 SKIPIF 1 0 ，则关于 SKIPIF 1 0 的不等式 SKIPIF 1 0 的解集为（ ）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【答案】B【分析】由函数 SKIPIF 1 0 ，分 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 四种情况讨论，求得不等式的解集，再结合 SKIPIF 1 0 为奇函数，即可求得不等式的解集.【解析】由题意，函数 SKIPIF 1 0 定义在 SKIPIF 1 0 上

10、的奇函数， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 单调减，所以 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 单调减，且 SKIPIF 1 0 若函数 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，此时 SKIPIF 1 0 无解；当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，此时 SKIPIF 1 0 无解；当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，此时 SKIPIF 1 0 成立；当 SKIPIF 1 0 时，

11、可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以当 SKIPIF 1 0 时，满足不等式 SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，可得函数 SKIPIF 1 0 的定义域为 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，所以函数 SKIPIF 1 0 奇函数，所以当 SKIPIF 1 0 时，满足不等式 SKIPIF 1 0 成立，综上可得，不等式 SKIPIF 1 0 的解集为 SKIPIF 1 0 .故选：B.8（2021辽宁沈阳市高三三模）一条倾斜角为 SKIPIF 1 0 的直线与执物线 SKIPIF 1 0 交于不同的 SK

12、IPIF 1 0 两点，设弦 SKIPIF 1 0 的中点为 SKIPIF 1 0 过 SKIPIF 1 0 作平行于 SKIPIF 1 0 轴的直线交抛物线于点 SKIPIF 1 0 ，则以 SKIPIF 1 0 为切点的抛物线的切线的斜率为（ ）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【答案】C【分析】设弦 SKIPIF 1 0 所在直线的方程为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，联立方程得 SKIPIF 1 0 ，进而得 SKIPIF 1 0 ，再根据导数的几何意义求解.【解析】设弦 SKIPIF 1 0 所

13、在直线的方程为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以联立方程 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以点 SKIPIF 1 0 的坐标为 SKIPIF 1 0 ，所以联立方程 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 ，此时 SKIPIF 1 0 点在 SKIPIF 1 0 轴上方，抛物线对应的函数为 SKIPIF 1 0 ，故求导得 SKIPIF 1 0 ，所以点 SKIPIF 1 0 的切线的斜率为 SKIPIF 1 0 .故选：C9（202

14、1湖南长沙市高三模拟）设函数 SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 ，且对 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，都有 SKIPIF 1 0 令集合 SKIPIF 1 0 ，则集合 SKIPIF 1 0 中的元素个数为（ ）A2020B2021C4040D4042【答案】D【分析】令 SKIPIF 1 0 ，可求得 SKIPIF 1 0 ，集合满足 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 必定为一奇一偶，即可得出结果.【解析】令 SKIPIF 1 0 ，则有 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0

15、 从而集合 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 可化为 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 必定为一奇一偶若 SKIPIF 1 0 为偶数时， SKIPIF 1 0 的取值可以为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，共有2021个 SKIPIF 1 0 若 SKIPIF 1 0 为偶数时，同理也有2021个 SKIPIF 1 0 集合 SKIPIF 1 0 中的元素个数共有 SKIPIF 1 0 （个）1

16、0（2021辽宁沈阳市高三三模）已知 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 的大小关系为（ ）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【答案】B【分析】根据指数函数的单调性，将问题转化为比较当 SKIPIF 1 0 时 SKIPIF 1 0 的大小，利用特值法即可求得结果.【解析】因为 SKIPIF 1 0 ，函数 SKIPIF 1 0 是单调增函数，所以比较a，b，c的大小，只需比较当 SKIPIF 1 0 时 SKIPIF 1 0 的大小即可.用特殊值法，取 SKIPIF 1 0 ，容易知 SKIPIF 1 0 ，

