微积分函数教学课件

1、四川大学数学学院唐世福Email:shifutang126微 积 分第1页，共62页。微 积 分 在中学里接触到的大多是初等数学，即只讨论简单的量的关系，尤其只讨论常量和固定图形，这种数学思想一直沿袭到十七世纪初，尔后法国数学家笛卡尔(R.Descartes 1596-1650)把变量引进了数学，并创立了坐标概念，于是在数学中不再限制于考虑常量和固定图形，进而开始考虑变的量和图形。高等数学就应运而生。这主要归功于英国数学家牛顿(I.Newton 1643-1727)和法国数学家莱布尼兹(G.W.Leibniz 1646-1716)。这就是今后要学习的课程。第2页，共62页。参考书1赵树嫄. 微

2、积分. 中国人民出版社2同济大学. 高等数学. 高等教育出版社第3页，共62页。第一章 函数集合函数概念函数的几种特性反函数复合函数初等函数 第4页，共62页。函数-集合集合是指具有特定性质的一些事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素. 通常用大写拉丁字母表示集合，小写字母表示元素.a是集合M的元素,记作aM(读作a属于M)；a不是集合M的元素,记作aM (读作a不属于M).集合定义第5页，共62页。函数-集合例子1. 1990年10月1日在南宁市出生的人。2. 彩电、电冰箱、VCD。3. x2-5x+6=0的根。集合具有确定性，即对某一个元素是否属于某个集合是确定的，是或不是二者必居

3、其一。由有限个元素构成的集合，称为有限集合。由无限多个元素构成的集合，称为无限集合；4. 全体偶数。第6页，共62页。函数-集合集合的表示法1. 列举法：按任意顺序列出集合的所有元素,并用括起来。例： 由x2-5x+6=0的根所构成的集合A，可表示为：A=2,3注：必须列出集合的所有元素，不得遗漏和重复。第7页，共62页。函数-集合2.描述法：设P(a)为某个与a有关的条件或法则，A为满足P(a)的一切a构成的集合，记为：A=a|P(a)例： 由x2-5x+6=0的根所构成的集合A，表示为：A=x|x2-5x+6=0例：全体实数组成的集合通常记作R，即：R=x|x为实数第8页，共62页。函数-

4、集合子集如果集合A的元素都是集合B的元素，即若 xA则必xB，就说A是B的子集，记作AB(读作A包含于B)或BA(读作B包含A)如果A B且或AB，则称A与B相等。AA即集合A是其自己的子集。传递性 AB、B C 则A C。 A，即空集是任何集合A的子集。第9页，共62页。函数-集合全集与空集所研究的所有事物构成的集合称为全集,记为:U。不含任何元素的集合称为空集，记为： 。例1：x2+1=0实数根集合为空集。例2：平面上两条平行线的交点集合为空集。注：0及都不是空集，前者有元素0，后者有元素。第10页，共62页。函数-集合集合的运算集合的并：AB=x|x A 或x B 集合的交：A B=x|

5、x A 且x B 集合的差：A-B=x|x A 且x B 第11页，共62页。函数-集合区间 在一条直线上指定了一点作为原点O，再指定了正向，此外又规定了单位长度，这条直线就称为数轴。 数轴上的点与实数之间可以建立一一对应的关系。有时为了形象化起见，把数x称为点x，就是指数轴上与数x对应的那个点。1-10Ox第12页，共62页。函数-集合闭区间：a,b=x|axb开区间：(a,b)=x|axb左闭右开区间：a,b)=x|axb左开右闭区间：(a,b=x|axb有限区间OxabOxabOxabOxab第13页，共62页。函数-集合a, + )=x|ax(- ,b=x|xb(- ,b)=x|xb无

6、限区间实数集(- ,+)=x | - x+ OxaOxb(a, +)=x|axOxbOxa第14页，共62页。函数-集合邻域(a,)=x| |x-a| =x|a-xa+=(a-,a+)称为点a的邻域。a称为邻域的中心，称为邻域的半径。xaa- a+ 例：(2 ,1 )= x | |x-2|1 =x | 1x3 =( 1, 3)x213=1=1第15页，共62页。函数-集合空心邻域( a , )= x | 0|x-a| = x | a- xa 或 axa+ =(a- , a)U(a , a+ )称为点a的空心邻域。xaa- a+ 例：U(2,1)=x|0|x-2|1=x|1x2或2x03x-2

7、1x2/3x 1D=(2/3,1) (1,+)例2：确定函数y=arcsin 的定义域。25-x21x-15+解：解：x-15 125-x2 025-x2 0-4x 6 |x-1| 525-x2 0-5x0tgx 0tgx1x ( k , k + )解：xk +2 2x(k + , k + )42x (k + , k + ), k=0, 1, 2, 3, 为所求的定义域4 2第27页，共62页。函数-函数的性质1函数的有界性:M-Myxoy=f(x)X有界M-MyxoX无界第28页，共62页。函数-函数的性质例1:f(x)=sinx在(-,+)内是有界的。因为|sinx| 1。例2:f(x)=

8、1/x在(0 ,1)内是无界的。在1,+)内有界。例3:第29页，共62页。函数-函数的性质2函数的单调性:xyo第30页，共62页。函数-函数的性质xyo第31页，共62页。函数-函数的性质例1:判断函数y=x3的单调性。解：对于任意的xl、x2 ，设xlx2x23 -x130,所以x23 x13 ，故 y=x3在(- ,+)是单调增加的。当 x1 x2 0 时 x12 + x1 x2 + x22 0 所以f(x2)-f(x1)0f(x2)-f(x1)=x23 - x1 3 =(x2 - x1)(x12 + x1 x2 + x22)当 x1 x2 0所以f(x2)-f(x1)0第32页，共6

9、2页。函数-函数的性质例2:判断函数y=2x2+1的单调性。解：xl、x2 R ，设xlx2(x1+x2)0f(x1)f(x2)f(x)单调减少(x1+x2)0当 xl、x2 0,+ )f(x1)-f(x2)0f(x1)0,a1)对数函数 y=logax (a是常数,a0,a1)三角函数 y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx,y=secx, y=cscx;反三角函数 y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx . 0,过(0,0),(1,1),在(0, +)递增 1递增,0a1递增,0a1递减由常数及基本初等函数经过有限次四则运算及

10、有限次的复合所构成并可以用一个式子表示的函数，叫初等函数。第58页，共62页。函数-初等函数三角函数 y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx,y=secx, y=cscx;函数定义域值域周期奇偶单调y=sinx(-, +)-1,12奇(-/2+2k, /2+2k)递增(/2+2k, 3 /2+2k)递减y=cosx(-, +)-1,12偶(+2k, 2 +2k)递增(2k, +2k)递减y=tgxx/2+k(-, +)奇(-/2+k, /2+k)递增y=ctgxxk(-, +)奇(k, +k)递减y=secxx /2+k (-, -1U1, +)2偶(2k, /2+2k),(/2+2k, +2k) 递增(-/2+2k,2k),(+2k,3/2+2k)递减y=cscxxk(-, -1U1, +)2奇(-/2+2k,2k),(2k, /2+2k)递增(/2+2k,