电磁场与电磁波试题

1、解：镜像电流1.如图所示，有一线密度的无限大电流薄片置于平面上，周围媒质为空气。试求场中各点的磁感应强度。解：根据安培环路定律在面电流两侧作一对称的环路。则镜像电流在导线处产生的值为单位长度导线受到的作用力力的方向使导线远离媒质的交界面。2.已知同轴电缆的外半径分别和，其间媒质的磁导率为且电缆长度，忽、略端部效应，求电缆单位长度的外自感。X4.图示空气中有两根半径均为其轴线间距离为的平行长直圆柱导体,解：设电缆带有电流则设它们单位长度上所带的电量分别为和，若忽略端部的边缘效应，试求圆柱导体外任意点的电场强度的电位的表达式圆柱导体面上的电荷面密度与值。解：以y轴为电位参考点，则3.在附图所示媒质

2、中有一载流为的长直导线导线到媒质分界面的距离为试求载流导线单位长度受到的作用力。常数，另一层电介质厚度电导率。相对介电常数，当电容器加有电压时，求（2）o_ = D -环变=峋占电介质中的电流;两电介质分界面上积累的电荷Rnim =力min =与戏nini =咿2k a-h-b 力十力十解:电容器消耗的功率图示球形电容器的导体半径外导体径，其间充有两种电介质与,它们的分界面的半径为。已知与的相对电常数分别为。求此球形电容器的电容。有两平行放置的线圈，载有相同方向的电流，请定性画出场磁感应强度分布（线）。解：线上、下对称。6. 一平板电容器有两层介质，极板面积一层电介质厚度，电导率，相对介电解：

3、（1）当电介质插入到平行板电容器2处，则其电容可看成两个电容器的 并联1.已知真空中二均匀平面波的电场强度分别为和求合成波电场强度的瞬时表示式及极化方式。解：得合成波为右旋圆极化波。图示一平行板空气电容器,其两极板均为边长为的正方形，板间距离为 d，两板分别带有电荷量与，现将厚度为d、相对介电常数为，边长为a的正 方形电介质插入平行板电容器至处，试问该电介质要受多大的电场力向如 何？C = + =（勺*+ 3- JT）= （耳 一1）顶+ a静电能量当 时，其方向为a/2增加的方向，且垂直于介质端面。长直导线中载有电流，其近旁有一矩形线框，尺寸与相互如图所示。设 时，线框与直导线共面时线框以均

4、匀角速度尧平行于直导线的对称轴旋转求 线框中的感应电动势。解：长直载流导线产生的磁场强度时刻穿过线框的磁通感应电动势参考方向时为顺时针方向。无源的真空中，已知时变电磁场磁场强度的瞬时矢量为H弓0.氏5。5)试6阿基1便一如)A /id试求(1)的值；(2)电场强度瞬时矢量和复矢卸相量。 解：+ 3V7jrcostl5jzj)sii6-x 10V /mE (z)二弓 9irfL5-弓3妍对 mil 5砂)巳直”证明任一沿传播的线极化波可分解为两个振幅相暴转方向相反的圆极化波的叠加。证明：设线极化波其中：由和分别是振幅为的右旋和左旋圆极化波。得故得(2)ri = Vxdr= (+用E疽位 西图示由

5、两个半径分别为和的同心导体球壳组成的电容器,在球壳间以(1)半径为分界面的、外填有两种不同的介朦介电常数分别为和，试证明此球形电容器的电容为证明：设导体壳外表面所带的电荷量为则两导体球壳间的电压为已知求穿过面积在方向的总电流在上述面积中心处电流密度的模;在上述面上的平均值解：面积中心，的平均值两个互相平行的矩形线圈处在同一平面尺寸如图所示，其中，。略去端 部效应，试求两线圈间的互感。解：设线框带有电流，线框的回路方向为顺时针。线桩的为已知，今将边长为的方形线框放置在坐标原点如图，当此线框的法线分 别沿、和方向时，求框中的感应电动势。解：(1)线框的法线沿时由得线框的法线沿时条=占, d/= -

6、 昭 cff)无源真空中，已知时变电磁场的磁场强度为；H (r乌& sir(4*)c日Guf-伽0 + 勺& cos(4 z)siiej-j2z沿巧平面上的一个边长为的正方形回路X y zV的线积分,此正方形的两边分别与轴和y轴相重合。再求Vx A对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。解:f AgdZ = fxdx-fxdx + f22dy-fC0eeeXyddddxdydzXX2Vx A =e 2yz + e 2xxz.所以 TOC o 1-5 h z f Vx AMS = ff (e 2yz + e 2x)gp dxdy = 8XzzS0 0故有f AgH = 8 = j Vx Ag