17、再对其均平方得 SKIPIF 1 0 ，显然 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 故选：B.11（2021天津高三三模）已知 SKIPIF 1 0 为定义在 SKIPIF 1 0 上的偶函数，当 SKIPIF 1 0 时，有 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 时； SKIPIF 1 0 ，给出下列命题： SKIPIF 1 0 ；函数 SKIPIF 1 0 在定义域 SKIPIF 1 0 上是周期为2的周期函数；直线 SKIPIF 1 0 与函数 SKIPIF 1 0 的图象有1个交点；函数 SKIPIF 1 0 的值域为 SKIPI

18、F 1 0 ，其中正确命题有（ ）A0个B1个C2个D3个【答案】D【分析】由函数关系式及偶函数的性质可知 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 上分别是周期为2的函数，并可写出其对应的函数解析式，结合函数图象，即可判断各项的正误.【解析】由题设， SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 是周期为2的函数，令 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，而 SKIPIF 1 0 时； SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 .综上： SKIPIF 1 0 且在 SKIPIF 1 0 上周期为2. SKIPIF 1 0 为定义在 SK

19、IPIF 1 0 上的偶函数，在 SKIPIF 1 0 上周期为2且 SKIPIF 1 0 . SKIPIF 1 0 ，正确；函数 SKIPIF 1 0 在定义域 SKIPIF 1 0 上是周期为2的周期函数，错误；直线 SKIPIF 1 0 与函数 SKIPIF 1 0 的图象如下图示，只有1个交点，正确；函数 SKIPIF 1 0 如下图示，其值域为 SKIPIF 1 0 ，正确；故选：D.12（2021天津高三三模）意大利画家列奥纳多达芬奇的画作抱银鼠的女子（如图所示）中，女士颈部的黑色珍珠项链与她怀中的白貂形成对比.光线和阴影衬托出人物的优雅和柔美.达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重

20、力的作用下自然下垂，形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.后人研究得出，悬链线并不是抛物线，而是与解析式为 SKIPIF 1 0 的“双曲余弦函数”相关.下列选项为“双曲余弦函数”图象的是（ ）ABCD【答案】C【分析】分析函数 SKIPIF 1 0 的奇偶性与最小值，由此可得出合适的选项.【解析】令 SKIPIF 1 0 ，则该函数的定义域为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以，函数 SKIPIF 1 0 为偶函数，排除B选项.由基本不等式可得 SKIPIF 1 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 0 时，等号成立，所以，函数 SKIPIF 1 0 的最小值为 SK

21、IPIF 1 0 ，排除AD选项.故选：C.13（2021山东济宁市高三二模）已知函数 SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 的最小值是（ ）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【答案】C【分析】先由 SKIPIF 1 0 得到 SKIPIF 1 0 ，把 SKIPIF 1 0 转化为 SKIPIF 1 0 ，利用函数单调性求出最小值.【解析】函数 SKIPIF 1 0 的图像如图所示，作出 SKIPIF 1 0 交 SKIPIF 1 0 两点，其横坐标分别为a、b，不妨设 SKIPIF

22、 1 0 .由 SKIPIF 1 0 可得： SKIPIF 1 0 ，解得： SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 记 SKIPIF 1 0 ，任取 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 。因为 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 则 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递减，所以 SKIPIF 1 0 故选：C14（2021江苏苏州市高三模拟）已知对任意 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 恒成立，则（ ）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C

23、SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【答案】BD【分析】不等式变形，构造函数，由导数确定单调性，由此得 SKIPIF 1 0 ，判断A，利用 SKIPIF 1 0 ，结合基本不等式证得B成立，取特值，说明C错误，利用柯西不等式证明D正确【解析】不等式变形为 SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，易知 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 递减， SKIPIF 1 0 又，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，由函数的单调性得 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，A错；

24、SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 时，等号成立，又 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，B正确；例如 SKIPIF 1 0 满足题意，但 SKIPIF 1 0 ，C错； SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，D正确故选：BD15（2021湖北高三模拟）已知偶函数 SKIPIF 1 0 满足： SKIPIF 1 0 ，且当0 x2时， SKIPIF 1 0 ，则下列说法正确的是（ ）A2x0时， SKIPIF 1 0 B点（1，0）是f(x)图象的一个对称中心Cf(x)在区间10，10上有10个零点D对任意 SKIPIF

