现代控制理论：第2章 状态空间表达式的解

1、第2章 控制系统状态空间表达式的解课程结构与内容第2章 控制系统状态空间表达式的解2.1 线性定常齐次状态方程的解2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵2.3 线性定常系统非齐次方程的解2.4 线性时变系统的解2.5 离散时间系统状态方程的解2.6 连续时间状态空间表达式的离散化本 章 简 介本章讨论线性系统的运动分析。主要介绍连续系统状态空间模型的求解状态转移矩阵的性质和计算概 述建立了系统的数学描述之后,接着而来的是对系统作定量和定性的分析。定量分析主要包括研究系统对给定输入信号的响应问题,也就是对描述系统的状态方程和输出方程的求解问题。定性分析主要包括研究系统的结构性质,如能控性、能观性、稳定

2、性等。本章先讨论用状态空间模型描述的线性系统的定量分析问题,即状态空间模型-状态方程和输出方程的求解问题。根据常微分方程理论求解一个一阶定常线性微分方程组,通常是很容易的。可是求解一个时变的一阶线性微分方程组却非易事。状态转移矩阵的引入,从而使得定常系统和时变系统的求解公式具有一个统一的形式。为此,本章将重点讨论状态转移矩阵的定义、性质和计算方法,并在此基础上导出状态方程的求解公式。本章需解决的问题:线性定常连续系统状态方程的解理论基本概念: 状态转移矩阵状态转移矩阵和矩阵指数函数eAt的性质和计算2.1 线性定常连续系统齐次状态方程的解求解状态方程是进行动态系统分析与综合的基础,是进行定量分

3、析的主要方法。本节讲授的状态方程求解理论是建立在状态空间上,以矩阵代数运算来描述的定系数常微分方程解理论。下面基于矩阵代数运算的状态方程解理论中,引入了状态转移矩阵这一基本概念。该概念对我们深刻理解系统的动态特性、状态的变迁(动态演变)等都是非常有帮助的,对该概念必须准确掌握和深入理解。在讨论一般线性定常连续系统状态方程的解之前,先讨论线性定常齐次状态方程的解,以引入矩阵指数函数和状态转移矩阵等概念。所谓齐次状态方程就是指状态方程中不考虑输入项(u(t)=0)的作用,满足方程解的齐次性。研究齐次状态方程的解就是研究系统本身在无外力作用下的自由(自治)运动。所谓非齐次状态方程就是指状态方程中输入

4、项的作用,状态方程解对输入具有非齐次性。研究非齐次状态方程的解就是研究系统在外力作用下的强迫运动。2.1.1 线性定常齐次状态方程的解什么是微分方程的齐次方程?齐次方程就是指满足解的齐次性的方程，即若x是方程的解，则对任意非零的实数a,ax亦是该方程的解。所谓齐次状态方程，即为下列不考虑输入的自治方程x=Ax齐次状态方程满足初始状态的解,也就是由初始时刻t0的初始状态x(t0)所引起的无输入强迫项(无外力)时的自由运动。对上述齐次状态方程,常用的常微分方程求解方法有级数展开法和拉氏变换法 2种。 1. 级数展开法在求解齐次状态方程式之前,首先观察标量常微分方程在初始时刻t0=0的解。该方程中x

5、(t)为标量变量,a为常数。由常微分方程理论知,该方程的解连续可微。因此,该解经泰勒展开可表征为无穷级数,即有式中,qk(k=1,2,.)为待定级数展开系数。 将所设解代入该微分方程,可得 如果所设解是方程的真实解,则对任意t,上式均成立。因此,使t有相同幂次项的各项系数相等,即可求得令x(t)的解表达式中t=0,可确定q0=x(0)因此, x(t)的解表达式可写为上述求解标量微分方程的级数展开法,可推广至求解向量状态方程的解。为此,设其解为t的向量幂级数,即 x(t)=q0+q1t+q2t2+qktk+式中,qk(k=1,2,.)为待定级数展开系数向量。将所设解代入该向量状态方程x=Ax,可

6、得q1+2q2t+3q3t2 +kqktk-1+=A(q0+q1t+q2t2 +qktk+)如果所设解是方程的真实解,则对任意t,上式均成立。因此,使t有相同幂次项的各项系数相等,即可求得若初始时刻t0=0,初始状态x(0)=x0,则可确定q0=x(0)=x0因此, 状态x(t)的解可写为该方程右边括号里的展开式是nn维矩阵函数。由于它类似于标量指数函数的无穷级数展开式,所以称为矩阵指数函数,且记为利用矩阵指数函数符号,齐次状态方程的解可写为：x(t)=eAtx02拉氏变换法若将对标量函数拉氏变换的定义扩展到向量函数和矩阵函数,定义对向量函数和矩阵函数的拉氏变换为分别对该向量函数和矩阵函数的各