7、lScs同轴线外半径分别为和,填充的介质0,具有漏电现象同轴线外加电压,求漏电介质的；漏电介质白幽、J ;单位长度上的漏电电导。解：(1)电位所满足的拉普拉斯方程为M凸)=0r dr dr由边界条伸= G,(p=U;r = Z?,(p=。所得解为,、Ub中(,)=一 ln -1M a(2)电场强度变量W) = -e华=%；dr rln-av v yu v则漏电媒质的电流密度为=作质)=ea 单位长度的漏电流为=2w里、=还笔亳 0、 b 、 b rrln a单位长度的漏电导为=驾7 u m2如图 所示，长直导线中载有电流=/ COSCO f , 一矩形导线框位于其 m近旁，其两边与直线平行并且

8、共面，求导线框中的感应电动势。解：载流导线产生的磁场强度的大小为LI I2nr穿过线框的磁通量（|）= j B.dlcr 日 i,=J bar2Jirc|Li bl cosco? c + a=9mm2k c线框中的感应电动势参考方向为顺时针方向。空气中传播的均匀平面波电场&= e E e-j ,已知电磁波沿z轴传播, x 0频率为千。求V磁场丑；波长人；VV能流密藤和平均能流密度；av能量密觑Ov 1 v V V 解： H=-e xe Ee-jk-r-T| z x 0 TOC o 1-5 h z _爬即呼 m。+12kc,c、W 吉 T V VV V vvS = ExH = -e-e E e-

9、jk-r xe E e-jk-rV |Ll X。V 010=e fE2e-2j 心A |Ll 0 10v e-=e Ie-2 cos2(2n ft -kz)A |Ll 0 10VSavV v v 1=Re(ExH;) = e eE2q如oV 0W = -& 2+1|li H22 o 2 o平行板电容器的长、宽分别奔吨,极板间距离为。电容器的一半厚度(0 :/2)用介电常数为的电介质填充，板上外加电压,求板上的自由电荷面密度 束缚电荷；0若已知板上的自由电荷总期 求此时极板间电压和束缚电荷；求电容器的电容量。解：设介质中的电场舟E,空气中的电场爵。=以。由0=%,有& E = & E o o又由

10、于d dE- + E - = -U由以上两式解得28 U e9 （ + ）d 028 L/9 （ + ）d o故下极板的自由电荷面密度为厂 2s eUb =&E = 90下（ + ）d0上极板的自由电荷面密度为厂 2s 8UC = E =99上 0 0（ + ）d0电介质中的极化强度/ 、厂 28（- ）7 TOC o 1-5 h z P =（ ）E = g 99 0 Z （ + ）d0故下表面上的束缚电荷面密度为-2s（ - ）U b = g gP =09Q-。下 z（+）0上表面上的束缚电荷面密度为_ 2s（ - ）U b = e gr = 90&“上 （ + ）d0（2）由ab2s eU

11、 0 （ + ）d o得到TT (+顷QU = 928 sab0故p 下&ab(3)电容器的电容为八 Q 2 sab厂G+顷026.频率为 100MHz的正弦均匀平面波在各向同性的均匀理想介质中沿 TOC o 1-5 h z (+z)方向传播，介质的特性参数为=4、H =1, Y =0。设电场沿 rrV v1_X方向，E = e E ；当t = Q, z = -m时，电场等于其振幅值X X810-4V/m。试求VV(1) H 0)和 E0)；(2)波的传播速度;平均波印廷矢量。解：以余弦形式写出电场强度表示式v vE0,t) = e E (z,t)Vx X=e E cos(伽-kz +W )x

12、 mxE把数据代/ =10-4V/mmrad Imk = 3= 2 兀 TOC o 1-5 h z ,471 171,V xE=kz = raa8 6V4k71= e 10-4 cos(2k xlOsr-z + )VIm*36v V vN EV147171= e H = e = e10-4 cos(?ti xlOsr-Z + )y y y 门y36v 14k71e 10-4 cos(2k xlOsr-z + )A/my 60k36(2)波的传播速度芝业= 1.5x108 加/s 21v = (J. J. Y V 0 01 V V一正 V 10-4.(41L7_X 6 xe eJ( 3 6 v