25、1 0 ，都有 SKIPIF 1 0 【答案】AC【分析】由偶函数的定义得解析式，判断A，由 SKIPIF 1 0 上的解析式判断B，已知条件得 SKIPIF 1 0 是一条对称轴，这样函数 SKIPIF 1 0 是周期函数，周期为4，利用周期性可判断零点个数，判断C，由最值判断D【解析】因为 SKIPIF 1 0 是偶函数，所以 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，A正确；在 SKIPIF 1 0 上， SKIPIF 1 0 不关于 SKIPIF 1 0 对称，因此 SKIPIF 1 0 不是 SKIPIF 1 0 的一个对称中心，B错；由 SKIPIF 1 0 得 SKIP

26、IF 1 0 ，因此在 SKIPIF 1 0 上， SKIPIF 1 0 有两个零点，又 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 是函数图象的一条对称轴， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 是周期函数，周期为4，因此 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上各有2个零点，在 SKIPIF 1 0 上共有10个零点，C正确；由周期性知 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，D错故选：AC16（2021湖南长沙市高三模拟）已知函数 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，若关于 SKIPIF 1 0 的方程 S

27、KIPIF 1 0 的解 SKIPIF 1 0 ，则实数 SKIPIF 1 0 的可能取值为（ ）A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C0D1【答案】AB【分析】利用导数可得 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 恒成立，由此可判断CD错误；令 SKIPIF 1 0 ，两次求导可得在 SKIPIF 1 0 上存在 SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 0 上单调递增，利用零点存在性定理可判断.【解析】 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1

28、0 时， SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 单调递减，则 SKIPIF 1 0 恒成立，则当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 无解，故C错误；令 SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，此时 SKIPIF 1 0 恒成立，显然D错误；对于A，B， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上恒为正，故 SKIPIF 1 0 在 SKI

29、PIF 1 0 上单调递增又因为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上存在唯一零点 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 0 上单调递增 SKIPIF 1 0 ，而 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上存在唯一零点，A，B正确故选：AB.17（2021北京高三模拟）设函数 SKIPIF 1 0 （ SKIPIF 1 0 ）

30、，其图象在点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 处的切线的斜率分别为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （1）求证： SKIPIF 1 0 ；（2）若函数 SKIPIF 1 0 的递增区间为 SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 的取值范围【答案】（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 0 【分析】(1)求出 SKIPIF 1 0 ，由题意可得 SKIPIF 1 0 ，根据 SKIPIF 1 0 可推出 SKIPIF 1 0 ，再由 SKIPIF 1 0 有实根即可知 SKIPIF 1 0 ，从而可证明 SKIPIF 1 0 .(2) 由(1)可知

31、SKIPIF 1 0 中 SKIPIF 1 0 ，则方程有两个不等实根，设为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，由韦达定理可得 SKIPIF 1 0 ，结合导数从而可判断 SKIPIF 1 0 的递增区间为 SKIPIF 1 0 ，即可得 SKIPIF 1 0 ，再由(1)可求出 SKIPIF 1 0 的取值范围为 SKIPIF 1 0 .【解析】（1）证明： SKIPIF 1 0 ，由题意及导数的几何意义得 SKIPIF 1 0 ，（1）， SKIPIF 1 0 ，（2）又 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1

32、 0 ， SKIPIF 1 0 ，由（1）得 SKIPIF 1 0 ，代入 SKIPIF 1 0 ，再由 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，（3）将 SKIPIF 1 0 代入（2）得 SKIPIF 1 0 ，即方程 SKIPIF 1 0 有实根故其判别式 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 ，或 SKIPIF 1 0 ，（4）由（3），（4）得 SKIPIF 1 0 ；（2）由 SKIPIF 1 0 的判别式 SKIPIF 1 0 ，知方程 SKIPIF 1 0 （*）有两个不等实根，设为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，又由 SKIPIF 1

