新教材高一数学必修第二册暑假作业第09练《简单几何体的表面积与体积》（解析版）

1、第09练 简单几何体的表面积与体积【知识梳理】知识点一 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【知识点的知识】侧面积和全面积的定义：（1）侧面积的定义：把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开，所得到的展开图的面积，就是空间几何体的侧面积（2）全面积的定义：空间几何体的侧面积与底面积的和叫做空间几何体的全面积柱体、锥体、台体的表面积公式（c为底面周长，h为高，h为斜高，l为母线）S圆柱表2r（r+l），S圆锥表r（r+l），S圆台表（r2+rl+Rl+R2）知识点二 棱柱、棱锥、棱台的体积【知识点的知识】柱体、锥体、台体的体积公式：V柱sh，V锥Sh知识点三 球的体积和表面积【知识点的认识】1

2、球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称球其中到定点距离等于定长的点的集合为球面2球体的体积公式设球体的半径为R，V球体3球体的表面积公式设球体的半径为R，S球体4R2一选择题（共8小题）1已知三棱锥的顶点都在球的球面上，平面，若球的体积为，则该三棱锥的体积是AB5CD【分析】先找到三棱锥的外接球的球心位置，再通过球的体积公式，勾股定理，锥体体积公式即可求解【解答】解取中点，又平面，易知点为两与斜边上的中点，即为三棱锥的外接球的球心，且为球的直径，又球的体积为，在中由勾股定理可得，三棱锥的体积为，故选：【点评】本题考查三棱锥的外接球问题，球的体积公式，勾股定理，锥体体

3、积公式，属基础题2已知圆锥的底面半径为4，高为3，则该圆锥的侧面积为ABCD【分析】首先由勾股定理求出母线，再根据圆锥侧面积公式能求出结果【解答】解：圆锥的底面半径，高，母线，则该圆锥的侧面积为：故选：【点评】本题考查圆锥的侧面积的求法，考查圆锥的结构特征、圆锥的侧面积等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3在三棱锥中，则三棱锥外接球的体积为ABCD【分析】先证明平面，再根据正弦定理求解外接圆的半径，进而根据外接球的性质确定球心的位置，结合直角三角形中的关系求解球半径得到体积即可【解答】解：，又，平面在中，又，则外接圆的半径为，取，的中点，的外心为，过作平面的垂线，过作平面的垂线交于点，即为球

4、心，连接，则四边形为矩形，则，即三棱锥外接球的半径为，三棱锥外接球的体积为故选：【点评】本题考查球的体积计算，关键是求出球的半径，属于中档题4若正四面体的表面积为，则其体积为ABCD【分析】计算出正四面体的棱长，将正四面体补成正方体，计算出正方体的棱长，即可求得正四面体的体积【解答】解：设正四面体的棱长为，则该正四面体的表面积为，可得，将正四面体补成正方体，则正方体的棱长为1，所以，故选：【点评】本题考查了正四面体的体积计算，属于基础题5某企业要设计一款由圆柱和圆锥组成的油罐（如图）（厚度忽略不计），已知圆锥的高，圆柱的高为，且底面半径均为则油罐的表面积为ABCD【分析】求解圆锥与圆柱的侧面积

5、与底面积，即可得到几何体的表面积【解答】解：圆锥的高，圆柱的高为，且底面半径均为则油罐的表面积为：故选：【点评】本题考查几何体的表面积的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题6已知某圆锥的母线与底面所成的角为，圆锥的体积是，则该圆锥内切球的半径为ABCD【分析】根据圆锥的体积以及已知条件求得底面圆半径，进而求解结论【解答】解：因为圆锥的母线与底面所成的角为，设底面圆的半径为，母线长为，可得，所以，且，故，所以圆锥的高，所以该圆锥的体积，解得，所以该圆锥内切球的半径故选：【点评】本题考查的知识要点：圆锥的内切球的关系的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力和空间思维能力的应用，属于基