13、6 Ch 平均坡印廷矢量为=-ReExH* av 2S =-ReJ 10-4g-y(tav 2 x=!就需V 10-8e W/m2z 120k在由尸=5、z = 和z = 4围成的圆柱形区域，对矢A = er2+e2z验证散度定理。解：在圆柱坐标系中1 ddVgA =(2) + (2z) = 3r + 2r drdz所以rdr = 1200kJvgAdc = jdd(|)j(3 尸+ 2)T蜒 giS = J (e r2+e 2z) =4处,求（4,0,0）处的电场强度。解：电荷在(4，)处产生的电场为 TOC o 1-5 h z - q r-r 2 e 4-e 4 E =i 4k8 r-r，

14、3 兀 (4 2kf直线电流2每单位长度受到的安培力为F = I e x B d z = -e oH诚2 2 z 112 2ltd0式中，是由电流&旨向电流2的单位矢量。同理可得，直线电金每单位长度受到的安培力为F =F =em21 ml2 12 2nd一个半径为的导体球带电荷量青，当球体以均匀角速度绕一个直径旋 转，求球心处的磁感应强度。解：球面上的电荷面密度为4兀。2当球体以均匀角速度绕一个直径旋转时，球面上位置Sera点处的电流 面密度为J =5v=（5a）xr = Je（xe aSz r=e CDbosinO =e -sin6。4兀。将球面划分为无数个宽度再Z = d的细圆环，则球面上

15、任一个宽度为 d/ = Qd。细圆环的电流为di = J dZ - sin0 d0S 4k细圆环的半径豹= osinO,圆环平面到球心的距4=alCOS0l,利用电流圆环的轴线上的磁场公式，则该细圆环电流在球心处产生的磁场为,- |lx Z?2 d/|lx co22 sin3 0 dOdB-e e =e e Z 2.2 +2）寸2 Z 8丸（。2 sin2 0 +Q2COS2。）矿2|n coQsin3。d。=e 9z 8ti a故整个球面电流在球心处产生的磁场为B泌尸华空些购=。当丝 z o 87iaz 6na半径沏的球体中充满密度（,）的体电荷，已知电位移分布为尸3 + Ar2。1 Q5

16、+4(24r (r a)其中A为常数，试求电荷密度（尸）。解由VgP = P ,有11p (r) = V =(r2D )F2 dr r故在尸a区域p(r) = ;1 d r (as + A4) sr2 = 0o f 2 d r尸 2一个半径淅薄导体球壳表面涂覆了一薄层绝缘感充满总电荷量为为的体电荷，球壳上又另充有电荷量。已知球部的电场寿=。（井/。）4,设球 r介质为真空。计算。）球的电荷分布;（2）球壳外表面的电荷面密度。解：（1）由高斯定理的微分形式可求得球的电荷体密度为1 dId r4尸3=8 VgE=e (r2) = 8 (r2 _) = 68 oo dro 尸2 dro 4（2）球体

17、的总电星为2 = f pdu = f 6e 47ir2dr = 4k8 2o Q4oT0球电荷不仅在球壳表面上感应电祯,而且在球壳外表面上还要感应藏荷 所以球壳外表面上的总电荷和,故球壳外表面上的电荷面密度为2Q b = = 2e471(220中心位于原点，边长为的电介质立方体的极化强度矢量为P = P (e x + e y + e z) o0 X y z(1)计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度)证明总的束缚电荷为零。解： P = -VgP = -3PP0b (x = ) = ngP p 2。3 = -) = gPp 2F =-。x=-L 2 x.=-p x=-L22 0同理 TOC o 1-

18、5 h z (2) g = J p de + dS = 3PIj + 6Z? x P = 0p pp02 TS一半径为幻的介质球，介电常数芳如，其均匀分布自由电荷，证明Ur 0中心点的电位为可得到(rR)o=o-, E = =o-32 3s r200故中心点的电位为平(0)=J Edr+J Edr =i opR2。pr f pR3 dr + Je- dr 3 3 , 20 r 0 R 0pr dr +3 r 02RpR2 28 +1 p9-=?(-9- + -9-=，()7?26s 3s 2s 3s or 00r 0一个半径为？的介质球，介电常数为,球的极化强ff=e K/r ,其中 rK为一