33、 0 知， SKIPIF 1 0 为方程（*）的一个实根，则由根与系数的关系得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则当 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，故函数 SKIPIF 1 0 的递增区间为 SKIPIF 1 0 ，由题设知 SKIPIF 1 0 ，因此 SKIPIF 1 0 ，由（1）知 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 的取值范围为 SKIPIF 1 0 18（2021辽宁高三模拟）已知函数 SKIPIF 1 0 （1）讨论 SKIPIF 1 0 的单调性

34、；（2）当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 恒成立 ，求 SKIPIF 1 0 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2） SKIPIF 1 0 .【分析】（1）求出导函数，因式分解，对参数分类讨论，即可得到结果；（2）由 SKIPIF 1 0 缩小参数的取值范围，结合（1）求函数的最小值即可.【解析】解 SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 .若 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上

35、单调递增，在 SKIPIF 1 0 上单调递减；若 SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 .当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 0 上单调递减；当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递增；当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 上单调递增，在 SKIPIF

36、 1 0 上单调递减.（2）由题可得 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 若 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 的最小值为 SKIPIF 1 0 ，而 SKIPIF 1 0 所以当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 恒成立.若 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 单调递增，而 SKIPIF 1 0 ，所以当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 恒成立若 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，所以当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 不可能恒成立综上所述， SKIPIF 1 0 的取值范围为 SK

37、IPIF 1 0 .19（2021北京高三模拟）已知函数 SKIPIF 1 0 （1）证明：不论 SKIPIF 1 0 取何值，曲线 SKIPIF 1 0 均存在一条固定的切线，并求出该切线方程；（2）若 SKIPIF 1 0 为函数 SKIPIF 1 0 的极小值点，求 SKIPIF 1 0 的取值范围；（3）曲线 SKIPIF 1 0 是否存在两个不同的点关于 SKIPIF 1 0 轴对称，若存在，请给出这两个点的坐标及此时 SKIPIF 1 0 的值，若不存在，请说明理由【答案】（1）证明见解析； SKIPIF 1 0 ；（2） SKIPIF 1 0 ；（3）不存在；答案见解析【分析】（

38、1）求出导数 SKIPIF 1 0 ，求出与 SKIPIF 1 0 无关的导数值，得切点及斜率，从而得切线方程；（2）在导函数 SKIPIF 1 0 中，令 SKIPIF 1 0 ，由导数得出 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 递增， SKIPIF 1 0 ，然后按 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 分类讨论，确定0是极小值点，得结论（3）设 SKIPIF 1 0 ，由（2）可知函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递增，用反证法证明即可【解析】（1） SKIPIF 1 0 ，易得 SKIP

39、IF 1 0 ， SKIPIF 1 0 均与 SKIPIF 1 0 无关，所以不论 SKIPIF 1 0 取何值，曲线 SKIPIF 1 0 都存在固定切线为 SKIPIF 1 0 （2） SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时 SKIPIF 1 0 ，即函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递增，且 SKIPIF 1 0 当 SKIPIF 1 0 时 SKIPIF 1 0 ，函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递增，无极值，不符；当 SKIPIF 1 0 时，由函数 SKIPI

40、F 1 0 得性质可知：存在 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，函数 SKIPIF 1 0 单调递减，与 SKIPIF 1 0 为函数 SKIPIF 1 0 的极小值点矛盾，不符；当 SKIPIF 1 0 时，由函数 SKIPIF 1 0 得性质可知：存在 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 单调递减，又因为当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 单调递增，所以 SKIPIF 1 0 为函数 SKIPIF 1 0 的极小值点，符合综上有 SK

41、IPIF 1 0 （3）不存在，理由如下：设 SKIPIF 1 0 ，由（2）可知函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递增，假设曲线 SKIPIF 1 0 存在两个不同的点关于 SKIPIF 1 0 轴对称，设其坐标分别为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 由 SKIPIF 1 0 得： SKIPIF 1 0 ，与 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递增矛盾，所以曲线 SKIPIF 1 0 不存在两个不同的点关于 SKIPIF 1 0 轴对称20（2021江苏苏州市高三模拟）已知函数 SKIPIF 1 0