6、础题型7圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的侧面积为ABCD【分析】先利用勾股定理求得圆台的母线长，再由圆台的侧面积公式，得解【解答】解：如图所示，圆台上下底面圆的圆心分别为，点，是圆台的轴截面与球的交点，过点作于点，则，所以，即圆台的母线长为，所以圆台的侧面积故选：【点评】本题考查圆台侧面积的求法，牢记圆台的侧面积公式是解题的关键，考查空间立体和运算求解能力，属于基础题8已知圆锥的两条母线，且与的夹角，的面积为，圆锥的母线与圆锥的底面圆所成的角为，则圆锥的体积为ABCD【分析】由三角形的面积计算出边长，然后根据圆锥的母线与圆锥的底面圆所成

7、的角为得出高，由圆锥的体积公式即可得出结果【解答】解：由圆锥的两条母线，可得三角形的面积为：，设圆锥的高为，底面圆的半径为，由圆锥的母线与圆锥的底面圆所成的角为，可得，则圆锥的体积：，故选：【点评】本题考查圆锥的体积的计算，属于中档题二多选题（共3小题）9如图，四边形为正方形，平面，记三棱锥，的体积分别为，则ABCD【分析】利用等体积法，先求出几何体的体积，再求出三棱锥，的体积、，可得、之间的关系【解答】解：设，平面，为四棱锥的高，为三棱锥的高，平面平面，点到平面的距离等于点到平面的距离，即三棱锥的高，几何体的体积，故、正确，、错误故选：【点评】本题主要考查组合体的体积，熟练掌握棱锥的体积公式

8、是解决本题的关键10在梯形中，将沿折起，连接，得到三棱锥，则下列结论中正确的是A当平面时，B三棱锥体积的最大值为C当三棱锥体积最大时，该三棱锥外接球的表面积为D在翻折过程中，与可能垂直【分析】对于，当平面时，由此可得的值；对于，当平面平面时，三棱锥的体积最大，此时为三棱锥的高，从而容易求得体积；对于，当三棱锥的体积最大时，平面平面，求出外接球的半径，进而得到表面积；对于，假设在翻折过程中，与垂直，过点作于点，中，推出矛盾即可判断【解答】解：梯形中，则有，则三棱锥中，对于，当平面时，由平面，可得，则中，故选项正确；对于，在中，过作于，则，当平面平面时，三棱锥的体积最大，此时为三棱锥的高，则三棱锥

9、的体积的最大值为，故选项正确；对于，当三棱锥的体积最大时，平面平面，取中点，又，则为外接圆圆心，过作平面，则平面，则三棱锥外接球的球心在直线上，由平面平面，可知平面，则点到平面的距离为，则中点到平面的距离为，又平面，则球心到平面的距离为，又所在小圆半径，则该三棱锥外接球的半径，该三棱锥外接球的表面积为，故选项正确；对于，假设在翻折过程中，与垂直，在中，过点作于点，连接，又，则易知平面，又平面，则，则中，斜边，直角边，则斜边直角边，这与斜边大于直角边矛盾，故假设不成立，即选项错误故选：【点评】本题考查立体几何中的动态翻折问题，涉及了线面垂直，三棱锥的体积计算，球的表面积计算等知识点，考查空间想象

10、能力，逻辑推理能力及运算求解能力，属于难题11已知正方体的棱长为，则A正方体的外接球体积为B正方体的内切球表面积为C与异面的棱共有4条D三棱锥与三棱锥体积相等【分析】对于，正方体外接球半径，内切球的半径为，代入球的体积和表面积公式计算；对于，根据异面直线的定义进行判定；对于，利用等体积转换处理【解答】解：正方体外接球的半径，内切球的半径，正方体的外接球体积为，内切球表面积，故正确，不正确；与异面的棱有，共有4条，故正确；，则三棱锥与三棱锥的高，底面积，三棱锥与三棱锥体积相等，故正确故选：【点评】本题考查命题真假的判断，考查正方体及其外接球的结构特征、内切球的表面积等基础知识，考查运算求解能力，