7、个元素求相应的拉氏变换,那么可利用拉氏变换及拉氏反变换的方法求解齐次状态方程的解。对该齐次状态方程x=Ax,设初始时刻t0=0且初始状态x(t)=x0,对方程两边取拉氏变换,可得sX(s)-x0=AX(s)于是可求得该齐次状态方程的解x(t)的拉氏变换为X(s)=(sI-A)-1x0对上式取拉氏反变换,即得齐次状态方程的解为x(t)=L-1(sI-A)-1x0下面讨论如何求解拉氏反变换L-1(sI-A)-1。主要思想为将标量函数的拉氏变换与反变换平行推广至矩阵函数中。对标量函数,我们有将上述关系式推广到矩阵函数则有其中eAt称为时间t的矩阵指数函数，并有因此,基于上述(sI-A)-1的拉氏反变

8、换,该齐次方程的解为x(t)=L-1(sI-A)-1x0 = eAt x0上述拉氏反变换法求解结果与前面的级数展开法求解结果一致。若初始时刻t00,对上述齐次状态方程的解作坐标变换,则可得解的另一种表述形式:状态方程的解表达式说明了齐次状态方程的解实质上是初始状态x(t0)从初始时刻t0到时刻t系统运动状态的转移,其转移特性和时刻t的状态完全由矩阵指数函数 和初始状态x(t0)所决定。为讨论方便,引入能描述系统状态转移特性的线性定常连续系统的状态转移矩阵如下:(t)=eAt因此,有如下关系式x(t)=(t)x0=(t-t0)x(t0)由上述状态转移矩阵定义和齐次状态方程的解,系统状态转移矩阵有

9、如下关系(t)=L-1(sI-A)-1齐次状态方程的解描述了线性定常连续系统的自由运动。由解的表达式可以看出,系统自由运动的轨线是由从初始时刻的初始状态到t时刻的状态的转移刻划的,如图3-1所示。图3-1 状态转移特性当初始状态给定以后,系统的状态转移特性就完全由状态转移矩阵所决定。所以,状态转移矩阵包含了系统自由运动的全部信息。可见,状态转移矩阵的计算是齐次状态方程求解的关键。解 (1) 首先求出矩阵指数函数eAt,其计算过程为例2-1 试求如下状态方程在初始状态x0下的解(3) 状态方程的解为(2) 计算矩阵指数函数eAt 。课程结构与内容第2章 控制系统状态空间表达式的解2.1 线性定常

10、齐次状态方程的解2.2 矩阵指数函数状态转移矩阵2.3 线性定常系统非齐次方程的解2.4 线性时变系统的解2.5 离散时间系统状态方程的解2.6 连续时间状态空间表达式的离散化2.2 状态转移矩阵下面进一步讨论前面引入的状态转移矩阵,主要内容为:基本定义状态转移矩阵的性质状态转移矩阵的计算1. 基本定义定义 对于线性定常连续系统x=Ax,当初始时刻t0=0时,满足如下矩阵微分方程和初始条件:(t)=A(t), (t)|t=0=I 的解(t)为线性定常连续系统x=Ax的状态转移矩阵。这里定义的状态转移矩阵与前面定义的是一致的。引入上述状态转移矩阵新定义,主要是为了使状态转移矩阵的概念易于推广到时

11、变系统、离散系统等,使得有可能对各种类型系统的状态方程的解作统一描述，更好地刻划系统状态运动变化的规律。2、状态转移矩阵的性质性质一 或这是组合性质，它意味着从-转移到0，再从0转移到t的组合，即: 性质二 上述二性质可由定义得到证明。本性质意味着状态矢量从时刻t又转移到时刻t ，显然，状态矢量是不变的。性质三 或这个性质是，状态转移矩阵的逆意味着时间的逆转；利用这个性质，可以在已知x(t)的情况下，求出小于时刻t的x(t0),( t0t) 这个性质说明， 或eAT矩阵和A矩阵是可以交换的。可由 得到A性质四对于状态转移矩阵，有 或 令 便可证明 该性质表明 可分解为 与 的乘积，且 与 可交换相乘。 性质五性质六 证明：(1) (2) (3) 比较（1）、（3）式，有成立。根据这一性质，可把一个转移过程分为若干个小的转移过程来研究。如下图:性质七性质八若矩阵A，B可交换，即ABBA，那么 ，否则不成立。根据定义， 比较上述两展开式t的各次幂的系数可知，当ABBA式， 1）3、几个特殊的状态转移矩阵2)3）若矩阵A为一约当矩阵，即4）若矩阵A通过非奇异矩阵P化为对角线矩阵，即：,则：5) 若，则：【例】