42、(其中 SKIPIF 1 0 为自然对数的底数).（1）当 SKIPIF 1 0 时，求证：函数 SKIPIF 1 0 图象上任意一点处的切线斜率均大于 SKIPIF 1 0 ；（2）若 SKIPIF 1 0 对于任意的 SKIPIF 1 0 恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 0 .【分析】（1）求出导函数 SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，再求导，求得 SKIPIF 1 0 的最小值可证；（2）先证对任意 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，再由 SKIPIF 1 0 不等式恒成立得 SK

43、IPIF 1 0 ，然后利用不等式的性质证明 SKIPIF 1 0 时，不等式成立【解析】（1）当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 在区间 SKIPIF 1 0 上单调递减，在区间 SKIPIF 1 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 对任意 SKIPIF 1 0 恒成立，所以函数 SKIPIF 1 0 图象上任意一点处的切线斜率均大于 SKIPIF 1 0 .（2）先证对任

44、意 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 .令 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 .令 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 在区间 SKIPIF 1 0 上单调递增，在区间 SKIPIF 1 0 上单调递减，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 .令 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 .令 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 在区间 SKIPIF 1 0 上单调递减，在区间 SKIPIF 1 0 上

45、单调递增，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 单调递增，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 .因为 SKIPIF 1 0 对于任意的 SKIPIF 1 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 .当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 对于任意的 SKIPIF 1 0 恒成立.综上所述， SKIPIF 1 0 .21（2021山东高三三模）已知函数 SKIPIF 1 0 .（1）求 SKIPIF 1 0 的最小值；（2）若存在区间 SKIPIF 1 0 ，

46、使 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上的值域为 SKIPIF 1 0 ，求实数 SKIPIF 1 0 的取值范围.【答案】（1）最小值为 SKIPIF 1 0 ；（2） SKIPIF 1 0 .【分析】（1）求出 SKIPIF 1 0 ，对 SKIPIF 1 0 再求导，可得函数 SKIPIF 1 0 增区间与减区间，从而就可以求最小值；（2）根据 SKIPIF 1 0 的单调性求出 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 的值域，问题转化为 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上至少有两个不同的正根，根据函数的单调性求出 SKIPIF 1 0 的范围即可【

47、解析】（1）函数 SKIPIF 1 0 的定义域为 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 0 上单调递减，所以 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 的最小值为 SKIPIF 1 0 .（2） SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递增，为满足题意，必须 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 在 SKI

48、PIF 1 0 有两个不同的实数解，所以 SKIPIF 1 0 ，记 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，再令 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递增，且 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 0 上单调递增，因为 SKIPIF 1 0 ，又所以 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 .22（2021山东高三模拟）已知函数 SKIPIF 1 0 （1）若 SKIPIF 1 0 ，且曲线 SKIPIF 1 0 在 S

49、KIPIF 1 0 处的切线斜率为 SKIPIF 1 0 ，求函数 SKIPIF 1 0 的最小值；（2）若 SKIPIF 1 0 ，且当 SKIPIF 1 0 时，不等式 SKIPIF 1 0 恒成立，求a的取值范围【答案】（1） SKIPIF 1 0 ；（2） SKIPIF 1 0 .【分析】（1）根据导数的几何意义求出a的值，再根据导数的性质判断出函数的单调性，进而求出函数的最小值；（2）原不等式恒成立转化为当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 恒成立，构造新函数 SKIPIF 1 0 ，利用二次求导法，根据导数的性质进行求解即可.【解析】（1） SKIPIF 1 0 ，

50、由题意得 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 （ SKIPIF 1 0 舍去），所以 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 单调递减；当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 单调递增，所以 SKIPIF 1 0 （2）当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 恒成立，等价于当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 恒成立令 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 令 SKIPIF 1

51、0 ，则 SKIPIF 1 0 当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 恒成立，可得 SKIPIF 1 0 在区间 SKIPIF 1 0 内单调递增，所以 SKIPIF 1 0 恒成立，可得 SKIPIF 1 0 在区间 SKIPIF 1 0 内单调递增，所以 SKIPIF 1 0 恒成立，即 SKIPIF 1 0 恒成立，即 SKIPIF 1 0 恒成立当 SKIPIF 1 0 时，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 在区间 SKIPIF 1 0 内单调递减，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1