11、是中档题三填空题（共3小题）12半径为的球面上有，四点，且直线，两两垂直，若，的面积之和为72，则此球体积的最小值为 【分析】设，由已知可得设，以、为邻边可构造一个长方体，此时可知可求球的体积的最小值【解答】解：设，的面积之和为72，以、为邻边可构造一个长方体，此时可知，即，故答案为：【点评】本题考查空间几何体的外接球的体积问题，以及重要不等式的应用，属中档题13在九章算术中，将四个面都是直角三角形的三棱锥称为鳖臑已知在鳖臑中，平面，且，则鳖臑外接球的体积是 【分析】首先求得球的半径，然后求解其体积即可【解答】解：由题意可得外接圆的半径，则鳖臑外接球的半径，故鳖臑外接球的体积是故答案为：【点评

12、】本题主要考查三棱锥的外接球，球的体积计算公式等知识，属于中等题14在三棱锥中，是边长为2的正三角形，且平面底面，则该三棱锥的外接球表面积为 【分析】由题意作出示意图，利用空间关系得到关于半径的方程，解方程确定球的半径即可求得其表面积【解答】解：如图，是三棱锥外接球的球心，是外接圆的圆心，由球的性质可得平面；又平面平面，取的中点，连接，又是边长为2的等边三角形，故且，又平面平面，平面，平面，连结过点作所以四边形是平行四边形，；在中，由正弦定理可得，即，设三棱锥外接球的半径为，在中，故，在中，且是的中点，故，在中，故，在中，故，两边平方得：，解得：，所以三棱锥外接球的表面积为，故答案为：【点评】

13、本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题一选择题（共7小题）15甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和若，则ABCD【分析】设圆的半径（即圆锥母线）为3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为，高分别为，则可求得，进而求得体积之比【解答】解：如图，甲，乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆，设圆的半径（即圆锥母线）为3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为，高分别为，则，解得，由勾股定理可得，故选：【点评】本题考查圆锥的侧面积和体积求解，考查运算求解能力，属于中档题16已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，

14、则该球的表面积为ABCD【分析】求出上底面及下底面所在平面截球所得圆的半径，作出轴截面图，根据几何知识可求得球的半径，进而得到其表面积【解答】解：由题意得，上底面所在平面截球所得圆的半径为，下底面所在平面截球所得圆的半径为，如图，设球的半径为，则轴截面中由几何知识可得，解得，该球的表面积为故选：【点评】本题考查球的表面积求解，同时还涉及了正弦定理的运用，考查了运算求解能力，对空间想象能力要求较高，属于较难题目17如图所示，一套组合玩具需在一半径为3的球外罩上一个倒置圆锥，则圆锥体积的最小值为ABCD【分析】设变量为角，通过三角函数表示圆锥体积，从而构建函数模型，通过函数思想求解【解答】解：设圆

15、锥底面半径为，高为，圆锥内切球半径为，则，如图作出圆锥的轴截面，内切圆圆心为，中点为，则，高，设，则，其中，圆锥体积的体积，令，又，又，时，；，时，函数在上单调递减，在，上单调递增，当时，取得最小值为，圆锥体积的最小值为，故选：【点评】本题考查空间几何体的体积，内切球问题，三角函数，函数思想，换元法，导数研究最值，属中档题18在边长为2的菱形中，垂足为点，以所在直线为轴，其余四边旋转半周形成的面围成一个几何体，则该几何体的表面积为ABCD【分析】由题意知，该几何体由半个圆锥和半个圆台组成，再根据圆锥和圆台的表面积公式，即可得解【解答】解：由题意可知，该几何体由半个圆锥和半个圆台组成，其中圆锥的

16、底面圆的半径为1，母线长为2，圆台的上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，母线长为2，高为，所以半圆锥的表面积，半圆台的表面积，由于半圆台和半圆锥的轴截面有一部分是重合的，所以轴截面的面积为，所以该几何体的表面积故选：【点评】本题考查几何体的表面积的求法，熟练掌握圆锥和圆台的表面积公式是解题的关键，考查空间立体感和运算求解能力，属于中档题19在三棱锥中，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为ABCD【分析】如图，取的中点，连接，过作，垂足为，根据面面垂直的性质可知四边形，为矩形，利用勾股定理求出、，列出关于外接球半径的方程，求出，结合球的表面积公式计算即可【解答】解：由题意得，如图，取的中点，连

