一微积分学基本定理

1、一微积分学基本定理 Newton和leibniz独立创立微积分之前，已有积分和微分的概念，它们起源不同，出现的时间有先后，解决的问题也不同，但Newton和leibniz几乎同时发现了它们的联系微积分学基本定理，从而创立了Calculus，这是里程碑式的成果。第5节 微积分学基本定理1类似地可有“变下限积分”称为“变上限积分”。1变上限积分 ，随着 在 中的变动， 也在变动。且 对于 是唯一的，因此可定义在 上的一个新的函数，记为： 22微积分学基本定理 ， 表 的增量， 表 的增量积分中值定理 因 在 和 之间，时，3微积分学基本定理Th.4.1 设 在 上连续 可导，且 4e.g.1 求

2、e.g.2 求 Remark类似地， 思考： ？ 53原函数及其性质、不定积分（1）原函数的概念称满足 的函数 为 的一个原函数 e.g. 是 的一个原函数 是 的一个原函数 是 的一个原函数 6（2）原函数的基本性质即 的任意两个原函数之间只相差一个常数。 （i）若 是 的一个原函数 , 也是 的原函数 （ii）若 和 都是 的原函数 7 的所有原函数的集合称为 的不定积分，记为 。 即 记成 ， ， （3）不定积分（indefinite integral） 只要知道 的一个原函数，就可由它表示出 的所有原函数，即不定积分。 8(4) 基本积分公式 9设 是 的一个原函数令 再令 也是一个原

3、函数4定积分的计算 Newton-leibniz公式10 这即著名的微积分学基本公式，也称牛-莱公式，它揭示微分与积分之间的关系，表示只要求出 的一个原函数，即可求得定积分的数值。e.g.3 计算 它给出了定积分的一种计算方法，而不必通过复杂的极限运算。e.g.4 计算 问： 能不能用此方法，为什么？ 11e.g.5 计算正弦曲线 在 上与 轴所围成的平面图形面积。 e.g.6计算 Remark定积分的计算取决于能否较容易地求得被积函数的原函数，这涉及到积分法，我们这里不打算多讲，可参看有关参考书。 125微分运算与积分运算的互逆性质 由不定积分概念和微积分基本定理可知，有互逆运算： or o

4、r 13二变限积分的极限 无穷积分若 对 有定义 可考虑 时的极限 若 称极限值为函数 在无穷区间上的无穷积分(infinite integral)。 记为 ,i.e. 类似地可定义 14计算无穷积分： （i） （ii） e.g.7 Remark当在 上的积分 和在 上积分 均存在时，称 在 上积分存在，记为 e.g. 概率积分 15三定积分的应用、微元法1几何应用平面图形的面积在区间 上选取一个具代表性的“区间微元” ，对应的面积微元为 ， i.e. 平面图形由围成，求该平面图形的面积。 16可以证明 与窄曲边形的实际面积“近似”相等（即相差一个高阶无穷小量）。 计算抛物线 与 围成的面积。

5、 e.g.8 所求面积 Remark上述这种用一个微元来代替精确量的计算法称为 微元法。它体现了“以直代曲”，“以不变代变”的思想，是微积分中一个很重要的思想。 172旋转体体积 平面图形绕着它所在平面内的一条直线旋转一周所成的立体称为旋转体，这条直线称为旋转轴。e.g.9 考虑双曲线 在 内部分。让其绕x轴旋转，则旋转后得一曲面，求此曲面与 所围体积。 18Sol. 考虑 上任一点 处，取一小微元 表面积为 此薄片相应的体积微元和表面积微元分别为 体积为 19若 连续地向右移，使 ，则旋转曲面称为Gabriel喇叭。其体积为表面积为 表明Gabriel喇叭具有有限的体积，而有无穷的表面积。这是与“直观”不同。 203在经济学中的应用我们已知，在经济学中，常用导数表示一些边际经济量。例如边际成本 ，边际收益 ，边际利润 等。反过来，如果已知边际量，要求总量，则可采用积分求解。e.g.10 某商品的需求量 为价格 的函数，该商品的最大需求量为1000，已知边际需求为 ，求需求量 与价格 的函数关系。 21Sol. 22e.g.11 Sol. 23作 业1. P43. 11(