52、0 在区间 SKIPIF 1 0 内单调递增，则当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 单调递减，所以 SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 不恒成立综上所述， SKIPIF 1 0 的取值范围是 SKIPIF 1 0 23（2021山东济南市高三二模）已知函数 SKIPIF 1 0 （1）证明： SKIPIF 1 0 单调递增且有唯一零点；（2）已知 SKIPIF 1 0 单调递增且有唯一零点，判断 SKIPIF 1 0 的零点个数【答案】（1）证明见解析；（2）0【分析】（1）由

53、SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 利用零点存在性定理，即可得证；（2）利用导数证明 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 0 上单调递增，且函数的最小值大于0，即可得到函数的零点为0个；【解析】（1）证明：因为 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递增；又因为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ；所以 SKIPIF 1 0 有唯一零点（2）因为 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，又因为 SKIPIF 1 0 单调递增且有唯一零

54、点，设其零点为 SKIPIF 1 0 ，则当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ；所以 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 0 上单调递增；所以 SKIPIF 1 0 ，因为 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 的零点个数为024（2021辽宁实验中学高三模拟）已知函数 SKIPIF 1 0 （1）若 SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 的极值点，求 SKIPIF 1 0 的值，并讨论 SKIPIF 1 0 的单调性；（

55、2）当 SKIPIF 1 0 时，证明： SKIPIF 1 0 【答案】（1） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 0 上单调递增；（2）证明见解析.【分析】（1）由极值点与导数的关系，求出 SKIPIF 1 0 的值，再根据 SKIPIF 1 0 即可求函数单调性；（2）先将 SKIPIF 1 0 放缩，转化为求 SKIPIF 1 0 的最小值即可证明.【解析】（1）函数 SKIPIF 1 0 的定义域 SKIPIF 1 0 ，因为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 的极值点，所以

56、 SKIPIF 1 0 （1） SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，因为 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递增，所以当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 0 上单调递增.（2）当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF

57、1 0 ，因为 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递增，因为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 所以存在 SKIPIF 1 0 使得 SKIPIF 1 0 ，所以当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 单调递减，在 SKIPIF 1 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 0 ，因为 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，所以 SK

58、IPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，因为 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 .25（2021浙江金华市高三模拟）已知函数 SKIPIF 1 0 有两个极值点 SKIPIF 1 0 .（1）求实数 SKIPIF 1 0 的取值范围；（2）求证： SKIPIF 1 0 ；（3）若 SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 的最大值.【答案】（1） SKIPIF 1 0 ；（2）证明见解析；（3）最大值是 SKIPIF 1 0 .【分析】（1）求出 SKIPIF 1 0 ，根据题意即 SKIPIF 1 0 有有两个解 SKIPIF

59、 1 0 ，转化为方程 SKIPIF 1 0 有两个实数根 SKIPIF 1 0 ，根据二次方程的根的分布可得答案.（2）根据题意可得 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，由（1）可知 SKIPIF 1 0 , 故只要证 SKIPIF 1 0 即可，设 SKIPIF 1 0 ，求出其导数得出单调性即可证明.（3）先化简 SKIPIF 1 0 可得 SKIPIF 1 0 ，由此可得 SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，构造函数 SKIPIF 1 0 ，即转化为求函数 SKIPIF 1 0 的最值问题,【解析】（1）函数 SKIPIF 1 0 的定义域为 SKIPI

60、F 1 0 SKIPIF 1 0 函数 SKIPIF 1 0 有两个极值点 SKIPIF 1 0 ，即方程 SKIPIF 1 0 有两个解 SKIPIF 1 0 所以方程 SKIPIF 1 0 有两个实数根 SKIPIF 1 0 设 SKIPIF 1 0 ,即 SKIPIF 1 0 两个不同的正实根. SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 的取值范围是 SKIPIF 1 0 （2）由（1）知，不妨设 SKIPIF 1 0 时，函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 上递增，在 SKIPIF 1 0 上递减， SKI