17、接，则外接圆圆心在上，且解得，设三棱锥外接球球心为，连接，过作，垂足为，由平面平面，得，故四边形为矩形，因为，所以，且，所以，设三棱锥外接球半径为，有，又，所以，解得，所以三棱锥外接球的表面积为故选：【点评】本题考查三棱锥外接球的表面积，考查学生的运算能力，属于中档题20在一个含有底面的半球形容器内放置三个两两外切的小球，若这三个小球的半径均为3，且每个小球都与半球的底面和球面相切，则该半球的半径ABCD【分析】设，三点是三个小球的球心，是半球的球心，是正的中心，则平面，平面，则，由，可求得再加上3可得半球半径【解答】解：如图，三点是三个小球的球心，是半球的球心，是正的中心，则平面，平面，则，

18、所以，所以半球半径为故选：【点评】本题考查球，考查学生的运算能力，属于中档题21已知如图三棱锥，且，则三棱锥的体积的最大值为ABCD【分析】作于，由题可得，即可求解【解答】解：，且，作于，则，设三棱锥的高为，故选：【点评】本题考查空间几何体的体积的计算，属中档题一选择题（共4小题）22在三棱锥中，则三棱锥外接球的体积为ABCD【分析】先证明平面，再根据正弦定理求解外接圆的半径，进而根据外接球的性质确定球心的位置，结合直角三角形中的关系求解球半径得到体积即可【解答】解：，又，平面在中，又，则外接圆的半径为，取，的中点，的外心为，过作平面的垂线，过作平面的垂线交于点，即为球心，连接，则四边形为矩形

19、，则，即三棱锥外接球的半径为，三棱锥外接球的体积为故选：【点评】本题考查球的体积计算，关键是求出球的半径，属于中档题23在棱长为3的正方体中，为内一点，若的面积为，则四面体体积的最大值为ABCD【分析】设与平面相交于点，由题可知平面，从而可得点的轨迹是以为原点，1为半径的圆，进而可求得四面体体积的最大值【解答】解：设与平面相交于点，连接交于，连接，则交于点，因为平面，平面，所以，因为，所以平面，因为平面，所以，同理可证得，因为，所以平面，因为平面，所以，所以是的高，因为，所以，所以点的轨迹是以为原点，1为半径的圆，因为平面，所以平面，所以平面，所以因为为常数，所以当最大时，取得最大值，在中，设

20、到的距离为，所以，所以只要求出的最大值，就取得最大值，在四边形中，如下图，所以，所以，在等边三角形中，如下图，在高上，所以，所以到的距离是到距离的，所以的最大值为，所以四面体体积的最大值为故选：【点评】本题考查了四面体体积的计算，属于难题24直角中，是斜边上的一动点，沿将翻折到，使二面角为直二面角，当线段的长度最小时，四面体的外接球的表面积为ABCD【分析】如图，过点作交延长线于，过点作交于，再作，使得与交于点，设，进而得，故，当且仅当时等号成立，再根据题意，以为坐标原点，以，的方向为正方向建立空间直角坐标系，设四面体的外接球的球心为，进而利用坐标法求球心坐标，进而求出四面体外接球的半径，表面

21、积【解答】解：根据题意，图1的直角三角形沿将翻折到使二面角为直二面角，所以，过点作交延长线于，过点作交于，再作，使得与交于点，所以，由二面角为直二面角可得，设，即，则，因为，所以，所以，在中，在中，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，此时，在图1中，由于，即为角的角平分线，所以，即，所以，所以，由题知，两两垂直，故以为坐标原点，以的方向为正方向建立空间直角坐标系，则，所以，设四面体的外接球的球心为，则，即即，解得，即，所以四面体的外接球的半径为，所以四面体的外接球的表面积为故选：【点评】本题考査空间几何折叠问题中的距离最值问题，几何体的外接内切问题，考査空间想象能力，运算求解能力，是难题25已