19、常数。(1)计算束缚电荷体密度和面密度计算自由电荷密度(3)计算球、外的电场和电位分布。Kri解：(1)介质球的束缚电荷体密度为=-V gP = (尸2 一)= 一尸 2 drr在r = R的球面上，束缚电荷面密度为K。=gP| =e gP|Pr=R r r=R R(2)由于。二% +尸，所以 TOC o 1-5 h z V叨= VgE + VgP = V） + VgP 0（l-）VgP-VgPEK由此可得到介质球的自由电荷体密度为p - VgD VgP - p8 -88 -8 P （8-8）F2000q = Jpdu =-总的自由电荷量fl, I 471ERK -J 4k r2dr =尸20

20、 0(3)介质球、外的电场强度分别为E = e （r R）18 -8?（8-8 ）rooE =e 2 r 4718 F20ERKr 8（8-8）F200（rR）介质球、外的电位分别为= fglZ = fEdr +if K A TOC o 1-5 h z Jdr +( - )rr0feRK | HYPERLINK l bookmark84 o Current Document Jdr (s - )f2R 00EKK n RIn +8 -8 r 8(8-8 ) oo o(r 7?) (s - )ro o40.如图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，

21、上边盖板的电位御求槽的电位函数。解：根据题意，电位3,y）满足的边界条件为 平（0,y） =甲（。,力=。（P 3,0）= o平（）= %根据条件和，电僵X，y）的通解应取为(p(x, y) = A smh()sm() a an=l由条件，有TT. l/仞奴. z nnx.U - A smh()sm()0 a an=l两边同乘以in(m x!a),并从0到。对工积分，得到2U f . .mixA =eJ sm()dx asinh(n7iZ?/a) ao2U、=e；(I-COS 7171)；e, n 1,3,5,L= = (00Z8)。上板和薄片保持电位,下板保持零电位，求板间电位 的解。设在薄

22、片平面上从V =。到=，电位线性变化(0,y) = Uyfd。4.2解:应用叠加原理，设板间的电位为（p3,y） =（p （x, y）+（p （x, y）12其中，七3,y）为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电思为的电位，即x,y） = Uyjb ；也3，）是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为 （P 3,0）二甲 3人）=0 22中2（乙力= （国00）(0 j )(dyb)U U甲（o,y）=（p（o,）o一（p（o,y）= 21 TT uL o b根据条件和，可鬼3,y）的通解为(P (x, y) = A sin(竺土)成?灯2n bn=l由条件有a / y L

23、A sm()=h bn=lU-yo b(0yd)(dyb)两边同乘以in（my/。），并从0到。对 积分，得到A =举 f (1 - 1) y sin()dy + 华 j (1 y )sin(- )dyn b d b b b b b0d* b sin(四) 伽)2 d b故得到中 3, -) = U - + 蚂 U kin(区)sin(性)e-?kbdR 2n 2b bn=1如题（。）图所示，在Z 0和z 4兀80r +(zh)2 8+80 Jr +(z+h)2,下半空间的电位由点电潮口镜像电葡共同产生，即q+q，rcp =2 4丸叫 271（8 +%） J,2+（z力）2（2）由于分界面上无

24、自由电荷分布，故极化电荷面密度为（P-P）| = （E -E ）1p12 z=00 lz 2zQ（p洒、I（- ）hq TOC o 1-5 h z （a- ） eo dz Sz z=0 2k（8 +8 ）（尸2+。2）3,20极化电荷总电量为q =jb dS = jb 2nrdr = -e_ f-drP PP+（尸2+力2）32S00 0（I ）q ,二e = q8 +8 0个半径林的导体球带有电荷量坳，在球体外距离球心为处有一点 电荷0。（1）求点电商与导体球之间的静电力2）证明却与Q同号，且Q vRD 3q （Z2 - R2）2RD成立时，E表现为吸引力。解：(1)导体球上除带有电荷量之外，点电荷还要在导体球上感应出等量 异号的两种不同电荷根据镜像法，像电荷矿和0的大小和位置分别为如题图 所示)导体球自身所带的电荷则与位于球心的点电祷等效。故点电荷受到的静电力为F = F+尸 +Fqq W* Qqqqq(D + q)=+4718 (D 4718 D22dd-(r/d)200Diq Q + (R/D)q 4k(2)当0与。同号，段表现为吸引力，明 。时，贝I应有Q + (RD)q